一元函数积分学教材处理的一些尝试:新手怎么制作表格
摘要：高职高专传统高等数学教材中，对一元函数积分学一般都是在学完微分学之后，接着讲授不定积分，然后学习定积分，这不仅不符合微积分发展的历史，更容易给学生逻辑上造成混乱，也容易混淆定积分与不定积分的区别与联系，本文从另一个角度处理教材，取得了良好的教学效果。
关键词：定积分 牛顿-莱布尼茨公式 不定积分
现在的积分学，包括定积分和不定积分。虽然它们之间只差一个“不”字，但是在牛顿-莱布尼兹公式出现之前，它们可是风马牛不相及的！一般的微积分教材，往往把不定积分安排在了微分和定积分之间来讲，但是这样讲，很容易搅乱学生们的逻辑，给他们一种 “定积分和不定积分原本就是一个东西” 的错觉。我认为更好的方法是：首先单独讲 “微分” 和 “定积分”，然后介绍 “牛顿-莱布尼兹” 为它们建立联系，然后再来介绍不定积分。
1、从面积说起
为了引出积分的概念，我们举一个简单的经典例子：求在 [0，1] 范围内，y=x2和x轴所围的面积，反映在图形上如下：
如何求图形 OAC 的面积？
回想一下求圆的面积的思想：把圆沿半径分割成一个个小三角形，求这些三角形的面积之和就可以近似圆的面积了。当分割得越精细，近似的结果就越接近真实的结果。话说回来，我们能不能也用这种 “细分” 的思想来尝试解决抛物线的面积问题呢？
如下：如上图，把区间[0，1]分成n 等分，作出n-1个矩形，把它们的面积加起来，则有：当n越大时，划分的矩形个数就越多，留白部分也就越少，Sn也就越接近不规则图形 OCA 的实际面积。当 时， ，也就是图形 OCA 的面积了。
2、另一个例子
设某物体作直线运动，已知速度v=v（t）是时间间隔[T1，T2]上t的连续函数，且 ，计算在这段时间内物体所经过的路积S
在[T1，T2]内任意插入若干个分点
把[T1，T2]分成n个小段[ ]，[ ]，…， [ ]，各小段时间长依次为：
相应各段的路程为：
在[ ]上任取一个时刻 ，以 时的速度 来代替[ ]上各个时刻的速度，则得：
进一步得到：
=
设 时，得：
3、定积分的定义
用这种 “先细分，再累加，然后取极限” 的方法来解决的问题还有很多。诸如上述的问题，我们都可以归结到一个计算这样的一个极限。既然这种极限的运用如此普遍，我们于是为它取了个名字 —— 定积分，并总结出它的一般性定义（书上已经给出详细定义，所以这里仅给出最终的定义式）：
= =
从公式中我们可以看出，定积分其实是一种运算，
其运算符号 就是对被积函数f（x） 做一种 “先细分，再累
加，然后取极限” 的特殊处理。定积分运算的结果，就是最终取极限的结果。定积分的几何意义，就是曲线f（x）下的面积。定积分的本质意义，就是用来求一个变量f（x）相对于另一个变量 的累积作用效果。
4、定积分怎么这么难算？
之前我们在介绍定积分的时候，曾经举了一个y=x2求在[0，1] 范围下，与x轴所围图形的面积。我们使用了定义法来计算定积分，把不规则的图形切割成一个个小的矩形，然后累加，取极限，就得到了最终的结果。但是y=x2非常简单，假如我给你一个这样的函数y=x200，让你去计算在[0，1]区间下的面积，你还能套用定积分的定义法求出来吗？
5、麻烦的解决：牛顿-莱布尼兹公式
我们直接给出此公式，略去证明部分在区间[a，b] 上 ，则有：
这个公式说明的问题就是：对某函数f（x）的定积分的计算，可以转化成其原函数f（x）的差运算。
有了这个强力公式之后，我们再来看y=x200这个问题。也就是说，我们只要找出y=x200的原函数，问题自然迎刃而解了！那么，怎么才能找到f（x）的原函数呢？
这就要借助求导公式表了，由导数公式 逆推一下，就得 原函数是 ，那么根据牛顿-莱布尼兹公式，有：
6、不定积分
之前曾说过，我们求f（x）的原函数，只要由导数公式逆向推导就行了。但是，总是这样逆过来推，总是比较麻烦，尤其是一些复杂函数的原函数。于是，我们不妨把这种求导的逆过程专门学习一下，并给以名字——不定积分，并推导一些积分公式备用，接着再学一些积分技巧，如换元法、分部积分法等。注意，不定积分就是求导的逆运算。
7、教学建议
在实际教学过程中，可以把不定积分的换元积分法，分部积分法和定积分的换元积分法，分部积分法合并讲解，既提高了课堂效率，又易于被学生接受.同时要注意微分和积分的联系，形成系统的知识结构.
参考文献
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[2]樊映川等编.高等数学讲义（上、下）[M].北京：人民教育出版社，1978.
[3]叶其孝.大学生数学建模竞赛辅导教材[M].湖南教育出版社，1994.
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