浅议高中数学中的类比思想:高中数学类比思想例题

　　【摘要】只有我们意识到类比的教育教学价值，通过类比的教学方法去展示数学的知识，才能让学生拓展视野，以极大的热情去研究、学习数学，认识到数学世界的和谐统一，才能真正实现学生由“学会”到“会学”的转化。
　　【关键词】高中数学 类比思想 教学方法
　　在考试说明中，数学命题的指导思想要求突出数学基础知识、基本能力、基本思想方法的考查，重视数学基本能力和综合能力的考查，注重数学的应用意识和创新意识的考查。其中，推理论证能力的考查要求是：能够根据已知的事实和已经获得的正确的数学命题，运用归纳，类比和演绎进行推理，论证某一数学命题的真假性。因此，在高中数学的教学过程中要加强对推理能力的培养。
　　由一个或几个已知判断推出另一未知判断的思维形式，叫作推理。推理有演绎推理和合情推理，其中合情推理分为归纳推理和类比推理。古语云：授人以鱼，只供一饭。授人以渔，则终身受用无穷。学知识，更要学方法。
　　1.类比推理定义
　　所谓类比推理，是指通过两个（或两类）对象的一些相同（或相似）属性的比较，从而推出它们的某些其它属性也相同（或相似）的一种逻辑方法，其推理形式为：
　　这是从特殊到特殊的一种推理形式，所推出的结论未必可靠，仅是一种“似真”的结果，带有猜测的性质。尽管发现的结果不一定真实，但它毕竟是一种方法，因为类比联想可以发现新的数学知识，类比可以寻到解决问题的方法和途径，可以培养学生的发散思维，创造思维及合情推理能力。所以，类比推理在数学中虽然不是证明方法，但却是一种重要的数学发现法，是提出假设进行猜想的基础，是各种创造思维形式的基本要素。
　　2.类比推理的应用
　　2.1 平面几何与立体几何类比。
　　平面几何的基本元素是点和直线，而立体几何的基本元素是点、直线和平面。如果我们建立如下对应关系：平面内的点对应到空间中的点或直线，平面内的直线对应到空间中的直线或平面，那么把平面几何某些定理中的点换作直线，或把线换作平面，就可以帮助学生“发现”一类相似的立体几何定理。在讲授新知识的同时，经常联系旧知识，创造条件进行类比，扩展学生的思路，养成学生进行类比推理的习惯。它们之间的元素可按下列对应方法构成类比对象：
　　在讲解这部分知识时注意引导学生要充分认识到数学中的类比思想，并引导学生进行类比：
　　通过这样新旧知识的联系来进行类比，既有利于理解、掌握新知识，还能使旧知识得到巩固，同时拓宽视野。
　　2.2 等差数列与等比数列类比。
　　等差数列与等比数列是高中数学中的重要内容，它们在定义等方面有许多相似之处。因此，在研究二者的问题时，可以用类比的方法研究它们的相关问题。它们之间的元素可按下列对应方法构成类比对象：
　　等差数列 等比数列
　　定义：
　　性质：
　　通项公式
　　倍数 n-1  幂指数 n-1
　　在讲解这部分知识时注意引导学生要充分认识到数学中的类比思想，并引导学生进行类比：
　　3.类比推理的误区
　　任何物质都有其差异性，用类比推理获得的结论很有可能正是两个对象的差异点而陷入错误，所以类比推理的逻辑根据不充分的，带有或然性，不能作为一种严格的证明方法，即类比推理不能代替证明。
　　例：（1）已知曲线y=x2 ，则过点P(2,4)的切线方程是。
　　（2）已知曲线y= ，则过点P(2,4)的切线方程是。
　　解：（1）因为y"=2x ，所以过点P(2,4)的切线斜率为4，故所求切线方程是y-4=4(x-2)，即4x-y-4=0.
