圆锥锥曲线中类比探究的切入点_圆锥的锥
探究性学习是新课改的最强音，也是激活高三复习思维品质的“强心剂”．类比是根据两个对象间的相似性，由一个对象联想到另一个对象也可能具有某种属性的思维方法，是一种由此及彼的合情推理，是合情推理的重要推理手段，也是探究性学习的“前奏”．圆锥曲线是高中数学的主干知识，圆锥曲线中有许多结构和谐、内容统一的性质，耐人寻味，是引导学生进行探究学习的良好素材，而探究往往从类比开始，类比能不断引导学生正确的探究方向，也不断激发人们的探究的热情，同时也为我们的命题者开拓命题思路，本文主要谈谈在圆锥曲线中进行类比探究的几个切入点．�
1 “统一”类比�
圆锥曲线不仅有统一的定义、统一的坐标方程，还有许多统一的性质，所以从“统一”类比的角度去看圆锥曲线的内在关系，是一件非常自然的事情，也是我们探究圆锥曲线性质的重要切入点．�
例1 （1） 设A、B是椭圆x�2a�2+y�2b�2=1上的任意两点，M是线段AB的中点，若直线AB、OM的斜率都存在，则 k��OM�・k��AB�为定值e�2-1.(e为离心率）�
（2） 设A、B是双曲线x�2a�2-y�2b�2=1上的任意两点，M是线段AB的中点，若直线AB、OM的斜率都存在，则 k��OM�・k��AB�为定值e�2-1. (e为离心率）�
证明：（1） 设A（x�1,y�1),B(x�2,y�2), 则 �
x�2�1a�2+y�2�1b�2=1①�
x�2�2a�2+y�2�2b�2=1②�
由①-②得：x�2�1-x�2�2a�2+y�2�1-y�2�2b�2=0, 即�
(x�1-x�2)(x�1+x�2)a�2+(y�1-y�2)(y�1+y�2)b�2=0,�
所以 k�1=y�1-y�2x�1-x�2=-b�2a�2・x�1+x�2y�1+y�2=�
-b�2a�2・2x�M2y�M=-b�2a�2・1k�2，�
即 k�1k�2=-b�2a�2=c�2-a�2a�2=e�2-1，证毕．�
（2） 略．�
例2 （1） 设A（x�1,y�1)为椭圆x�2a�2+y�2b�2=1上的任意一点，过点A作一条斜率为x�1y�1(e�2-1)的直线l,设d为原点至直线l的距离，r�1、r�2分别为点A到椭圆两焦点F�1、F�2的距离．则r�1r�2d=常数．�
（2） 设A（x�1,y�1)为双曲线x�2a�2-y�2b�2=1上的任意一点，过点A作一条斜率为x�1y�1(e�2-1)的直线l，设d为原点至直线l的距离，r�1、r�2分别为点A到双曲线两焦点F�1、F�2的距离．�
则 r�1r�2d=常数．�
证明：（1） 易求直线l的方程为：xx�1a�2+yy�1b�2=1，则 d=a�2b�2b�4x�2�1+a�4y�2�1=a�2ba�4-c�2x�2�1，�
由椭圆的焦半径公式得：�
r�1r�2=(a+ex�1)(a-ex�1)=�
a�2-e�2x�2�1=1a�2a�4-c�2x�2�1，�
所以 r�1r�2d是定值=ab(常数）．�
(2)略.�
例3 （1） 已知F�1，F�2是椭圆x�2a�2+y�2b�2=1的两个焦点，P为椭圆上异于顶点的任意一点，O为坐标原点，则△PF�1F�2的内切圆的圆心必在直线x=a上；�
（2） （2006江西省高考试题改编）已知F�1，F�2为双曲线x�2a�2-y�2b�2=1 (a＞0,b＞0且a≠b)的两个焦点，P为双曲线右支上异于顶点的任意一点，O为坐标原点，则△PF�1F�2的内切圆的圆心必在直线x=a上；�
