避难走道【高校遇险时紧急避难通道的数学模型设计研究】

　　摘要： 有必要对避难场地进行有效的选择与规划，因地制宜，应对不同的情况设计相应的救援方案。本文对遇险时人员疏散方案进行建模与研究，通过对逃生路线与紧急避难所合理的选择，计算逃生时间，最大限度保障人员安全，根据学校具体情况，提出合理化建议。
　　Abstract: It is necessary to effectively select and plan emergency shelter according to the local conditions, and make appropriate designs according to the different rescue package. This paper made modeling and research on the evacuation programme when in distress, calculated escape time through a reasonable choice of escape routes and emergency shelters, to protect the personnel security in maximum degree, and put forward proposals based on the school situation.
　　关键词： 逃生速度；人员密度；紧急避难所
　　Key words: escape velocity；staff density；emergency shelters
　　中图分类号：G647 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2012）24-0322-02
　　1 问题的提出与分析
　　对于高校而言，人员众多且相对较集中，这样不利于人员的疏散，给应急避难造成一定障碍。而高校建立紧急避难所的资源相当充分，按照城市应急避难场地的规划原则，操场、体育场、广场与空地均为应急避难场所的最佳选择。只要合理规划这些设施的布置，定能为避难提供有利条件。同时作为高校内的师生来讲，文化程度普遍较高，易接受地震避险知识且纪律性强，因而总体素质较高不易引起混乱，有利于转移和逃生。
　　2 模型建立及求解
　　要最大程度保障人员安全，逃生时间是关键。逃生时间=距离/逃生速度。建筑物到避难所的距离已定，速度越快，则时间越短。在突发情况中，个人的逃生速度受到两方面的影响，即前后拥挤及左右拥挤。[1]
　　2.1 前后拥挤方面
　　假设第j个人t时刻时位置处于xj（t），将坐标起点取在出口处，xj-1（t）>xj（t）。则此人的速度和加速度分别为dxjdt和d2xjdt2，第j个人与紧挨前面的第j-1个人的距离差值的绝对值和速度差值的绝对值分别为xj（t）-xj-1（t）和■-■。当速度绝对差■-■越大时，为了防止碰撞与挤压前面的人，第j个人动能越大，降低速度到停止所需的力量也越大；同理，当距离绝对差xj（t）-xj-1（t）越小时，同样第j个人需要在更短的路程里将动能减低到0，所需力量也越大。因此：防止前后碰撞与挤压的反作用力正比于[2]。
　　（dxj/dt-dxj-1/dt）xj（t）-xj-1（t）
　　2.2 左右拥挤方面
　　通常情况下，人群在逃生中左右所需空间小于前后所需空间，因此左右方向密度大于前后方向密度，所产生的碰撞与挤压造成一定摩擦，从而产生阻尼作用。若第j个人受到周围人群的摩擦阻尼力的大小fj＞0。质量为Mj，当拥挤情况发生变化时，人能够及时反应，根据牛顿第二定律，得到
　　-Mj*d2xjdt■=A（dx■dt-dx■dt）x■（t）-x■（t）+fj
　　（1）
　　其中，A为正值常数。此时若假设紧急避难者有N个，j=2，3，…，N。式（1）为N-1个二阶常微分方程组成的方程组，未知函数为xj，j=2，3，…，N。由此可见，该方程组可用作地面上疏散逃生的模型。
　　如前所示，显然人员密度（包括前后密度和左右密度）直接影响逃生速度，当人员密度越大，逃生速度越低，则逃生速度是逃生人员密度的单调减函数[3]。另一方面，逃生人员越少,逃生速度越高，但逃生人员的最高速度是有界的，即人员密度值存在一个下届，在此下届时，将逃生速度上界记为um，同时设人员的前后方向线密度为?籽1，左右方向线密度为?籽2。于是逃生速度u=u（?籽1，?籽2），当?籽1，?籽2小于某临界值?籽1c，?籽2c时，u达到最大值um，即当?籽1≤?籽1c，?籽2≤?籽2c时，u（?籽1，?籽2）=um，称?籽1c和?籽2c为可自由逃生的前后和左右临界密度。另一方面，当?籽1，?籽2的值增大到一定程度，使得逃生通道阻塞，逃生人员完全不能跑动时，我们认为达到了密度的最大临界值，分别记为?籽1m和?籽2m，故u（?籽1m，?籽2m）=0。现在对式（1）两边积分，得到
　　■=?姿jLn（xj-1（t）-xj（t））-■Fj+?琢j（2）
　　其中：?姿j=A/Mj；Fj是fj的积分原函数，表示第j个逃生者在左右方向受到的阻尼值；?琢j为积分常数。如果考虑每位逃生者的前后、左右等距，第j个人的前后间距设为d1，左右间距设为d2，于是xj-1（t）-xj（t）=L+d1，而左右阻尼值与左右间隔关系为Fj=■，k>0为常数。因而
　　uj=?姿jLn（L+d1）-■■+?琢j（3）
　　由于?籽1=■，?籽2=■，将它们代入式（3），得到
　　uj（?籽1，?籽2）=?姿jLn■-■?籽2+?琢j（4）
　　利用u（?籽1，?籽2）=0定出?琢j然后代入（4）得到稳定平衡时疏散速度为
　　uj（?籽1，?籽2）=um （?籽1≤?籽1c，?籽2≤?籽2c）