正弦定理的应用

正弦定理的应用_正弦定理的变形及应用

正弦定理的变形及应用正弦定理的原定理同学们较熟悉．正弦定理的变形形式有： （1）a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C ;（2）sin A ?a b c , sin C ? ，sin B ? ； （3） 2R 2R 2Rsin A : sin B : sin C ? a : b : c ;（3） a sin B ? b sin A, b sin C ? c sin B, a sin C ? c sin A ，下面结合学习正弦定理的实际，分类例析它的应用。

一、证明三角等式 例１．在△ ABC 中，ａ、ｂ、ｃ依次是 A 、 B 、 C 的底边，且 a+c=2b , 求证：tanA C 1 ? tan ? 2 2 3证明：由ａ＝2RsinA , b=2RsinB , c=2RsinC 及 a+c=2b 得s iA n?s i C n ? 2s i B n ? 2 s i ?n A ? C?∴ 2 sinA?C A?C A?C A?C A?C cos ? 4 sin cos , 又sin ?0 2 2 2 2 2A?C A?C ? 2cos 2 2 ∴ A C A C A C A C cos cos ? sin sin ? 2cos cos ? 2sin sin 2 2 2 2 2 2 2 2 cos∴ 3sinA C A C sin ? cos cos 2 2 2 2∴ tanA C 1 ? tan ? 2 2 3点评：己知中的关系是边，而所求证中的关系是角，正弦定理恰是桥梁作用。

二、判断三角形的形状 例２．在 ?ABC 中， b cos A ? a cos B ，判断 ?ABC 的形状.a a b c ? k ( k ? 0 )， 由 正 弦 定 理 ? ? 得 a ? k sin A ， sin A sin A sin B sin C b ? k sin B ，代入已知条件得 sin B cos A ? sin A cos B. 即 sin B cos A ? cos B sin A ? 0 ，解：设 即 sin( B ? A) ? 0 . 又 A, B 为 ?ABC 的内角，所以 A ? B ，故 ?ABC 为等腰三角形. 点评：判断三角形的形状，要么是从角入手，要么是从边入手。

三、确定三角形内边和角的大小 例３．在△ABC 中，已知 b ? 14, A ? 30 , B ? 120 中，求 a ， c 及△ABC 的面积 S0 0解：依正弦定理：a b bs i n A ＝ ，∴ a? ，代入已知条件， sin A sin B sin B14sin 300 14 3 a? ? 3 sin 1200∵ C ? 1800 ? ( A ? B) ? 1800 ? (300 ? 1200 ) ? 300 ，又 ∴c ?b c ＝ ， sin B sin Cb sin C 14sin 300 14 3 （或因为∠C＝∠A，△ABC 为等腰三角形，所以 ? ? sin B 3 sin 12001 1 14 3 4 3 ab sin C ? ? ? 14sin 300 ? 2 2 3 3a ? c ）∴ S ?ABC ?点评：在用正弦定理解决三角形问题时，常与三角形面积公式 S ?1 ab sin C ? 21 1 ac sin B ? bc sin A 联系在一起。

2 2四、确定变量的范围15.在?ABC中，已知A ? 2 B, 求 的取值范围. 例４．b a15.解 : A ? 2 B ? sin A ? sin 2 B ? 2sin B cos B ? ? A ? 2 B ? 0? ? B ? 60? ?b sin B 1 = = . a sin A 2 cos B1 b 1 ? cos B ? 1? ? ( ,1). 2 a 2点评：求边的关系的取值范围，直接求不能入手，结合己知条件运用正弦定理进行转化能 解决问题。

正弦定理的应用_应用正弦定理解决实际问题

应用正弦定理解决实际问题正弦定理是解决与三角相关问题的有力工具，在实际生活和工农业生产中，许多问题与 三角形相关。可以利用正弦定理进行解决。而利用正弦定理解决实际问题的步骤是： (1) 仔细阅读题中内容，正确理解题意，找出已知与所求，画出示意图；(2)构建三角形，把实 际问题中的长度、角度看做三角形相应的边和角，把实际问题转化为数学问题；(3)应用正 弦定理等数学知识解三角形；(4)对解数学问题得出结论做出实际问题的答案。

一、求建筑物的高度 例 1 在某点 B 测得建筑物 AE 的顶端 A 的仰角为 ? ，沿 BE 方向前进 30 米，到点 C 处 测 得顶端 A 的仰角为 2? ，再继续前进 10 3 米到点 D 点，顶端 A 的仰角为 4? ，求 ? 的大小 A 和建筑物 AE 的高。

