答案是B 随机过程2012B卷及答案

河北科技大学2012——2013 学年第一学期

《应用随机过程》试卷（B）

学院 理学院 班级 姓名 学号

一．概念简答题（每题5分，共40分）

1.设随机变量X1,X2,,Xn相互独立且服从同一正态分布N(,2)，试求

X=

1n

n



k=1

Xk

的分布。

2.设更新过程 N(t),t0的更新时间距Tk的概率密度函数为f(t)2tet,t0 求证：均值函数mN(t)

12

t

14

(1e

2

t

)，并求其更新强度(t)。

3.简述Poisson过程的随机分流定理

4.简述Markov链与Markov性质的概念

5. 简述Markov状态分解定理

6．简述HMM要解决的三个主要问题

7. 已知随机过程X(t)=Xsint,t(-,+)，其中X为随机变量，服从正态分布

N(,)

2

。

(1)按物理结构分，X(t)属哪一类随机过程；

(2)按概率结构分，X(t)又属哪一类随机过程。

8．什么是时齐的独立增量过程？ 二．综合题（每题10分，共60分）

1.设随机过程X(t)=cost,tT，其中是服从区间(0,2)上均匀分布随机变量，试证：

（1）当Tn|n0,1,2,时，X(t),tT为平稳序列。 （2）当Tt|t(,)时，X(t),tT不是平稳过程。

7y4,0y1

2. 已知随机变量Y的密度函数为fY(y),而且，在给定Y=y条件

0,其他3x2,0xy1

,试求随机变量X下，随机变量X的条件密度函数为fX|Y(x|y)

0,其他

和Y的联合分布密度函数f(x,y).

3. 二阶矩过程X(t),0t



2

1-t1t2

,0t1,t2

此过程是否均方连续、均方可微，若可微，则求RX(t1,t2)和RXX(t1,t2)。

4．如果X(0),X(1),,X(n),是取整数值且相互独立的随机序列。 （1）试证X(n),n0是马尔可夫链，在什么条件下是其次的？

n

（2）设PXn()ipn,i0,1,2,,(Y)n

X()k

k0

，试证{Y(n),n0}是齐次马

尔可夫链，指出其状态空间，并求其一步转移概率。

5．一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的。假设每箱平均重50kg，标准差为5kg，若用最大载重量为5000kg的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障部超载的概率大于0.9772.

121P=

012

120130

002312

0000

6． 设I={1,2,3,4}，其一步转移概率矩阵，试画出状态传递图，

对其状态进行分类，确定哪些状态是常返态，并确定其周期。

河北科技大学2012——2013 学年第一学期

《应用随机过程》试卷（B）答案

一．概念简答题（每题5分，共40分）

1. 设随机变量X1,X2,,Xn相互独立且服从同一正态分布N(,2)，试求

X=

1

n

n

Xk

的分布。

k=1

答:由Xi~N(,2)可知

X(t)=e

i

it-

t

2

22

,i=1,2,,n

n

由于X1,X2,,Xn相互独立，根据特征函数的性质可得，X=(

k=1

Xkn

)的特征函数

为

X(t)=(X(

i

tn

))=(e

n

it-

t

2

22

)=e

n

it-

t

22

2n

上式即为正态分布N(,

1

n



2

n

)的特征函数，所以有唯一性可知

X=

n

Xk~N(,



2

k=1

n

)

2．设更新过程 N(t),t0的更新时间距Tk的概率密度函数为f(t)2tet,t0 求证：均值函数mN(t)

12

t

14

(1e

2t

)，并求其更新强度(t)。

n

答：因为更新间距Tk~(2,)，故更新时刻n数与分布函数分别为

T

k1

k

~(2n,)

，其概率密度函

2n1t

(t)e,t0

fn(t)(2n)

0,t0t2n1s

(s)eds,t00

Fn(t)(2n)

0,t0



mN(t)

t0

F

n1

n

(t)



t0

(2n)

s

(s)

t0

2n1

e

s

ds



t0



e

s

(

n1

(s)

2n1

(2n1)!

2t

)ds







2

(e

s

e

s

)eds(





2

(1e

2s

)ds

t

2



14

(1e

)

(t)



ddt

mN(t)

2n1

ddt

t

2

t



14

(1e

2t

))

注：

k1

(t)

(2n1)!



