2018年高考数学试卷_浅析高考数学命题的几点新变化

　　从2004年至今，高考大规模地分省（市）命题已走过四年的历程. 纵观各地的高考数学试卷，在保持相对稳定、强调能力立意、体现各省（市）特色的基础上，数学命题呈现出以下新的特点：
　　
　　1 顺应新课程
　　新一轮高中课程改革正在全国轰轰烈烈地推进，作为对高中数学教学有着重要指导作用的高考理应关注新课改，顺应新课程，把新课程中的新知识、新方法、新思想有机地渗透到高考试卷中. 因此，比较好地体现新课程的内容与理念也就成为一些省（市）高考命题的创新点.
　　例1 （2007年高考・广东卷文7）
　　
　　例2 （2006年高考・陕西卷理12）为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解密),已知加密规则为:明文a,b,c,d对应密文a+2b,2b+c,2c+3d,4d,例如,明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时,则解密得到的明文为()．
　　
　　评析：例1源于新课程必修模块《数学3》中的算法，例2涉及的是新课程选修系列3中《信息安全与密码》的有关内容. 这两道题不但背景公平，而且也没有超纲，能比较好地考查考生的创新意识和思维能力，具有较强的选拔功能.
　　新考纲未到，考题已先行. 这就要求我们广大的高三老师在老高考向新高考过渡的过程中，不仅要重视老大纲、老考纲的学习，也要重视对新课程标准的学习与研究，关注新课程中新增的内容，汲取新课程的新鲜养分，创新高三复习思路. 在指导学生加强对基础知识、基本技能复习的同时，更要引导学生主动思考与探索，切实把提高学生的能力和数学素养放在重要的位置.
　　
　　2 渗透高观念
　　
　　高观念问题指的是与高等数学有着密切内在联系的问题，这样的问题不是高等数学试题的简单“下嫁”，而是问题的背景源于高等数学. 命题者通过初等化的处理与巧妙设计，潜移默化地渗透高等数学中的一些观点与方法，考生通过长期积淀的数学素养照样可以解决. 这样的高观念问题融入到高考试卷中，使得试卷清新扑面，更能体现数学的内在联系，也更具选拔功能.
　　例3 （2007年高考・广东卷理8）设S是至少含有两个元素的集合，在S上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a，b∈S，对于有序元素对（a，b），在S中有唯一确定的元素a*b与之对应），若对任意的a，b∈S，有a*（b*a）=b，则对任意的a，b∈S，下列等式中不恒成立的是（）．
　　
　　评析： 分析这些试题，主要是通过以下两条途径渗透一些高观念. 一是初等化引进高等数学中的有关概念和运算. 高等数学中的一些概念与运算，有的是初等数学内容的延伸和拓展，有的则是以初等数学内容为载体在更高以及更广泛的领域内进行抽象和概括，命题人员正是抓住了这些高等数学概念与运算的初等数学背景，进行了合理的改造与设计，如上面的例3. 二是初等化处理高等数学中的一些性质、定理与公式，处理的方式是特殊化处理、变式化处理，如上面的例4涉及的是高等数学中的凸函数特性以及琴生不等式.
　　高观念试题进入高考试卷，拓展了高考命题的空间，顺应数学课程改革的潮流，更能体现高等数学与初等数学的内在联系. 因此在高中数学教学中，在注重初高中知识衔接的同时也要重视与大学内容的链接. 在这个过程中，教师要认真钻研教材，找准结合点，合理地设计一些含有高观念的问题来加强对学生的渗透，但切不可本末倒置，把高等数学中的有关习题原封不动地拿来给学生练习.
　　
　　3 引入新概念
　　
　　所谓新概念问题指的是这类题目中给出了学生没有接触过的新知识或通过新的规定创设出的新的问题情景的试题，包括对新概念进行定义，对新概念、新情景中出现的新知识、新运算、新技能等进行说明，要求学生边读题审题边学习领悟新内容，以此考查学生进一步学习的潜能.
　　例5 （2007年高考・福建卷理16）中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”、“平行关系”等等，如果集合A中元素之间的一个关系“~”满足以下三个条件：
　　 （1）自反性：对于任意a∈A，都有a~a；
　　 （2）对称性：对于a，b∈A，若a~b，则有b~a；
　　 （3）传递性：对于a，b，c∈A，若a~b，b~c则有a~c.
　　则称“~”是集合A的一个等价关系，例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系（自反性不成立），请你再列出三个等价关系：.
　　
　　评析： 例5涉及的新概念是“集合的一个等价关系”，解决本题的思路是先通过“数的相等”、“直线的平行”等概念对“关系”形成感性认识，据此去联想中学数学中的其他“关系”，再通过集合中元素之间的一个等价关系所满足的自反性、对称性、传递性等三个条件加以验证，判断出哪些“关系”是集合的一个等价关系，解决问题的过程充分体现从感性认识再上升到理性认识这一辩证思维过程. 而例6涉及的是一种新的“距离”概念，这种新的距离和通常的两点间距离既有联系（都用点的坐标表示），又有本质的区别（算法不一样）. 解决问题的切入点是紧紧抓住新距离的定义，从定义中提取有效信息，即“新距离=‘两点的横向距离’+‘两点的纵向距离’”. 抓住了这个实质，也就抓住了新距离的算法，从而使问题顺利解决.