解：由已知可得在 ?ACD 中， AC ? BC ? 30 ，AD ? DC ? 10 3 ，? ?ADC ? 1800 ? 4?B??3 10 3 30 0 ， 因为 sin 4? ? 2 sin 2? cos 2? ， ， 得 2? ? 30 ? cos2? ? ? 0 2 sin 2? sin(180 ? 4? )C2?4? D E图1?? ? 150 ，在 Rt ?ADE 中， AE ? AD sin 600 ? 15 ，所以所求角 ? 为 15 ，建筑物高为 15 米。0点评：根据题意画出的图 1，可以运用正弦定理得解。本题同学们也可以方程观点求， 也可以利用二倍角公式求解，同学们不妨度试一试。

二、应用于航海技术 例 2 如图 2，海中小岛 A 周围 38 海里内有暗礁，船正向南航行， 在 B 处测得小岛 A 在船的南偏东 30 ，航行 30 海里后，在 C 处测得 小岛 A 在船的南偏东 45 ，如果此船不改变航向，继续向南航行，有 无触礁的危险？ 解：在 ?ABC 中， BC = 30, B = 30 ， 图2 ∴ 由正弦定理知：BC AC = sin A sin B∴30 AC = ， sin15 sin 30∴ AC =30sin 30 = 60cos15 = 15( 6 + sin152)于是 A 到 BC 所在直线的距离为：AC ? sin 450 = 15( 6 ? 2 ) ?2 2（海里） 答：它大于 38 海里，所以继续向前航行无触礁的危险。

点评：船继续向南航行，有无触礁的危险，取决于 A 到直线 BC 的距离与 38 海里的大 小．于是我们只要先算出 AC（或 AB） ，再算出 A 到 BC 所在直线的距离．将它与 38 海里 比较即得问题的解． 三、应用于测量技术 例 3 某炮兵阵地位于地面 A 处，两观察所分别位于地面点 C 和 D 处，已知 CD=6000 米 ， ?A C D ? 4 5 ,? A D ? C 7， 5目 标 出 现 于 地 面 点 处 B 时 ， 测 得?BCD ? 30 , ?BDC ? 15 ，求炮兵阵地到目标的距离．解：在△ACD 中， ?CAD ? 180 ? ?ACD ? ?ADC ? 60 ，ACD ? 6000, ?ACD ? 45 ，根据正弦定理得： AD ?CD sin 45 2 ? CD ． sin 60 3C45?? 30?? ? ?B75?? D 15?? ? ?同理，在 ?BCD 中， ?CBD ? 180 ? ?BCD ? ?BDC ? 135 ， CD=6000， ?BCD ? 30 ， 根据正弦定理得： BD ?图3CD sin 30 2 ? CD ． sin135 2又在△ABD 中， ?ADB ? ?ADC ? ?BDC ? 90 ， 根据勾股定理得： AB ?AD2 ? BD2 ?2 1 42 ? CD ? CD ? 1000 42 ． 3 2 6所以，炮兵阵地到目标的距离为 1000 42 米． 点评：在实际问题中，解决与三角形相关应用题，首先要认真审清题目条件，画出题图 形，标出已知条件，如角度和边长．然后分析哪些边和角需要求出，选择三角形应用正弦定理解决．最后结合实际给出结论。

正弦定理的应用_正弦定理及其应用

基于数学核心素养的高中数学教学设计与反思课题名称：正弦定理及其应用姓名王艳芳工作单位河北省易县高级中学学科年级高二年级教材版本人教 A 版一、教学内容分析在初中，学生已经学习了三角形的边和角的基本关系；同时在必修 4 ，学生也学习了三角函数、平 面向量等内容。这些为学生学习正弦定理提供了坚实的基础。正弦定理是初中解直角三角形的延伸， 是揭示三角形边、角之间数量关系的重要公式，本节内容同时又是学生学习解三角形，几何计算等后 续知识的基础，而且在物理学等其它学科、工业生产以及日常生活等常常涉及解三角形的问题。二、教学目标（1）知识目标： ①引导学生发现正弦定理的内容，探索证明正弦定理的方法； ②简单运用正弦定理解三角形、初步解决某些与测量和几何计算有关的实际问题。（2）能力目标：①通过对直角三角形边角数量关系的研究，发现正弦定理，体验用特殊到一般的思想方法发现数 学规律的过程。②在利用正弦定理来解三角形的过程中，逐步培养应用数学知识来解决社会实际问题的能力。

