矩阵的几【矩阵的迹的概念应用一例】

　　摘要：本文通过对一道题目的巧妙解答，说明了矩阵的迹的概念的应用。 　　关键词：矩阵的迹 　　 　　矩阵的迹的概念在《高等代数》的教材中往往只是提及而已，不被当做重点或难点。其实只要使用得当，也常常可以使解题方法更巧妙，解题过程也更简短一些，下面通过一个例子加以说明。
　　例：证明: 如果数域P上的2级方阵A，B满足AB-BA=A,则A2=O。
　　证明1（常规解法）:
　　设A=a bc d，B=e fg h
　　则
　　AB-BA=a bc de fg h-e fg ha bc d
　　=ae+bg af+bhce+dg cf+dh-ae+cf be+dfag+ch bg+dh
　　= bg-cf af+bh-be-dfce+dg-ag-ch cf-bg
　　由AB-BA=A，知
　　 bg-cf af+bh-be-dfce+dg-ag-ch cf-bg=a bc d
　　故d=-a， 即A=a bc -a
　　从而有
　　A2=a bc -aa bc -a=a2+bc 0 0 a2+bc
　　由d=-a，有
　　AB-BA
　　= bg-cf af+bh-be-dfce+dg-ag-ch cf-bg
　　= bg-cf 2af+bh-bece-2ag-ch cf-bg
　　从而
　　(AB-BA)A
　　= bg-cf 2af+bh-bece-2ag-ch cf-bga bc -a
　　=abg-acf+2acf+bch-bce b2g-bcf-2a2f-abh+abeace-2a2g-ach+c2f-bcg bce-2abg-bch-acf+abg
　　=
　　 abg+acf+bch-bce b2g-bcf-2a2f-abh+abeace-2a2g-ach+c2f-bcg bce-abg-bch-acf
　　由（AB-BA）A=A2=a2+bc 0 0 a2+bc
　　有
　　abg+acf+bch-bce=bce-abg-bch-acf=a2+bc
　　故a2+bc=0，从而A2=O。
　　证明2（利用矩阵的迹的概念）：
　　首先由AB-BA=A可知A不可逆：若否, 假设A可逆, 用A-1左乘AB-BA=A两端,有B-A-1BA=E,从而A-1BA=B-E.由此式可知矩阵B与B-E相似，因此它们有完全相同的特征值，又因为矩阵的迹等于它全部特征值之和，所以B和B-E应该有相等的迹。但是Tr（B-E）=Tr（B）-n≠Tr（B）, 矛盾，所以A不可逆。 故r（A）=0或1。
　　当r（A）=0时,A=0, 从而A2=O, 命题成立。
　　当r（A）=1时, 设
　　A= a bka kb
　　由AB-BA=A，有Tr（AB-BA）=Tr（A）.而Tr（AB-BA）=Tr（AB）-Tr（BA）
　　设B=b11 b12b21 b22，
　　则Tr（AB-BA）=ab11+bb21+kab12+kbb22-ab11-kab12-bb21-kbb22=0
　　故Tr（A）=0,但Tr（A）=a+kb.所以a=-kb
　　若k=0,a=0,则A=0 b0 0, 从而A2=O。
　　若k≠0,b=-■,则A=a -■ka -a,从而A2=O。
　　
　　参考文献：
　　腾加俊，罗剑，吴红，陈莉.高等代数辅导及习题精解.陕西师范大学出版社.
　　（责编 闫祥）
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