[等差数列在解古算诗词中的应用] 解等差数列含参数

　　江苏泰州实验学校225300 　　 　　摘要：等差数列是高中数学的重点知识，它的历史悠久，在古代的很多书籍中都有记载. 此文就等差数列的计算方法在解古算诗词中的应用进行举例说明.
　　关键词：等差数列；诗词
　　
　　等差数列问题的历史悠久，最早出现在古埃及的一本莱因特纸草书里. 对等差数列问题，巴比伦泥板书中也有记载.
　　我国古代数学家对数列概念的认识很早. 我国古代的许多著名算书如《周髀算经》《九章算术》《孙子算经》《张邱建算经》及《前汉书》《旧唐书》等书中，都载有许多很有趣味的数列问题.
　　在《周髀算经》中，计算七衡（七个同心圆）的各直径、周长，二十四节气的每个节气时，就已应用了通项公式：an=a1+（n－1）d.
　　在《九章算术》的衰分、均输、盈不足等章中，共载有六个等差数列问题. 刘徽在《九章算术》中，创造了下列有关等差数列的计算公式：
　　an=a1+（n－1）d， d=，
　　Sn=， Sn=a1
　　+dn，
　　Sn=a1n+d.
　　这在我国数学发展史上是空前的，是一个很大的创造.
　　古代埃及、巴比伦、印度等许多国家，虽然也都研究过等差数列，但都没有得出比较完整的计算公式. 印度数学家婆罗门笈多直至公元七世纪才得出通项及求和的计算公式，这至少比刘徽迟了三百年！由上可知，我国古代对等差数列有很深的研究，作出过巨大的贡献.
　　上述计算方法在解古算诗词中有着不少应用，今举例如下，供高中师生教与学时参考.
　　例1
　　八子分绵
　　九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠.
　　次第每人多十七，要将第八数来言.
　　务要分明依次第，孝和休惹外人传.
　　解析 已知：Sn=996，d=17，n=8.
　　用等差数列公式：
　　Sn==，
　　代入得a1=65，所以a2=82，a3=99，…，a8=184.
　　例2
　　五兄欠钱
　　甲乙丙丁戊，酒钱欠千文.
　　甲兄告乙弟，四百我还与.
　　转差是几文，各人出怎取.
　　解析 这是一个等差数列问题，已知Sn=1500，a1=400，n=5，代入公式
　　Sn=a1
　　+dn，
　　得1500=
　　400+d×5，所以d=－50.
　　解之，甲为400；乙为400-50=350；丙为350-50=300；丁为300-50=250；戊为250-50=200.
　　例3（程大位《算法统宗》）
　　竹筒容米
　　家有九节竹一茎，为因盛米不均平.
　　下头三节三升九，上梢四节贮三升.
　　唯有中间二节竹，要将米数次第盛.
　　若是先生能算法，也教算得到天明.
　　译文 有一家人用一根9节长的竹子盛米，每节竹筒盛米的容积是不均匀的，下端3节可盛米3.9升，上端4节可盛米3升，唯有中间相邻的两节竹子，要按依次盛米容积相差之同一数量的方式盛米. 就是先生懂得算法的话，只怕到天明方可算出中间两节盛米的容积.
　　解析 这是一个等差数列问题，求出相邻两节盛米的差数（即公差）时，问题便可解决. 为此，我们假设从下到上每节竹子盛米的容量为：
　　a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7，a8，a9.
　　显然这是递减的等差数列.
　　由题意可知：a1+a2+a3=3.9（L），
　　a6+a7+a8+a9=3（L）.
　　因此，下端3节竹筒容积的算术平均数为：==1.3（L），
　　由等差数列性质可知，a2=1.3=（L）.
　　上端4节竹筒容积的算术平均数为：
　　=（L）.
　　显然，下端和上端系数之差为：
　　－=（L），
　　这是被除数；而9（节）-
　　+
　　=（节）是除数，
　　则公差d=÷=.
　　已知a2=，利用an-1=an－d便可依次求出盛米之容积为：1 L，1 L，1 L，1 L，1 L， L， L， L， L.
　　综上可知，古算诗词型计算题是我国古代劳动人民为了便于记忆和学习，有意识地编写而成的. 这些题目构思新颖，设喻生动，脍炙人口，发人深思，有声有色，颇有魅力，饶有趣味. 并且对普及我国的数学基础知识，开展数学教育，推动我国数学的发展，起到了一定的积极作用.
　　本文介绍这一专题，既符合新课程理念下创新教育的要求，又能对学生施以教育和影响，促使他们去认识我国古代数学在历史进程中的重大作用，还利于激发学生学习数学的兴趣，推进课程改革和深入实施素质教育工作的开展.
　　故笔者认为：向学生介绍我国古代古算诗词中与数学相关的数学史知识，很有必要！
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