　　（2）仿（1）的解法，y"=x2 ，所以过点P(2,4)的切线斜率为4，故所求切线方程是y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.
　　在这里，学生仅通过题目中的相似点，盲目类比，以致解题错误。在这两题中，涉及两个概念，‘点P处的切线’与‘过点P的切线’,二者是不同的，第一题中的点P在曲线上，是指‘点P处的切线’，因此有且只有一条；而第二题虽然点P也在曲线上，但是是指‘过点P的切线’，其正确解法如下：
　　解：设所求曲线与已知曲线y= 相切于点(x0,y0) ，则切线的斜率为y/=x20，故可设直线方程为y-y0=x20(x-x0) ，因为所求直线过点P(2,4)，代入解得x0=2或x0=-1，从而过点P(2,4)的切线斜率为4或1，相应的过点P(2,4)的切线方程是4x-y-4=0或x-y+2=0
　　进行类比时，要尽量从事物的本质上进行类比，不要被表面现象迷惑，否则，只抓到一点表面相似甚至假象就类比，那么就会犯机械类比的错误，但只要稍加分析，便可得到正确的类比结果。康德说“每当理智缺乏可靠论证思路时，类比这个方法往往能指引我们前进。”但不容忽视的是，类比是一把双刃剑，所以，我们要正确使用类比推理，这样才能促使问题成功解决。
　　4.培养学生类比意识的教学途径
　　4.1 教师自身要有深厚的专业基本功、创设类比问题情境。
　　要想能顺利地引导、组织学生去运用类比的思想去发现新知和创新解题，教师作为组织者一定要具有完善的知识体系和深厚的专业基本功，否则怎能发现不同板块知识之间的内在联系，怎能有效组织好类〖HJ1.15mm〗比教学，展示数学的内在和谐美，展示数学知识的统一性。要想培养学生的类比能力，教学中的类比问题情境显得尤为重要。数学课堂教学中，教师要恰如其分地创设类比联想的问题情境，暴露数学的思维过程，把每一个环节展现给学生，让学生观察和类比。现在的数学教材中，每章都有引人入胜的章头图，同时在很多小节中也有生活的实例，学生可以从实际问题中类比得到数学知识。
　　4.2 实行变式教学。
　　应该说变式教学是中国教学中成功的环节，通过变式的教学让学生分析、提炼出不同表象后面相同本质的东西，通过长时间的潜移默化的影响培养学生分析问题的意识和能力，从而为进一步的主动类比提供可能。只有这样学生才会在遇到新的问题时站在一定的高度去认识、把握，才能有新的想法。通过教学发现，学生已有的知识水平对类比能否顺利实施开展起决定性作用，只有有了相关知识作为保障，才有“跳一跳摸得着”的可能。所以在平时的教学中要更多在学生的主体活动中生成知识，教师作为一个组织者和引导者。让学生在自主的活动中感悟到其中的思想方法和内在联系，只有这样学生才能在遇到新问题时浮现出已有的思想方法和不同知识形式来进行类比。否则如果是教师的一味灌输只能带来僵硬的思维方式。
　　4.3 小组合作交流。
　　考虑到中学生的思维的不成熟性、不完善性，类比教学有时对学生的要求可能相对较高，凭一己自力可能难以在短时间内发现内在联系去达成目标。所以在课堂教学中可适时采用小组合作探究式，俗话说“三个臭皮匠顶上一个诸葛亮”。通过合理搭配小组的构成，营造轻松的研讨氛围，让平时思维不活跃的学生有勇于表现自己、展示自己的机会，通过小组的合作去提出问题、解决问题、构建知识。在通过展示成果的方式让学生的主体活动充斥着课堂，去批判地接受新知的生成。
　　只有我们意识到类比的教育教学价值，通过类比的教学方法去展示数学的知识，才能让学生拓展视野，以极大的热情去研究、学习数学，认识到数学世界的和谐统一，才能真正实现学生由“学会”到“会学”的转化。