　　从上面的分析不难看出，解决含有新概念的问题，首先要阅读、理解和领悟这些新概念，形成一定的感性认识；其次是将文字、符号、图形等各类数学语言相互转译，从中提取有效信息，并加以理性分析，逐步化归为熟悉的问题进行解决. 新概念问题进入高考试卷既提高了试题的新颖度，又能避开猜题押题的不良应试做法，有利于考查考生继续学习的潜能. 因此，在数学教学与高考复习中，广大教师要着力培养学生的阅读理解能力、自主学习能力和独立获取新知识的能力，培养学生终身学习的意识.
　　
　　4 彰显新方法
　　
　　向量、导数等“工具性”知识列入高中数学教学内容，为解决一些实际问题提供了新的方法，因而给解题带来了极大的方便. 然而在前几年的部分高考试卷中，采用为了考向量而考向量，为了考导数而考导数的简单做法，来过分突出陈述性知识的重要性，而作为“方法”的知识，其作用发挥不明显，有违向量、导数等内容进入高中教材的初衷. 而近年来的相关考题，能比较好地凸现其工具性，彰显出“向量法”、“导数法”这些新方法的作用.
　　图3例7 （2006年高考・江苏卷文理18）请您设计一个帐篷，它下部的形状是高为1 �m�的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3 �m�的正六棱锥（如图3所示）. 试问当帐篷的顶点O到底面中心O�1的距离为多少时，帐篷的体积最大？
　　
　　评析： 对于例7，可设OO�1为x �m�，则建立的目标函数为V(x)=32(16+12x－x�3)，其中，1＜x＜4. 至此，必须利用导数的知识方可求出V(x)的最大值，“导数法”在这里显示出了“舍我其谁”的独特优势. 而例8第（Ⅱ）题证明点B在以MN为直径的圆内，其方法较多. 但由“�BM�・�BN�＜0且�BM�、�BN�不共线�∠MBN为钝角�点B在以MN为直径的圆内”是众多证法中考生容易想到且解题方向十分明确的方法，“向量法”在这里发挥了“通性通法”的重要作用.
　　这两道题的条件与要解决的问题中没有一点导数、向量知识的痕迹，但要快速、准确地解决问题，需要用到这些知识，导数法、向量法这两种新方法在这里起了很好的作用，这样的命题思路令人称道，符合向量、导数进入高中教材的方向. 因此在高考复习中，在加强主干知识复习的同时，也要加强这些作为方法的知识在解题中的运用，真正发挥其“工具”的作用.
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　　5 创新老考题
　　
　　“**”结束至今，高考命题走过了30年的历程，命出了大量为世人传颂的经典好题. 弘扬民族优秀传统文化，是国家发展文化事业的重要组成部分，高考命题理应这样. 在强调命题改革的今天，通过改编、创新等手段来赋予老考题新的内涵也就成为高考命题的一种新走向.
　　
　　例10 （2006年高考・湖南卷理20）对1个单位质量的含污物体进行清洗,清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为:1－污物质量物体质量(含污物))为0.8,要求洗完后的清洁度是0.99.有两种方案可供选择,方案甲:一次清洗;方案乙:分两次清洗.该物体初次清洗后受残留水等因素影响,其质量变为a(1≤a≤3).设用x单位质量的水初次清洗后的清洁度是x+0.8x+1(x＞a－1),用y质量的水第二次清洗后的清洁度是y+acy+a,其中c(0.8＜c＜0.99)是该物体初次清洗后的清洁度.
　　(Ⅰ)分别求出方案甲以及c=0.95时方案乙的用水量,并比较哪一种方案用水量较少;
　　(Ⅱ)若采用方案乙,当a为某定值时,如何安排初次与第二次清洗的用水量,使总用水量最少?并讨论a取不同数值时对最少总用水量多少的影响.
　　评析：例9是由1993年全国高考题改编而成，例10是由2001年上海高考题改编而成. 改编后的试题，不仅保持了原来试题的立意和考查的主要知识，而且在求变、求新方面命题者也颇具匠心. 其一，通过改变说法、创设情景等手段来提高试题的新颖度；其二，采用推广条件、引进新知识等方法来丰富试题的内涵；其三，通过紧密联系实际、兼顾考生年龄特点和实践经验等，来科学地考查学生应用数学知识解决实际问题的能力，展示数学的应用价值和人文价值，令人叫绝.
　　在高三复习工作中，广大教师在加强对课本中的例、习题研究的同时，也要注意对历年高考试题特别是近几年高考试题的研究. 在研究中，要找准“增长点”，通过变条件、改结论、创情景、换说法、添新知等方法，加强对老考题的出新，使之成为高考复习的又一好帮手.
　　
　　参考文献
　　1 中华人民共和国教育部制订. 普通高中数学课程标准（实验）. 北京：人民教育出版社，2003
　　2 教育部考试中心. 普通高等院校招生全国统一考试大纲. 北京：高等教育出版社，2007
　　3 吴建良 丁勇. 回眸2006年高考客观题的亮点. 中学数学月刊, 2006(8)
　　4 赵荣夫. 高考数学命题背景研究. 高考研究（第3辑）, 2006(10)
　　5 陈久贵. 2005年高考解析几何试题的几个新特点. 中学数学研究.，2006（5）
　　
　　注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
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