高中数学合情推理题 分析新课标下的合情推理题

　　摘要：数学课堂教学中，要加强培养并提高学生的合情推理能力，让学生经历数学活动过程，并从中体会及感悟积极的态度与科学的思想方法所蕴含的意义与作用，促进学生创新精神的养成及学习能力的提高. 此文仅从2006、2007年实施新课标的地区的中考试题中选出部分有关合情推理的题进行分析.
　　关键词：合情推理；数形结合；规律；解决
　　
　　对合情推理能力的考查，就近两年的中考试题来看，有的是分析问题的实际情况，有的是借助归纳和类比发现与获得新知识. 考查学生合情推理能力的这类题目，同通常的“知识型”题目所反映出的考法有三点不同. 第一，考查目标和方向的立意不同，其立意或着眼于“猜想”能力的重要价值，或着眼于“数学活动过程”中的知识内涵，特别是思想方法内涵；第二，其载体的选取不同，突出地要求载体既要对学生具有现实性，又要对学生具有新颖性和适度的挑战性；第三，其呈现方式不同，既要考虑到“猜想”得以形成的足够条件，“思维活动”得以展开的必要导示，又要给学生留有尽可能多的思考时间和活动空间，以更多地发挥学生的自主性和独创性. 显然，这类题目本身就含有很多的“创造成分”.
　　限于篇幅，所选试题的解答也不再给出，请读者谅解.
　　
　　1. 借助归纳与概括来考查学生的合情推理能力
　　归纳就是从特殊到一般的过程，是由小见大，即从许多小的特殊的现实中总结出大的一般的原理. 能否完成归纳，关键在于通过思考后，能否发现载体表面、题设条件或变化过程中所隐含在现象背后的规律.
　　例1 （2006广西贵港）观察下列各等式：=－，=－，=－，根据你发现的规律，计算+++…+=____________. （n为正整数）
　　点评上题是对“数”和“式”的归纳，这种考查方式的重点是要求学生能用“慧眼”洞察出按顺序给出的数或式与自然数n的内在联系.
　　例2（1）（2007河南）将图1-1所示的正六边形进行分割后得到图1-2，将图1-2中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割后得到图1-3，将图1-3中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割……则第n个图形中,共有________个正六边形.
　　[图1-1 图1-2 图1-3][…]
　　（2）（2006贵州贵阳）两条平行直线上各有n个点，用这n对点按如下规则连接线段：平行线之间的点在连线段时，可以有共同的端点，但不能有其他交点；符合上述要求的线段必须全部画出．
　　图2-1展示了当n=1时的情况，此时图中三角形的个数为0；
　　图2-2展示了当n=2时的一种情况，此时图中三角形的个数为2．
　　①当n=3时，请在图2-3中画出使三角形个数最少的图形，此时图中三角形的个数为____________；
　　②试猜想，当有n对点时，按上述规则画出的图形中，最少有多少个三角形？
　　③当n=2 006时，按上述规则画出的图形中，最少有多少个三角形？
　　
　　 图2-1 图2-2 图2-3
　　点评上述两小题是通过“形”来考查学生的归纳能力. 第（1）小题考查多边形的数目变化情况，第（2）小题虽然题目叙述较长，所要寻找的图形需要学生自己作出，但最后呈现的规律却比较明显.
　　我们可以发现，这类考题都是分别以一系列的数或等式罗列，点的摆放或图形的特定割、补（操作）为知识载体，题目的知识只是一种呈现形式，问题的本质却是考查学生揭示事物内在本质规律（即事物共性）的能力. 这样的题目实际上是考查“数学思考”.
　　
　　2. 借助类比与猜想来考查学生的合情推理能力
　　类比就是从特殊到特殊的过程. 考查类比思考能力的题目，关键是要将条件、操作过程或结果进行恰当的类比，寻找到“类比点”.
　　例3（2006新疆）试用举反例的方法说明下列命题是假命题．
　　例如：如果ab0，那么ab>0.
　　反例：
　　②如果a是无理数，b是无理数，那么a+b是无理数．
　　反例：
　　③考生注意：本小题为超量给分题.
　　两个三角形中，两边及其中一边的对角对应相等，则这两个三角形全等．
　　反例：（画出图形，并加以说明）
　　点评此题是一道典型且明显的考查类比能力的题. 题目要求考生通过类比法，写出不同问题的反例，各个小题依次加深，有一定的跨度，适合于考查不同水平的学生.
　　例4（2006北京）请阅读下列材料.
　　问题：现有5个边长为1的正方形，排列形式如图3-1，请把它们分割后拼接成一个新的正方形． 要求画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．
　　小东同学的做法是：设新正方形的边长为x（x＞0）． 依题意，割补前后图形的面积相等，有x2=5，解得x=． 由此可知新正方形的边长等于两个正方形组成的矩形对角线的长． 于是，画出如图3-2所示的分割线，拼出如图3-3所示的新正方形．
　　[图3-1图3-2][图3-3]
　　请你参考小东同学的做法，解决如下问题：
　　现有10个边长为1的正方形，排列形式如图4-1，请把它们分割后拼接成一个新的正方形． 要求在图4-1中画出分割线，并在图4-2的正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．
　　说明：直接画出图形，不要求写分析过程．
　　[图4-1][图4-2]
　　点评此题主要考查方法上的类比，它显示出类比是形成猜想，获得新认识的一条重要途径. 但需要区分的是，类比并不是完完全全的照搬.
　　
　　3. 将合情推理与演绎推理有机融为一体来综合考查学生的推理能力
　　学生自己的学习和证明过程，也正是在想想、猜猜、证证的过程中完成的，而更多的时候是先猜后证，运用合情推理去猜想，再运用逻辑推理去证明.
