向量加减法几何意义【向量加减法的几何性质在解题中的应用举例】

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向量加减法的几何性质在解题中的应用举例 作者：徐锡滨

来源：《文理导航》2013年第23期

向量是既有大小又有方向的量，它同时具有代数形式与几何形式的“双重身份”。因此在学习向量的加减法时，我们通过“三角形法则”和“平行四边形法则”对向量的加减法作解释和理解。在解决平面向量的某些问题时，如果我们可以主动运用向量加减法的几何性质，构建图形运用数形结合的方法，借助几何图形直观地反映出向量的代数关系来解决问题，以“形”助“数”可以使向量问题简单化，抽象问题具体化，从而达到事半功倍的效果。下面列举相关例题用以说明。

例1. （苏、锡、常、镇四市2011届高三联考调研测试二）

平面内两个非零向量α，β，满足|β|=1， 且α与β-α的夹角为135°，求|α|的取值范围。 分析：可令α= ，β= ，则β-α= （如图①）

在ΔOBA中，设∠OAB =θ，

点评：如果这道题目只是单纯地利用代数的方法进行运算，问题的解决将会比较困难。如果我们利用减法的三角形法则来表示α，β，β-α，三者之间的关系。那么题中的代数量就全部可以通过三角形的边、角等几何量来表示，这样就可以把问题转换解三角形的问题。

例2. （2013年高考湖南文科卷）已知a ，b 是单位向量，a-b=0，若c 满足|c-a-b|=1，求|c|的最大值。

分析：注意到|c-a-b|=1，即|c-（a+b）|=1

令a= ，b= （如图②）

∴a+b= ∵a ，b 是单位向量且a·b=0，

∴四边形ABCD 为正方形，其中| |=

设c= ，则∵c-（a+b）=

由题意∵|c-（a+b）|=1 ∴| |=1

∴C 在以D 为圆心，1为半径的圆上，∴|c|的最大值为 +1