解析几何抛物线 浅谈高考解析几何中抛物线试题的改编

　　摘要：本文针对高考解析几何试题的特点，从一道典型例题挖掘其教学思想和试题的各种变形，由变形到引申、拓展，从而揭示高考解析几何试题的本质，使学生具有一题多变、一法多用的能力，同时让学生体验新题的形成过程，培养学生的探索精神和创新能力，达到会做一个题就会做一串题的目的.
　　关键词：高考试题；抛物线；焦点；常数
　　
　　众所周知，解析几何既是高三复习的重点、难点，又是高考命题的热点，解析几何是近几年来高考备考中不可或缺的课题之一. 而许多高考试题都是在一些熟悉的题目基础上编制出来的. 本文试对解析几何中的抛物线的典型问题作初步探索，希望对读者高考备考有所帮助.
　　例过抛物线y2=2px（p>0）焦点F的一条直线l和此抛物线相交，两个交点的坐标分别为A（x1，y1）、B（x2，y2）. 求证：y1y2=－p2.
　　
　　图1
　　由这样一个基本题,可以变化出许多题.
　　1.?摇x1x2=_____.
　　2.?摇•=_____. （２００３天津）
　　结合•=cosθ（θ是、的夹角）及三角形面积公式得：
　　3.?摇设三角形AOB的面积为S，，的夹角为θ，写出函数S=S（θ）的解析式，并求出该函数的定义域和值域.
　　与导数结合，在点A，B处的切线的斜率分别为和，由•=-1得：
　　
　　4.?摇求证：抛物线在A，B两点处的切线互相垂直.
　　让学生写出两条切线方程，然后求出两条切线的交点为，=-，. 由此得:
　　5.?摇求证：抛物线在A，B两点的切线l1，l2和该抛物线的准线共点.
　　6.?摇当l绕F旋转时，求证：抛物线在A，B两点处的切线l1，l2的交点M的轨迹是该抛物线的准线.
　　7.?摇设两切线l1，l2的交点为M，AB的中点为N. 求证：MN∥x轴.
　　8.?摇求证：以AB为直径的圆与准线相切. （见扩展习题８.６第３题）
　　9.?摇以AB为直径作圆交准线于点M. 求证：MA和MB是抛物线的切线.
　　让学生计算一下MF和AB的斜率，发现kMF=-，kAB=，于是得：
　　10.?摇过F作AB的垂线交准线于M. 求证：MA与抛物线相切.
　　
　　11.?摇设抛物线在点A处的切线l1交准线于M. 求证：MF⊥AB.
　　12.?摇设两切线l1，l2的交点为M，FA=m，FB=n. 用m，n表示△AMB的面积S，并求S的最小值.
　　
　　请把11题和12题与2006年高考题（全国卷Ⅱ）对比.
　　高考题：已知抛物线x2=4y的焦点为F，A，B是抛物线上的两个动点，且=λ•（λ>0），分别过A，B两点作抛物线的切线，设其交点为M.
　　（1）证明•为定值；
　　（2）设△ABM的面积为S，用λ表示S，写出S=f（λ）的表达式，并求出S的最小值.
　　把第4、5两题求逆可得：
　　13.?摇过抛物线准线上一点作抛物线的两条切线. 求证：这两条切线互相垂直.
　　14.?摇过抛物线准线上一点作抛物线的两条切线. 求证：两个切点及焦点，三点共线.
　　根据原题的解法易知：
　　15.?摇设点A，B在准线上的射影分别为点D，C. 求证：DF⊥CF.
　　16.?摇求证：以CD为直径的圆与弦AB切于焦点F.
　　17.?摇求证：点A处的切线AM与FD垂直，且AM、FD、y轴三线共点.
　　18.?摇求证：点A处的切线AM∥FC.
　　19. 求证：A，O，C三点及B，O，D三点分别共线.
　　请把此题与高考试题作比较.
　　高考题：设抛物线y2=2px（p>0）的焦点为F，经过F的直线交抛物线于A，B两点. 点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴. 证明：直线AC经过原点.
　　
　　图5
　　把8题和16题结合起来研究不难发现：
　　20. 求证：以AB为直径的圆与以CD为直径的圆的公共弦在y轴上.
　　21. 过点A作切线l1的垂线（即抛物线的法线）交x轴于点Q，求证：FA=FQ.
　　对8题和10题进行改造如下.
　　22. 如图6，定点A到定直线m的距离为p（p>0），动直线n经过点A，过A作n的垂线交m于B，过B作m的垂线交n于P，在n上截取PQ=PB. （1）建立适当的坐标系求点Q的轨迹C的方程. （2）求证：BQ与曲线C只有一个交点（见扩展例题８.５第２题）
　　
　　把10题、13题、14题叠加可以得出综合题.
　　23. 已知抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点为F，准线为l，过l上一点P作抛物线的两条切线，切点分别为A，B. 某学习小组研究中提出以下三个猜想：
　　（1）PA，PB恒垂直；
　　（2）直线AB恒过焦点F；
　　（3）•=λ2中，λ恒为常数.
　　
　　请你研究上述猜想的真伪.
　　把焦点放在y轴上，并使13、14题特殊化，得：
　　24. 如图7，已知抛物线C：x2=2y和直线l：x+y+1=0. 过l上一点P作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，若PA⊥PB. 求直线AB的方程（扩展例题８.６第５题）.
　　25. 8题在原题中，把直线l过焦点F，改为过定点G（a，0），结论有何变化？
　　26. 已知抛物线y2=2px（p>0），过定点G（a，0）的一条直线l和此抛物线相交，两个交点的坐标分别为A（x1，y1）、B（x2，y2）. 求证：
　　（1）y1y2为常数；
　　（2）•为常数.
　　高考试题也往往是从一些重要的结论所挖掘出来的. 例如可从下面这个结论中得到与一些高考试题之间的联系.
　　重要结论：过抛物线y2=2px（p>0）的焦点F作x轴的垂线交抛物线于点A，过A作两条直线与抛物线交于另外两点M，N，若FA平分∠MAN，则直线MN的斜率的绝对值等于抛物线的离心率.
　　请把结论与2004年北京文、理试题及2005年江西文试题类比：
　　2004年北京理：过抛物线y2=2px（p>0）上一定点P（x0，y0）（y0>0），作两条直线分别交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）.
　　（1）求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点F的距离；
　　（2）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求的值，并证明直线AB的斜率是非零常数.
　　2004年北京文：抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（1，2），A（ｘ1，ｙ1），Ｂ（ｘ2，ｙ2）均在抛物线上.
　　（1）写出该抛物线的方程及其准线方程；
　　（2）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1+y2的值及直线AB的斜率.
　　2005年江西文：点M是抛物线y2=x上的一点，动弦ME，MF分别交x轴于A，B两点，且MA=MB.
　　（1）若M为定点，证明：直线EF的斜率为定值；
　　（2）若M为动点，且∠EMF=90°，求△EMF的重心G的轨迹方程.
　　在高考备考复习时，编制数学试题教学的过程中，这样的例子很多，例如把上面的抛物线变成椭圆和双曲线，某些问题也会成立（这里不作探讨）. 古人云：授人以鱼，只供一饭之需；授人以渔，则一生受用无穷. 因为许多高考题都是从某一熟知的题目改编而来的，就是人们常说的“换汤不换药”“万变不离其宗”的道理. 试题的本质不会发生变化. 所以，只有经常做这种训练，才有可能押上高考题目.
本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文