12

(ee

t

)

3简述Poisson过程的随机分流定理

答：设Nt为强度为的poisson过程，如果把其相应的指数流看成顾客流，用与此指数流相互独立的概率p,把每个到达的顾客，归入第一类，而以概率1-p 把他归入第二类。对i=1,2,记 Nt(i)为t前到达的第i类顾客数，那么

{Nt

(1)

:t0},{Nt

(2)

:t0}分别为强度为p与（1-p）的poisson过程，而且这

两个过程相互独立。

4简述Markov链与Markov性质的概念

答：如果随机变量是离散的，而且对于n0及任意状态

i,j,i0,,in1,都有p(n1j|ni,n1in1,,0i0)p(n1j|ni)

，该随

机序列为Markov链，该对应的性质为Markov性质。 5. 简述Markov状态分解定理

答：(1) Markov链的状态空间S可惟一分解为 STH1H2，其中T为暂态的全体，而Hi为等价常返类。

（2）若Markov链的初分布集中在某个常返类Hk上，则此Markov链概率为1地永远在此常返类中，也就是说，它也可以看成状态空间为Hk的不可约Markov链。

6．简述HMM要解决的三个主要问题

答：(1)从一段观测序列{Yk,km}及已知的模型(,A,B)出发，估计Xn的最佳值，称为解码问题。这是状态估计的问题。

(2) 从一段观测序列{Yk,km}出发，估计模型参数组(,A,B)，称为学习问

题。这是参数估计问题。

(3) 对于一个特定的观测链{Yk,km}，已知它可能是由已经学习好的若干模型之一所得的观测，要决定此观测究竟是得自于哪一个模型，这称为识别问题，就是分类问题。

7．已知随机过程X(t)=Xsint,t(-,+)，其中X为随机变量，服从正态分布

N(,)

2

。

(1)按物理结构分，X(t)属哪一类随机过程； (2)按概率结构分，X(t)又属哪一类随机过程。

答：（1）因为随机过程X(t)的参数空间T=(-,+)为连续集合，而X服从正态分布，亦在(-,+)上取值，即X(t)的状态空间E=(-,+)为连续集合，故此随机过程X(t)属于参数空间为连续集，状态空间为连续集的随机过程。

2222

（2）因为E，所以 X(t)为二阶矩过程。 X(t)=E(Xsinti)

由于X服从正态分布， X(t)中任意多个随机变量X(ti)=Xsinti,i=1,2,,n

n

n

的线性组合iX(ti)=(iti)X服从正态分布，故(X(t1),,X(tn))服从n维正

i=1

i=1

态分布，所以X(t)=Xsint,tT=(-,+) 还是正态随机过程。 8 .什么是时齐的独立增量过程？

答：称随机过程{t：t0}为独立增量过程，如果对于n,0t0t1tn,起始随机变量及其后的增量sts是相互独立的随机变量组；如果sts的分布不依赖于s, 则此独立增量过程又称为时齐的独立增量过程。 二．综合题（每题10分，共60分）

1. 设随机过程X(t)=cost,tT，其中是服从区间(0,2)上均匀分布随机变量，试证：

（1）当Tn|n0,1,2,时，X(t),tT为平稳序列。 （2）当Tt|t(,)时，X(t),tT不是平稳过程。

证：（1）当参数空间为Tn|n0,1,2,时 ①EX(t)Ecos(t)



20

1,t0

cos(xt)dx20,t01

12

(1分)

②RX(t1,t2)=Ecos(t1)cos(t2)当t1t20时，RX(t1,t2)=1 当t1与t2不全为零时，有

12

20

Ecos((t1t2))cos((t2t1))

RX(t1,t2)=



1

,tt0

cos(x(t1t2))cos(x(t2t1))dx221

20,tt0

21

1

即RX(t1,t2)只与t2t1有关。 (2分)

1,t022

RX(t,t)1|X(t)| ③E，即E|X(t)|,t0

2

故当Tn|n0,1,2,时，X(t),tT为平稳序列。 (2分) （2）当参数空间为Tt|t(,)时，由于

20

EX(t)Ecos(t)



t01,



cos(xt)dx1 (5分) 2sin(2t),t0

2 1

为t的函数，不是常数，故当Tt|t(,)时，X(t),tT不是平稳过程。

7y4,0y1

,而且，在给定Y=y条件2. 已知随机变量Y的密度函数为fY(y)

0,其他3x2,0xy1

,试求随机变量X下，随机变量X的条件密度函数为fX|Y(x|y)

0,其他

和Y的联合分布密度函数f(x,y).

