【与一类直线方程有关的圆锥曲线的一个性质】 圆锥曲线巧设直线方程

　　 文［1］,文［2］,文［3］分别研究了直线方程x�0xa�2+y�0yb�2=1,x�0xa�2－y�0yb�2=1,y�0y=p(x�0+x)的几何意义.受其启发,笔者通过超级画板发现与上述直线方程有关的圆锥曲线的一个性质,现介绍如下.�
　　定理1已知椭圆C:x�2a�2+y�2b�2=1(a＞b＞0),若直线l过不在椭圆C上的定点T(x�0,y�0)(非椭圆C的中心)且与椭圆C交于A,B两点,l�1,l�2分别是椭圆C在A,B两点的切线,直线l�3:x�0xa�2+y�0yb�2=1.则直线l�1,l�2,l�3互相平行,或相交于一点.�
　　证明： 设A(x�1,y�1),B(x�2,y�2),则椭圆C在A,B两点的切线方程分别是�
　　l�1:x�1xa�2+y�1yb�2=1,l�2:x�2xa�2+y�2yb�2=1.�
　　1)当直线l的斜率不存在时,x�1=x�2=x�0,由对称性知y�2=－y�1≠0,�
　　若l�1,l�2平行,则x�1y�2－x�2y�1=0,于是有�
　　x�1=x�2=x�0=0,易知l�1,l�2,l�3互相平行;�
　　若l�1,l�2相交于点M,则x�1y�2－x�2y�1≠0,于是x�1=x�2=x�0≠0,易求得l�1,l�2的交点�
　　M(a�2x�0,0),显然点M在直线l�3:x�0xa�2+y�0yb�2=1上.故l�1,l�2,l�3相交于一点M.�
　　2)当直线l的斜率存在时,x�1－x�0≠0,x�2－x�0≠0,�
　　若l�1,l�2平行,则x�1y�2－x�2y�1=0,易知l过原点O,由T,A,,O三点共线,可得�
　　x�1y�0－x�0y�1=0,于是有l�1,l�3平行,从而l�1,l�2,l�3互相平行;�
　　若l�1,l�2相交于点M,则x�1y�2－x�2y�1≠0,由T,A,B三点共线,得y�1－y�0x�1－x�0=y�2－y�0x�2－x�0,�
　　从而有x�0(y�2－y�1)－y�0(x�2－x�1)－(x�1y�2－x�2y�1)=0.�
　　由x�1xa�2+y�1yb�2=1,�x�2xa�2+y�2yb�2=1, 解得�
　　x=a�2(y�2－y�1)x�1y�2－x�2y�1�y=－b�2(x�2－x�1)x�1y�2－x�2y�1 ,于是�
　　M(a�2(y�2－y�1)x�1y�2－x�2y�1,－b�2(x�2－x�1)x�1y�2－x�2y�1).�
　　因 x�0xa�2+y�0yb�2－1=x�0a�2・a�2(y�2－y�1)x�1y�2－x�2y�1+�
　　y�0b�2・(－b�2(x�2－x�1)x�1y�2－x�2y�1)－1=�
　　x�0(y�2－y�1)－y�0(x�2－x�1)－(x�1y�2－x�2y�1)x�1y�2－x�2y�1=0�
　　所以点M在直线l�3:x�0xa�2+y�0yb�2=1上.从而l�1,l�2,l�3相交于一点M.�
　　综上可知, 直线l�1,l�2,l�3互相平行,或相交于一点.�
　　定理2已知双曲线C:x�2a�2－y�2b�2=1(a＞0,b＞0),若直线l过不在双曲线C上的定点T(x�0,y�0)(非双曲线C的中心)且与双曲线C交于A,B两点,l�1,l�2分别是双曲线C在A,B两点的切线,直线l�3:x�0xa�2－y�0yb�2=1.则直线l�1,l�2,l�3互相平行,或相交于一点.�
　　类似于定理1的证明可证,此略.�
　　定理3已知抛物线C:y�2=2px(p＞0),若直线l过不在抛物线C上的定点T(x�0,y�0)且与抛物线C交于A,B两点,l�1,l�2分别是抛物线C在A,B两点的切线,直线l�3:y�0y=p(x�0+x).则直线l�1,l�2,l�3相交于一点.�
　　证明：设A(x�1,y�1),B(x�2,y�2), 则抛物线C在A,B两点的切线方程分别是�
　　l�1:y�1y=p(x�1+x),l�2:y�2y=p(x�2+x).�
　　1)当直线l的斜率不存在时,x�1=x�2=x�0,由对称性知y�2=－y�1≠0,易知l�1,l�2不可能平行,设l�1,l�2相交于点M,易求得l�1,l�2的交点M(－x�0,0),显然点M在直线y�0y=p(x�0+x)上,从而直线l�1,l�2,l�3相交于点M.�
　　2)当直线l的斜率存在时,x�1－x�0≠0,x�2－x�0≠0,且y�2－y�1≠0,�
　　易知直线l�1,l�2不可能平行,设l�1,l�2相交于点M, 由y�1y=p(x�1+x)�y�2y=p(x�2+x) ,解得�
　　x=x�2y�1－x�1y�2y�2－y�1�y=p(x�2－x�1)y�2－y�1 ,于是�
　　M(x�2y�1－x�1y�2y�2－y�1,p(x�2－x�1)y�2－y�1).�
　　由T,A,B三点共线,得y�1－y�0x�1－x�0=y�2－y�0x�2－x�0,�
　　从而有y�0(x�2－x�1)－x�0(y�2－y�1)－(x�2y�1－x�1y�2)=0.�
　　因y�0y－p(x�0+x)=y�0・p(x�2－x�1)y�2－y�1－�
　　p(x�0+x�2y�1－x�1y�2y�2－y�1)=p・�
　　y�0(x�2－x�1)－x�0(y�2－y�1)－(x�2y�1－x�1y�2)y�2－y�1=0�
　　所以点M在直线l�3:y�0y=p(x�0+x)上.从而直线l�1,l�2,l�3相交于点M.�
　　
　　参考文献�
　　1 何才富.直线方程x�0xa�2+y�0yb�2=1的几何意义.中学数学教学参考,2000(4)�
　　2 王芝平,张玉强,王厚宏.直线方程x�0xa�2－y�0yb�2=1的几何意义.数学通报,2002(11)�
　　3 朱明侠.直线方程y�0y=p(x�0+x)的几何意义.数学教学通讯,2007(11)
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