引申：（1） 已知F�1，F�2为椭圆x�2a�2+y�2b�2=1 �(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆上异于顶点的任意一点，动圆M与线段F�1P、F�1F�2的延长线及线段PF�2相切，则圆心M的轨迹为除去坐标轴上的一条直线．�
（2） 已知F�1，F�2为双曲线x�2a�2-y�2b�2=1 （a＞0,b＞0且a≠b）的两个焦点，P为双曲线上异于顶点的任意一点，动圆M与线段F�1P、F�1F�2的延长线及线段PF�2相切，则圆心M的轨迹为除去坐标轴上的一条直线．�
2 “正负”类比�
圆锥曲线的很多性质中往往是以对偶的形式出现的，比较典型的形式是正负成对出现等，如果抓住了圆锥曲线这个特点对有关问题进行类比探究，往往为我们探究学习提供正确的探究方向与目标，是我们探究学习的“快捷方式”．�
例4 （1） 已知椭圆C�1：x�2a�2+y�2b�2=1 (a＞b＞0)的左准线l，左焦点和右焦点分别为F�1和F�2；抛物线C�2的准线为l，焦点为F�2；C�1与C�2的一个交点为M，则|F�1F�2||MF�1|-|MF�1||MF�2|等于1．�
（2） 双曲线C�1：x�2a�2-y�2b�2=1 (a＞0,b＞0)的左准线为l，左焦点和右焦点分别为F�1和F�2；抛物线C�2的准线为l，焦点为F�2；C�1与C�2的一个交点为M，则|F�1F�2||MF�1|-|MF�1||MF�2|等于-1．�
证明：（1） 由题意及椭圆的第二定义得：�
|MF�1||MF�2|=e，�
即 �|MF�2|�=1e�|MF�1|�，又由椭圆的定义得：�|MF�1|�+1e�|MF�1|�=2a，�
所以 �|MF�1|�=2aca+c��
|F�1F�2||MF�1|-|MF�1||MF�2|=2c2aa+c-ca=1.�
(2) 略．�
引申1：（1） 椭圆C�1：x�2a�2+y�2b�2=1的左准线为l，左、右焦点分别为F�1和F�2；抛物线C�2的准线为l，焦点为F�2，C�1与C�2的一个交点为M，线段MF�2的中点为G，O是坐标原点，则|OF�1||MF�1|-|OG||MF�2|的值为12．�
（2） 双曲线C�1：x�2a�2-y�2b�2=1 (a＞0,b＞0)的左准线为l，左焦点和右焦点分别为F�1和F�2；抛物线C�2的准线为l，焦点为F�2；C�1与C�2的一个交点为M，线段MF�2的中点为G，O是坐标原点，则|OF�1||MF�1|-|OG||MF�2|的值为-12．�
引申2：（1） 椭圆x�2a�2+y�2b�2=1 (a＞b＞0)的左准线为l，左焦点和右焦点分别为F�1和F�2，抛物线C�2的准线为l，焦点为F�2；C�1与C�2的一个交点为M，且∠F�1MF�2=θ，则a�4-c�4-2a�3c�cos�θ2ac�3等于1．�
（2） 双曲线C�1：x�2a�2-y�2b�2=1 (a＞0,b＞0)的左准线为l，左焦点和右焦点分别为F�1和F�2，抛物线C�2的准线为l，焦点为F�2；C�1与C�2的一个交点为M，且∠F�1MF�2=θ，则a�4-c�4-2a�3c�cos�θ2ac�3等于-1．�
证明：（1） 由例4的推导过程可知：�
�|MF�1|�=2aca+c，�|MF�2|�=2c�2a+c，�
在△MF�1F�2中由余弦定理得：�
（2aca+c)�2+(2c�2a+c)�2-2(2aca+c)(2c�2a+c)�2�cos�θ=(2c)�2，整理得：�
a�4-c�4-2a�3c�cos�θ2ac�3=1.�
(2) 略．�
参考文献�
苏立标．探求以e�2-1为定值的圆锥曲线问题．中学数学教学参考，2006（5）
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