求空间的角的基向量法:向量空间的基
夹角问题是立体几何中的重点内容，也是高考的热点．因为向量法可以不去直接作出角，从而降低了对空间想像能力和逻辑思维能力的要求，课本上只介绍了坐标法难题 有时计算点的坐标很费事，这里谈谈用基向量法求角．�
1 求两异面直线所成的角�
求两异面直线所成的角θ，可通过求两异面直线的方向向量的夹角φ来确定，即�cos�θ=�cos�φ�
例1 已知正四面体A―BCD的棱长为a,E,F分别是AB，CD的中点，求异面直线DE，BF所成角的大小．�
分析：如图1，这题如果建立直角坐标系，点的坐标的计算量很大，不宜考虑坐标法．�
向量�AB�，�AC�，�AD�不共面．它们的模都为a，每两个向量间的夹角都是60°，因此，可用�AB�，�AC�，�AD�为基向量来解题较方便．�
解：�DE�=�AE�－�AD�=12�AB�－�AD�，�
�BF�=12（�BC�+�BD�）=12�AC�+12�AD�－�AB�，�
所以 �DE�・�BF�=（12�AB�－�AD�）・（12�AC�+12�AD�－�AB�）=�
14�AB�・�AC�+54�AB�・�AD�－12�AB��2－�
12�AC�・�AD�－12�AD��2 =�
18a�2+58a�2－12a�2－14a�2－12a�2=－12a�2．�
又 �BF�=�DE�=32a，因此，�
|�cos�〈�DE�,�BF�〉|=|－12a�232a×32a|=23 ．�
所以所求异面直线所成角的余弦为23.�
图1
图2
2 求直线和平面所成的角�
求直线和平面所成的角θ，可先求直线的方向向量和平面的法向量的夹角φ．而�sin�θ=�cos�φ.�
例2 如图2，三棱拄AOB―A�1O�1B�1中，平面OBB�1O�1⊥平面AOB，∠O�1OB=60° ，�
∠AOB=90°，OB=OO�1=2，OA=3．�
求A�1B与平面AOB所成的角．�
分析：向量�OA�，�OB�，�OO�1�的模已知，每两个向量的夹角易找，故可用基向量法求解．�
解：在平面O�1OBB�1中，过O�1作O�1C⊥OB，垂足为C．�
因为平面O�1OBB�1⊥平面AOB，O�1C�平面O�1OBB�1�
平面O�1OBB�1∩平面AOB=OB�
所以O�1C⊥平面AOB同理，OA⊥面O�1OBB�1.�
�O�1C�=�OC�－�OO�1�=12�OB�－�OO�1� ;�
�A�1B�=�A�1A�+�OB�－�OA�=�OB�－�OA�－�OO�1�.�
�A�1B��2=（�OB�－�OA�－�OO�1�）�2=�OB��2+�OA��2+�OO�1��2－2�OB�・�OA�－2�OB�・�OO�1�+2�OA�・�OO�1�=�
2�2 +（3）�2+2�2 －0－2×2×2×�cos�60°+�0 =7．�
�A�1B�=7;同理,�O�1C�=3，�
�O�1C�・�A�1B�=(12�OB�－�OO�1�)・(�OB�－�OA�－�OO�1�)=�
12�OB��2－12�OB�・�OA�－32�OB�・�OO�1�+�
�OO�1�・�OA�+�OO�1��2 =�
12×2�2－32×2×2�cos�60°+0+2�2 =3�
�cos�〈�A�1B�,�O�1C�〉=�A�1B�・�O�1C��A�1B��O�1C�=�
37×3=217．�
所以直线A�1B与平面AOB所成的角θ,�
�sin�θ=217, θ=�arcsin�217．�
�3 求二面角的大小��
设欲求二面角α－l－β的大小为θ,n�1,n�2分别是平面α,β的法向量.当其中一半平面绕着棱转动到与另一半平面重合时,若这两个法向量的方向相同,这时�cos�θ=n�1・n�2n�1n�2否则,θ=π－〈n�1,n�2〉�
图3
例3 如图3,空间四边形PABC中,∠APC=90°,∠APB=60°,PB=BC=4,PC=3,
求二面角B-PA-C的大小.�
分析：由题意知，此题用基向量法较易求解．选取�PB，��PC�，�PD�为基底．�
解: 在面PAB内过点B作BD⊥PA于D,则由BD⊥PA,CP⊥PA.�
可知,二面角B-PA-C的大小为〈�PC�，�DB�〉，�
在三角形BPC中,�cos�∠BPC=PB�2+PC�2－BC�22PB・PC=4�2+3�2－4�22×4×3=38�
在直角三角形PDB中,�
PD=PB�cos�∠APB=2,�
BD=PB�sin�∠APB=23�
�DB�・�PC�=（�PB�－�PD�）・�PC�=�PB�・�PC�－�PD�・�PC�=�
4×3�cos�∠BPC－2×3�cos�90°=�
4×3×38=92, �
所以 �cos�〈�DB�，�PC�〉=�DB�・�PC��DB��PC�=�
9223×3=34，所以 〈�DB�，�PC�〉=�arccos�34．�
所以二面角B-PA-C的大小为�arccos�34．�
由上可知，在求空间的角时，如果有三个不共面的向量的模及每两个向量的夹角易得到，则我们可以这三个向量为基向量用基向量法求解；如这时不作出相应的角，而通过向量的有关运算求解．这样就比较方便和易于掌握值得提倡．
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