（3）情感目标：通过设立问题情境，激发学生的学习动机和好奇心理，使其主动参与双边交流活 动。通过对问题的提出、思考、解决培养学生自信、自立的优良心理品质。通过教师对例题的讲解培 养学生良好的学习习惯及科学的学习态度。三、学习者特征分析学生在初中已获得了直角三角形边角关系的初步知识,正因如此学生在心理上会提出如何解决斜 三角形边角关系的疑问。与以往的学生比较，这届学生的特点是：参与课堂教学活动的积极性更强，思维敏捷，敢于在课 堂上发表与众不同的见解，但计算能力较差，字母推理能力较弱，使用数学语言的表达能力也略显不 足。四、教学策略选择与设计由于这是一堂新授课, 加上班级学生有较好的数学基础，学习积极性较高，领悟能力较好，所以 在教学中,拟采用师生共同参与的谈话法：由教师提出问题，激发学生积极思考，引导他们运用已有的 知识经验，利用合情推理来自行获取新知识。通过个别回答，集体修正的方法让我及时得到反馈信息。

最后，我将根据学生回答问题的情况进行小结，概括出问题的正确答案，并指出学生解题方法的优缺 点。五、教学重点及难点教学重点：通过新课程标准的解读，教材内容的解析，我认为正弦定理的推导有利于培养学生发散思维，学生能体验数学的探索过程，能加深对数形结合解决数学问题的理解，所以正弦定理的证明是本节课的重点之一；同时，数学知识的学习最终是为了应用，所以正弦定理以及正弦定理的应用也是本节课的重点之一。教学难点 ：新定理的发现需要一定的创新意识和发散思维，这正是多数学生所缺乏的，但是社会需要的是创新人才，因此，正弦定理的猜想发现是本节课的难点。六、教学过程 教师活动预设学生活动设置情境 引入课题学生根据设置的情景，画出问某游客在爬上山顶后，在休息时 题所对应的图形，思考如何解决问看到对面的山顶想：这离对面有多远的距离呢？请同学们帮帮这位游客。（工具是测角仪和皮尺）在岸边选定 1 公里长的基线 AB，并测得∠ABC=120? ，∠BAC= 45? ，如何求 A、C 两点的距离？（引出问题： 在三角形中，已知两角以及一边，如 何求出另外一边） 探寻特例 提出猜想 回顾直角三角形中边角关系.如图：题。

因为学生只有初中解直角三角形的基础，因此预计很多同学都是 作的直角三角形，针对这一现象提 出如果是斜三角形，应如何解决。让学生自己弄明白基线的概 念。设计意图通过设置情境，激 发学生的学习热情,培 养学生学习数学的兴 趣，在情境中提出问 题,引导学生探究问 题，这样在课堂中调动 了学生的积极性，使他 们以强烈的求知欲和 饱满的热情来学习新 知识.多数学生对直角三角形中的边角关系都能给出结果。学生通过讨sin A ? a , sin B ? b , sin C ? 1 ? cccc所以 c ? a ? b ? c . sin A sin B sin C说明：这个过程通过师生互动过程实现，我的角色是引导、鼓励学生积极论、大胆猜想，把直角三角形中的 边角关系推广到一般的三角形中 去。这个关系是否正确，学生先用 一些特例去验证。思考证明方法。思考，并表达其想法。1、在此环节上， 我突破难点（正弦定理 的发现）的方法是利用 学引导学生从熟悉的 求直角三角形各角的 正弦入手，鼓励、引导 学生积极主动地思考， 创造意义学习的条件。2、对正弦定理的发现采用的是由特殊到一般地思想方法。猜想：在一般三角中，上式关系是 否成立？如果成立，如何证明?逻辑推理 证明猜想首先，我放映利用《几何画板》制作的多媒体动画，画面将显示：不管三角形的边、角如何变化，比值： a , b , c 的值都会 sin A sin B sin C相等。提出问题：如何证明？在锐角三角形中sin A ? CD , sin B ? CD ,ba让学生分组讨论自主探究，教 师注意巡视指导，引导学生思考。

