放缩法证明数列不等式 [巧用放缩法解数列不等式]

　　不等式与数列的结合问题，既是中学数学教学的重点、难点，也是高考的热点．近年来的高考中，屡屡出现不等式与数列结合的证明问题．笔者通过分析，发现对这类问题的处理方法中，以放缩法较为常用，其放缩的目标一般是转化为特殊数列（利用特殊数列的可求和，可求积性质解决问题）．下面例谈借用“放缩”转化为特殊数列求和的一些技巧与策略．�
　　1 通过“放缩”转化为等差等比数列求和�
　　例1求证：11+11×2+11×2×3+…+1n!＜2.�
　　证明：因为 1n!＜11×2×2×…×2=12��n-1�.�
　　所以 11+11×2+11×2×3+…+1n!＜�
　　11+12+12�2+…+12��n-1�=�
　　1-(12)�n1-12=2-12��n-1�＜2.�
　　例2 若n∈N�*，求证：1×2+2×3+…+n(n+1)＜(n+1)�22.�
　　证明：因为 n(n+1)＜�
　　n+n+12=2n+12.�
　　所以 1×2+2×3+…+n(n+1)＜32+52+…+2n+12=n(3+2n+1)22=n(n+2)2=n�2+2n2＜(n+1)�22.�
　　评析：观察数列的构成规律，采用通项放缩的技巧把一般数列转化成等差等比数列，从而利用求和达到简化证题的目的．�
　　例3 （2007浙江卷21题）已知数列{a�n}中的相邻两项a��2k-1�,a��2k�是关于x的方程 x�2-(3k+2�k)x+3k×2�k=0的两个根，且a��2k-1�≤2��2k� (k=1,2,3,…). (Ⅰ) 求a�1,a�2,a�3,a�7;�
　　(Ⅱ) 求数列{a�n}的前2n项和S��2n�；�
　　（Ⅲ） 记f(n)=12(|�sin�n|�sin�n+3)，T�n=(-1)��f(2)�a�1a�2+(-1)��f(3)�a�3a�4+(-1)��f(4)�a�5a�6+…+(-1)��f(n+1)�a��2n-1�a��2n�，求证：16≤T�n≤524 (n∈N�*).�
　　解：（Ⅰ) a�1=2; a�3=4; a�5=8时；a�7=12.�
　　(Ⅱ) S��2n�=a�1+a�2+…+a��2n�=3n�2+3n2+2��n+1�-2.�
　　证明：（Ⅲ) T�n=1a�1a�2+1a�3a�4-1a�5a�6+…+(-1)��f(n+1)�a��2n-1�a��2n�, 所以 �
　　T�1=1a�1a�2=16，T�2=1a�1a�2+1a�3a�4=524.�
　　当 n≥3时，�
　　T�n=16+1a�3a�4-1a�5a�6+…+(-1)��f(n+1)�a��2n-1�a��2n�≥�
　　16+1a�3a�4-(1a�5a�6+…+1a��2n-1�a��2n�)≥�
　　16+16×2�2-16(12�3+…+12�n)=�
　　16+16×2�n＞16,�
　　同时，T�n=524-1a�5a�6-1a�7a�8+…+(-1)��f(n+1)�a��2n-1�a��2n�≤�
　　524-1a�5a�6+(1a�1a�2+…+1a��2n-1�a��2n�)≤�
　　524-19×2�3+19(12�1+…+12�n)=�
　　524-19×2�n＜524.�
　　综上，当n∈N�*时，16≤T�n≤524．�
　　评析：此题第三小题中，通过观察结构特点，选择适当的放缩目标，把问题转化到求等比数列的和，从而能够判断大小．�
　　2 通过“放缩”转化为用裂项相消求和�
　　例4 求证：11�2+12�2+13�2+…+1n�2＜2.�
　　证明：因为 1n�2＜1n(n-1)=1n-1-1n，�
　　所以 11�2+12�2+13�2+…+1n�2＜1+1-12+12-13+…+1n-1-1n=2-1n＜2.�
