[浅谈高考数学试卷上的“任意”]高考数学试卷
“任意”作为一种特殊的数学语言，近年频频出现在高考试卷上，下面结合例题，从三个方面描述“任意”的含义． 1 “任意”决定了某一个对象的取值范围
例1 （2007江苏・15）在平面直角坐标系xoy中，已知△ABC的顶点A（-4，0）和C（4，0），顶点B在椭圆x225+y29=1上，则�sin�A+�sin�C�sin�B=．
评析：题中“顶点B在椭圆上”决定了顶点B的任意性，同时，由椭圆轨迹可以确定顶点B的取值范围，因此在B的取值范围内取一特殊点B（0，3），构成特殊△ABC，问题即解决．
总结：① 此类题型，首先明确对象，根据对象的任意性寻找范围，之后在取值范围内，取适当 值，解决问题．
② 有些题中，没有明确的“任意”词眼，需要同学仔细寻找，并确定对象的取值范围．
例2 （2002北京・22）对于函数f(x)，若存在x�0∈R，使得f(x�0)=x�0成立，则称x�0为f(x)的不动点，已知f(x)=ax2+(b+1)x+(b-1)，其中0＜a＜1，若f(x）恒有两个不动点，并且y=f(x)图像上A、B两点的横坐标是函数f(x)的两个不动点，且A、B两点关于直线y=kx+12a2+1对称，求b的最小值．
评析：题中“直线y=kx+12a2+1”中的k∈R，即k任意，这在题中没有直接说明，需要同学仔细审题．根据题意，当k=-1时，问题就被简化．避免对参数k的讨论．
解：由f(x)恒有两个不动点，f(x)=x，则有
如图6，此不等式组表示的区域为平面aOb上三条直线：2-b=0, a-3b+2=0, 4a-5b+2=0．
所围成的△ABC的内部，其三个顶点分别为：
A（47，67），B（2，2），C（4，2）．z在这三点的值依次为167，6，8．所以z的取值范围为（167，8）．
因为 0＜a＜1，当且仅当 2a=1a成立，即当a=22时，b取最小值，其b的最小值为-24．
2 “任意”反映了某一个实体所具有的性质（或
属性）例3 （2007江苏・7）若对于任意的实数x，有x�3=a�0+a�1(x-2)+a�2(x-2)�2+a�3(x-2)�3，则a�2的值为．
评析：由于对任意的实数x,x�3都有x�3=a�0+a�1(x-2)+a�2(x-2)�2+a�3(x-2)�3，反映了实体x�3具有的二次项展开性质，因此此题应从二次项展开性质为切入点，切记不要针对x的任意性，而采取特殊法，将步入解题陷阱．
解：由x�3=(x-2+2)�3=C�0�3(x-2)�0・2�3+C�1�3（x-2)・2�2+C�2�3（x-2)�2・2+C�3�3（x-2)�3，
知：a�2=6.
例4 （2001广东）设f(x)是定义在R上的偶函数，其图像关于直线x=1对称，求证：f(x)是周期函数．
证明：根据题意，f(x)关于直线x=1对称，有 f(x)=f(1+1-x),
故 f(x)是R上的周期函数．
总结：“任意”反映实体的性质，其实体可以是一个函数、一个方程、一个图形，对于实体的性质，例如上题中，“任意”反映函数的奇偶性、周期性．
3 “任意”引起了全体对象的分类
例5 设集合M={0，1，2}，N={1，2，3，4，5}，从M到N的映射，f:M→N，使任意x∈M，都有x+f(x)+x・f(x)是奇数，这样的不同映射的个数有个．
评析：由于x的任意，引起对集合M全体元素的分类．
解：当x=1时，N中任意一个元素作为像都可以满足映射f，因此有5种对应．
当x=0或2时，N中只有是奇数的元素作为像才满足映射f，因此有3×3种对应．
故不同映射的个数为5×3×3=45种．
下表是分析示意图：
元素奇偶性示意图x奇数奇数偶数偶数f(x)奇数偶数奇数偶数x・f(x)奇数偶数偶数偶数x+f(x)+x・f(x)奇数奇数奇数偶数例6 三角形的三个内角α、β、γ，对任意x、y、z，求证：x2+y2+z�2≥2xy�
例7 （1995全国）由1，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中是偶数的三位数共有个．
评析：由于排列元素的顺序具有任意性，五个数中有两个偶数，因此需要分类考虑．
解：当2个在个位上的三位数有A�2�4个，当4在个位上的三位数也有A�2�4个，所以没有重复数字的三位偶数共有2A�2�4=24个．
总结：在一些集合、排列问题中，涉及元素的取法，根据集合元素的任意性，排列问题的随机性，有时需要对元素进行分类，在一定程度上，“任意”间接反映了数学问题的本质．
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
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