7y43x2,0xy1

答：f(x,y)=fY(y)fX|Y(x|y) (5分)

0,其他

21y4x2,0xy1

= （5分）

0,其他

3．二阶矩过程X(t),0t



2

1-t1t2

,0t1,t2

此过程是否均方连续、均方可微，若可微，则求RX(t1,t2)和RXX(t1,t2)。 答：

t1

RX(t1,t2)=

t2

(1-t1t2)

2

2

2

,

t2

RX(t1,t2)=

2

t1

(1-t1t2)

2

2

t1t2

RX(t1,t2)=

(1+t1t2)

(1-t1t2)

2

3

,0t1,t2

2

由对称性知，



2

2

t1t2

RX(t1,t2)存在且等于



t2t1

RX(t1,t2)，显然

在任意点

t1t2

RX(t1,t2)=

(1+t1t2)

(1-t1t2)

3

,0t1,t2

1

t2,

1连续，故

RX(t1,t2)广义二阶可微，即X(t),0t

连续。

RX(t1,t2)=EX(t1)X(t2)=



2

t1t2t2

RX(t1,t2)=

(1+t1t2)

(1-t1t2)

3

2

(5分)

RXX(t1,t2)=EX(t1)X(t2)=

RX(t1,t2)=

t1

(1-t1t2)

2

2

(5分)

4．如果X(0),X(1),,X(n),是取整数值且相互独立的随机序列。 （1）试证X(n),n0是马尔可夫链，在什么条件下是其次的？

n

（2）设PXn()ipn,i0,1,2,,(Y)n

X()k

k0

，试证{Y(n),n0}是齐次马

尔可夫链，指出其状态空间，并求其一步转移概率。

答：（1）X(0),X(1),,X(n),是独立随机变量序列，故为马尔可夫过程，其状态集

E0,1,2,，所以X(n)是马尔可夫链。其一步转移转移概率

所以X(n)一般情况pij(k)PX(k1)j|X(k)iP{X(k1)j}与k有关，

下是非齐次马尔科夫链，仅当P{X(k1)j与绝对时刻k无关，即X(k)同分布时，X(n)为齐次马尔可夫链。 (5分) （2）Y(n)

n



k0

X(k)为独立增量的随机过程，状态集E0,1,2,，故为马

尔科夫链，一步转移概率

pij(k)PY(k1)j|Y(k)iP{X(k1)ji}pji

i,jE

与绝对时间k无关，故{Y(n),n0}是齐次马尔科夫链。 (5分) 5．一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的。假设每箱平均重50kg，

标准差为5kg，若用最大载重量为5000kg的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障部超载的概率大于0.9772.

2，答：记Xi表示第i箱的重量，i1，，则X1,X2,,Xn,独立同分布，且

E(Xi

m

设汽车可装m箱符合要求，即PXk50000.9772

k=1

m

m

m

m

而E(Xk)=E(Xk)=50m,D(Xk)=D(Xk)=25m

k=1

k=1

k=1

k=1

根据列维中心极限定理可知

m

Pk=1

m

X-50mkXk5000=P (5分)

于是

(

0.9772，而(2)=0.9772，故

5000-50m

210m+0

所以

10

10

解得

 0

10

(5=98.0199

2

分)

即每辆车最多可装98箱。

1

21P=

012

120130

002312

0000

6． 设I={1,2,3,4}，其一步转移概率矩阵，试画出状态传递图，

对其状态进行分类，确定哪些状态是常返态，并确定其周期。 答：

因为对一切n1,f44(n)0,所以f4401,从而知道状态4是非常返态。 （1分）

23

23

23

n2时,f33

(1)



,f33

(n)



,所以f33

1,从而知道状态3也是非常返态。（1分）

而 f11f11(1)f11(2)

12



12

1, （2分）

f22f22

(1)

f22

(2)

...01/21/2...1, （2

2分）

所以状态1和状态2都是常返态。又由于



1



n1

nf11

(n)

1

12

2

12



32

, （2分）



2



n1

nf22102

(n)

12

3

12

2

故状态...3,而其周期均为1，1与状态2

是正常返态，且为遍历态。 （2分）