　　例5 （2006江西）
　　问题背景某课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题.
　　（1）如图5-1，在正三角形ABC中，M，N分别是AC，AB上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON=60°，则BM=CN；
　　[M][O][C][B][N][A][M][O][C][B][A][N][D]
　　图5-1 图5-2
　　（2）如图5-2，在正方形ABCD中，M，N分别是CD，AD上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON=90°，则BM=CN．
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　　（3）如图5-3，在正五边形ABCDE中，M，N分别是CD，DE上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON=108°，则BM=CN．
　　任务要求
　　（1）请从上述三个命题中选择一个进行证明；
　　（2）请你继续完成下面的探索：
　　①如图5-4，在正n（n≥3）边形ABCDEF…中，M，N分别是CD，DE上的点，BM与CN相交于点O，则当∠BON等于多少度时，结论BM=CN成立？（不要求证明）
　　[A][D][M][D][C][B][O][N][E][A][M][C][B][O][N][E][F]
　　图5-3 图5-4
　　②如图5-5，在正五边形ABCDE中，M，N分别是DE，AE上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON=108°时，请问结论BM=CN是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
　　[M][D][O][C][B][A][N][E]
　　图5-5
　　点评此题既是数学思想的整合，又是正多边形的“旋转”不变性知识的整合. 这种考查方式有助于考查学生从统一性来认识和运用数学思想及数学知识. 本题立意较高，载体围绕核心内容，能较好地考查出学生的综合能力.
　　例6（2007黑龙江牡丹江）已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F．
　　当∠MBN绕B点旋转到AE=CF时（如图6-1），易证AE+CF=EF．
　　当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF，即在图6-2和图6-3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．
　　[D][N][F][C][B][M][E][A][D][N][F][C][B][M][E][A][图6-1][图6-2]
　　[M][E][D][N][C][F][B][A]
　　图6-3
　　点评有的试题需要先用类比，而后归纳，最后概括或推理证明. 如果学生能从前面的问题或结论中悟出规律，那么，就足以显示该生对归纳与类比有较好的掌握与运用. 这样的考题，能力立意明显，载体平易，呈现过程布局合理.
　　4. 根据问题的实际情况或现实可能性考查学生的合情推理能力
　　有很多的问题不能够也不必要用严密的逻辑推理来加以证明，因为它是实际情况中的“必然事件”或“不可能事件”，凭着那种潜在的感觉，就可以获得问题的结论.
　　例7（2006新疆）某公园计划砌一个形状如图7-1所示的喷水池，后来有人建议改为图7-2的形状，且外圆的直径不变，喷水池边沿的宽度、高度不变，你认为砌喷水池的边沿（）
　　A． 图7-1需要的材料多
　　B． 图7-2需要的材料多
　　C． 图7-1、图7-2需要的材料一样多
　　D． 无法确定
　　[图7-1][图7-2]
　　点评本题的设计是希望学生能通过观察，根据图形的“大小”，结合合情推理建立问题所涉及要素的联系. 图形是一组无字的数据，用合情推理的方法才能读懂图形，最终得出结论.
　　例8 （2007浙江绍兴）定义：打是拇指和食指在平面上伸直时，两者端点之间的距离. 那么以下估计正确的是（）
　　A. 课本的宽度约为4打
　　B. 课桌的高度约为4打
　　C. 黑板的长度约为4打
　　D. 字典的厚度约为4打
　　点评实践中有时人们会遇到“谁更合情理”的问题，要完成这个问题的判断就必须依赖于蕴含在其背后的“合乎数理”. 因此，这样的问题在一定程度上也具有考查学生数学素质发展的价值. 本题的问题原型是利用打作为度量单位来度量课本、课桌、黑板、字典的有关尺寸，在精确度要求不高的情况下，用来比较或估计它们的长度、高度或宽度等是可行的，学生要得出正确的结果就必须有一定的辨析能力.
　　科学合理地处理日常生活中的信息以及根据所接受的信息作出准确的判断是当代生活的重要特征. 而这种试题的选材广泛，既能体现“新课改”的基本理念，又易于与考生所在地区的现实结合，因而备受课改地区命题者的青睐.
　　5. 借助图形的运动变化判断函数关系来考查学生的合情推理能力
　　随着课程改革的深入，在“新课标”理念下考查学生合情推理能力的试题，已经呈现出灵活多样的内容和形式. 特别是一类运动变化问题，当不需要求函数的精确表示形式（解析表达式），而只用图象形式表示函数时，要利用合情推理的思考方法，借助图象判断对应的函数关系，把握函数表达变化的大致方式.
　　例9（1）（2006贵州贵阳）小明根据邻居家的故事写了一首小诗：“儿子学成今日返，老父早早到车站，儿子到后细端详，父子高兴把家还．” 如果用纵轴y表示父亲与儿子行进中离家的距离，用横轴x表示父亲离家的时间，那么下面的图象与上述诗的含义大致吻合的是（）
　　点评两道小题的共同特点都是要求考生借助合情推理的方法，探索量与量之间在某种变化过程中的“情理之中”的“大致”图象. 每个小题的问题情境，为学生利用合情推理获得正确的结论提供了现实支撑.
　　综观对一部分考查合情推理能力的试题分析，可以看出，合情推理的考题不仅存在于不同题型中，也存在于每块知识内容之中. 由于它包含了如观察、归纳、抽象、概括、类比、猜想等基本的思维活动，所以，此类试题容易检查出学生对基本的数学思想方法的理解程度，也有助于引导和促进教师教学方式和学生学习方式的改进及完善.
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