两异面直线的距离公式_两异面直线间距离公式的简易证明

　　摘 要： 本文借助向量的数量积，向量积和混合积，以及点到平面的距离公式，给出了空间两异面直线间距离公式的两个简易证明.　　关键词： 异面直线 公垂线 向量积 数量积 混合积
　　1.引言
　　在解析几何教学中，关于空间两异面直线的内容主要讨论两个方面的问题，一个是讨论两异面直线的公垂线的方程［１］，其中两异面直线的公垂线是指与两条异面直线都垂直相交的直线，文献［4］通过具体实例给出了空间两条异面直线公垂线方程的几种求法;另一个是讨论两异面直线间的距离，其中两直线间的距离是指两直线上的点之间的最短距离.显然，两相交直线和重合直线直线的距离为零，两平行直线间的距离等于其中一直线上的任意一点到另一直线的距离.这三种情况的距离是很容易理解和计算的.两异面直线的距离在理解和计算方面相对比较难.
　　文献［1］介绍了两异面直线间的距离公式：已知两异面直线l和l的方程分别为：
　　==
　　和
　　==
　　记A（x，y，z），=（m，n，p），B（x，y，z），=（m，n，p），两异面直线间的距离为d，则
　　d=
　　文献［2］给出了两异面直线距离的六种推导方法.本文利用数量积、向量积和混合积，以及点到平面的距离，给出上述距离公式的简单证明.为此，我们先给出几个引理.
　　引理1［１，3］?摇?摇如果⊥，则?=0.
　　引理2［１］?摇?摇两异面直线的公垂线是唯一存在的.
　　引理3［１］?摇?摇两异面直线间的距离等于它们公垂线的长.
　　引理4［１］?摇?摇点M（x，y，z）与平面Ax+By+Cz+D=0间的距离为d=.
　　2.两异面直线间的距离公式的证明
　　证法1：作异面直线l和l的公垂线CD，交l与C和交l与D，如图1所示.
　　则=与C共线，⊥A和⊥D.
　　从而|C|=|e?C|.（1）
　　A?=0和D?=0.（2）
　　由引理3知，两异面直线l和l间的距离d=|C|，于是由式（1）知
　　d=|C?|.（3）
　　显然=A+C+D，于是由式（2）得
　　?=C?.
　　从而由式（3）和混合积的定义得
　　d=.
　　证法2：设P为空间上任一点，则经过点A，以向量，为方位向量的平面π方程为
　　（A，，）=0，
　　且该平面π的法向量为×.
　　显然，平面π平行于直线l，于是两异面直线l和l的距离为点B到平面π的距离.从而由引理4得两异面直线l和l的距离为
　　d=
　　3.结语
　　本文运用向量的基本运算（向量积，数量积，混合积）和点到平面的距离，给出了两异面直线间距离公式的推导，证明过程浅显易懂.这对于学生理解和掌握两异面直线间的距离公式有很大帮助，对培养学生的逻辑思维具有非常重要的意义.
　　参考文献：
　　［1］吕林根，许子道等.解析几何（第四版）［M］.北京：高等教育出版社，2006.
　　［2］刘德金.两异面直线之间距离公式的多种推导［J］.高等数学研究，2009，12，（2）：21-23.
　　［3］同济大学数学系.高等数学（第四版）（下册）［M］.北京：高等教育出版社，2007.
　　［4］田立平，谢斌，鞠红梅等.从“一题五解”谈知识的灵活和综合运用［J］.高等数学研究，2007，10，（2）：28-29.
　　基金项目：重庆市教育委员会项目（No.KJ100419），重庆交通大学高教所教改研究课题（No.1003011）。