　　评析：观察数列的构成规律，可以看成一个数列a�n=1n�2的前n项和，直接求此数列和较困难，但是可通过不等式1n�2＜1n(n-1)=1n-1-1n，放大后，成易可求和数列．�
　　例5 （2006全国卷22题）设数列a�n的前n项的和S�n=43a�n-13×2��n+1�+23,n=1,2,3,…�
　　(1) 求首项a�1与通项a�n;�
　　(2) 设 T�n=2�nS�n,n=1,2,3,…,�
　　证明:∑ni=1T�i＜32.�
　　解：（1） a�n=4�n-2�2;�
　　(2) 将a�n=4�n-2�2代入S�n=�
　　43a�n-13×2��n+1�+23，n=1,2,3,…，得：�
　　S�n=23×(2��n+1�-1)(2�n-1),�
　　T�n=2�nS�n=32×2�n(2�n-1)(2��n+1�-1)=�
　　32×(12�n-1-12��n+1�-1).�
　　所以 ∑ni=1T�i=32∑ni=1(12�i-1-12��i+1�-1)=�
　　32×(12�1-1-12��n+1�-1)＜32.�
　　评析：本题利用裂项相消的方法，把32×2�n(2�n-1)(2��n+1�-1)分裂成32×(12�n-1-12��n+1�-1)，从而可求和，再利用放缩技巧证明．�
　　3 通过“放缩”转化为特殊数列求积�
　　例6 （2006全国卷20题）已知函数f(x)=x�3+x�2，
　　
　　图1
　　数列{x�n| (x�n)＞0}的第一项x�1=1，以后各项按如下方式取定：曲线y=f(x)在(x��n+1�,f(x��n+1�))处的切线与经过（0，0）和（x�n,f(x�n))两点的直线平行（如图1），求证：当n∈N�*时，（Ⅰ) x�2�n+x�n=3x�2��n+1�+2x��n+1�;�
　　(Ⅱ) (12)��n-1�≤x�n≤(12)��n-2�.�
　　证明：（Ⅰ) 因为 f′(x)=3x�2+2x,�
　　所以曲线 y=f(x)在(x��n+1�,f(x��n+1�))处的切线斜率k��n+1�=3x�2��n+1�+2x��n+1�,�
　　因为过（0，0）和（x�n,f(x�n))两点的直线斜率是x�2�n+x�n，所以 x�2�n+x�n=3x�2��n+1�+2x��n+1�.�
　　(Ⅱ) 因为函数h(x)=x�2+x，当x＞0时单调递增，而 x�2�n+x�n=3x�2��n+1�+2x��n+1�≤4x�2��n+1�+2x��n+1�=(x��n+1�)�2+2x��n+1�，所以 x�n≤2x��n+1�，即 x��n+1�x�n≥12，�
　　因此，x�n=x�nx��n-1�・x��n-1�x��n-2�・…・x�2x�1≥(12)��n-1�.�
　　又因为 x�2�n+x�n≥2(x�2��n+1�+x��n+1�)，�
　　令 y�n=x�2�n+x�n，则 y��n+1�y�n≤12．�
　　因为 y�1=x�2�1+x�1=2，�
　　所以 y�n≤(12)��n-1�・y�1=(12)��n-2�,�
　　因此 x�n≤x�2�n+x�n≤(12)��n-2�,�
　　故 (12)��n-1�≤x�n≤(12)��n-2�.�
　　评析：本题第（Ⅱ)问的证明过程中，利用�x��n+1�x�n≥12，将数列x�n转化为x�n=x�nx��n-1�・x��n-1�x��n-2�・…・x�2x�1，从而变成可求积的问题．�
　　用放缩法解决不等式与数列结合的证明问题一直是个重点、难点，近几年高考题中，大多以较难题的形式出现．因此如何突破这个难点，成为一个重要的内容．笔者认为，关键在于如何恰当选择放缩目标（如果是求和，求积类问题放缩的目标应是使得数列变成易求和，易求积问题）．
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