方法一：作高法：鼓励学生通过作 高转化为熟悉的直角三角形进行证 明，对于钝角三角形，让学生课后 证明。

方法二:向量法学生自主探讨定理结论与向量投影之间的关系，试图用向量法证1、该环节在我的 引导下，学生分组讨 论，合作交流，进行“再 创造”，体现了数学新 课标所倡导的积极主 动，勇于探索的学习方 式的课程理念。2、正弦定理的证 明（重难点），首先法 1 把不熟悉的问题转化 为熟悉的问题, 引导 启发学生利用已有的bsin A ? asin B ，即 a ? b ， 明结论。sin A sin B同理 a ? c ，若 A 为锐角或直角，也可以得到sin A sin C同样的结论。即a?b ? c sin A sin B sin C思考：你能用其他方法证明这一关系式吗？（可引导学生从三角形的外接圆或面积去考虑）知识解决新的问题 3、研究性课题具有开放性多元性.启发 学生利用所学知识解 决新的问题，让学生借 助向量工具来证明,突 出向量的工具性作用. 培养学生思维灵活广 阔性4、提出新问题为 下节课的问题 2 和问题 3 做准备，激发学生学 习的积极主动性。在钝角三角形中也有这样的结论。范例启迪 归纳方法解 如图 5，将 BD,CE 分别相交 A例 1 某地出土一块类似三角形于一点 A，在 ?ABC 中，刀状的古代玉佩（如图 4）， DE A=180 ? (B+C)= 15? DE其中一角已经破损。现测得BC图4BC图5如下数据：BC=2.67cm，CE=3.57cm，BD=4.38cm，B= 45 , C=120 。为了复原，请计算原玉佩两边的长（结? BC ? AC ， sin A sin B? AC ? BC sin B ? 7.02(cm) ， sin A果精确到 0.0 在 01cm）。同理 AB≈8.60（cm）讲练结合 巩固新知在△ABC 中，已知下列条件，求其他边和角：1、A=45°,B=120°,c=1 （情境 中的问题）有前面例题的基础，学生应该 很容易解决这两个简单的解三角形 问题，因此请两个同学到黑板上进2、A=60°,C=45°,b=20行解答并进行简单讲解。思考：如果知道两边和一对角，能否求出其余的边和角呢？例 2：台风中心位于某市正东方向 300km 处，正以 40km∕h 的速度向西北 方向移动，距离台风中心 250km 范围内 将会受其影响。如果台风速度不变，那 么该市从何时起要遭受台风影响？这 种影响持续多长时间？（结果精确到 0.1h)引导学生总结：已知两角及任 一边，利用正弦定理可求另两边及 一个角。引导学生思考并让学生回答还 有什么样的解三角形问题。因此，学生总结已知两边和一 对角也可以用正弦定理解决。此例题来源于课本， 设计此环节目的是进 一步深化学生对正弦 定理本质的理解，突出 重点（正弦定理的应 用），也让学生感受到 数学知识的实际应用。1、练习的设计与例题 相呼应，通过动手练习 来巩固、加深学生正弦 定理的理解，让学生板 演，关注学生的数学表 达，学生提供的反馈素 材，应及时校正。2、培养学生养成 及时进行归纳的意识， 提高其总结能力。3、遵循循序渐进 规律，将问题提升引出 课本例 2，再次加深学 生对正弦定理的认识， 并引导学生观察，比小结：例 1 和例 2 的不同，例 2 有 两组解。思考：已知两边和一对角是会出现较，提高学生的数学思 维能力。两角的情况。还会有其他情况吗？七、教学评价设计1、测试形式与工具（打√） （1）堂上提问（√）（2）书面练习（3）达标测试（4）学生自主网上测试（√）（5）合作完成作品 （6）其它 2、测试内容 教师堂上提问：正弦定理的内容、学生提交的结论的完整性、学生协作讨论时的疑问、例题讲解过程中问题，课堂总结。

学生自主网上测试：解决一致两角和一边解三角形的问题、已知两边及其一边的对角解三角形的问题、其它三角实际应用问题三种典型题目。八、PPT、板书设计见附件。九、核心素养体现在教学中尝试使用“探究—合作”式教学模式进行教学.使学生们的“知识的获得过程”不再是简单的 “师传生受”,而是让学生依据自己已有的知识和经验主动的加以建构.在这个建构过程中,学生应是教 师主导下的主体,是知识的主动建构者.所设计的问题以及引导学生进行探究过程的发问,都力求做到 “把问题定位在学生认知的最近发展区”。十、教学反思现代教育心理学的研究认为，有效的性质概念教学是建立在学生已有知识结构基础上的，因此我 在教学设计过程中注意了： ㈠在学生已有知识结构和新性质概念间寻找“最近发展区”． ㈡引导学生通过同化，顺应掌握新概念。

㈢设法走出“性质概念一带而过，演习作业铺天盖地”的误区，促使自己与学生一起走进“重视探究、 重视交流、重视过程” 的新天地。我认为本节课的设计应遵循教学的基本原则；注重对学生思维的发展；贯彻教师对本节内容的理 解；体现“学思结合﹑学用结合”原则。希望对学生的思维品质的培养﹑数学思想的建立﹑心理品质 的优化起到良好的作用．