解析几何法巧解三角形的范围问题 也谈解析几何中参数取值范围的求解方法

　　解析几何中求参数的范围问题，是解析几何知识与函数、不等式、方程、三角等知识交叉、渗透的综合性问题，内涵丰富，是培养和考查学生能力的良好素材，也是高考命题的热点．学生对此往往感到比较困惑．据笔者的教学实践，浅谈解此类问题的几种常用策略．�
　　1 借助函数，确定参数的取值范围�
　　根据圆锥曲线的几何性质或与圆锥曲线的位置关系，构造关于参数的函数，并确定其定义域，将问题转化为函数值域的求解．�
　　例1 直线y=kx+1与双曲线x�2-y�2=1的左支交于A、B两点，直线l过点（-2，0）与AB之中点，求直线l在y轴上的截距b的取值范围．�
　　分析：可先由直线与双曲线的位置关系确定k的取值范围，再建立b与k的函数关系，通过求函数值域确定b的范围．�
　　解：联立方程 y=kx+1及x�2-y�2=1，得�
　　(1-k�2)x�2-2kx-2=0.(1)�
　　由题意知方程（1）有二不等实根，�
　　即 Δ＞0�2k1-k�2＜0�-21-k�2＞0 解得 1＜k＜2．�
　　又AB的中点为（k1-k�2,11-k�2), k�l=1-2k�2+k+2，故直线的方程为 y=1-2k�2+k+2(x+2)．令 x=0, b=2-2k�2+k+2=2-2(k-14)�2+178．�
　　因为 k∈(1,2),�
　　所以 b∈(-∞,-2-2)∪(2,+∞).�
　　2 借助方程，确定参数的取值范围�
　　我们知道方程f(x,λ)=0 (x∈［m,n］)功能之一是制约其变量的范围．具体的讲就是由f(x,λ)=0确定x=φ(λ)，由于x∈［m,n］可得m≤φ(λ)≤n，然后解此关于λ的不等式组即可求出参数λ的取值范围．�
　　例2 长为3的线段AB的两端点在抛物线�y=x�2-1上移动，若直线AB在y轴上截距b的范围为［78,94］，试求直线AB的斜率角α的取值范围．�
　　分析：直接求直线AB的倾斜角α的取值范围较难，必须转化为求α的正切，即直线斜率的范围．而截距b范围已知，自然联想到找出方程f(k,b)=0，从中可求出k的范围，再利用正切函数的单调性即可求出直线AB的倾斜角α的取值范围．�
　　解：由题意知直线AB的斜率存在．�
　　可设其方程为 y=kx+b，由 y=kx+b�y=x�2，得 x�2-kx-b=0，设 A（x�1,y�1),B(x�2,y�2)，则�
　　 x�1+x�2=k,x�1x�2=-b，由弦长公式：�
　　|AB|=(1+k�2)［(x�1+x�2)�2-4x�1x�2］=9,�
　　所以 4b=91+k�2-k�2, 又 b∈［78,94］,�
　　所以 72≤91+k�2-k�2≤9,�
　　所以 -1≤k≤1，即 -1≤�tan�α≤1.�
　　故直线AB的倾斜角α的范围为：�
　　［0,π4］∪［3π4,π］.�
　　2 借助不等式，确定参数的取值范围�
　　根据圆锥曲线的几何性质及题目中内涵挖掘不等量关系构造参数的不等式，或利用题目中明显的不等量关系，将问题转化为解不等式．�
　　2．1 由曲线的存在范围构造不等式�
　　例3 已知椭圆C方程为x�24+y�23=1，试确定m的取值范围，使得对于直线y=4x+m，椭圆C上有两异点关于该直线对称．�
　　解：设M（x,y)是椭圆C的斜率为-14的平行弦中点轨迹上任一点．�
　　设P（x�1,y�1),Q(x�2,y�2)，因为 P，Q在C上，�
　　所以 3x�2�1+4y�2�1=12�3x�2�2+4y�2�2=12(1)�(2)�
　　由点差法得 y�1-y�2x�1-x�2=-34x�1+x�2y�1+y�2.�
　　又 x�1+x�2=2x, y�1+y�2=2y,�
　　所以 k=-14=-34xy 即 3x-y=0.�
　　由 3x-4y=0�y=4x+m得交点（-m,-3m)在椭圆内部．所以 (-m)�24+(-3m)�23＜1,�
　　所以 -2313＜m＜2313．�
　　2．2 由方程的判别式构造不等式�
　　例4 已知抛物线y=x�2-1上一定点B（-1，0）和两个动点P、Q，当P在抛物线上运动时，BP⊥PQ，求Q点的横坐标的范围．�
　　解：设P（t,t�2-1),Q(s,s�2-1),因为 BP⊥PQ, 所以 t�2-1t+1・s�2-1-(t�2-1)s-t=-1.�
　　即 t�2-(s-1)t-s+1=0．�
　　因为 t∈R，所以 Δ=(s-1)�2+4(s-1)≥0，所以 s≤-3或s≥1.�
　　2.3 由题设中已知参数的范围构造不等式�
　　例5 已知等腰梯形ABCD中，�|AB|�=�
　　2�|CD|�，且AB∥CD，点E分�AC�所成的比为λ，双曲线过C、D、E三点，当23≤λ≤34时，求双曲线离心率的取值范围．�
　　解：建立直角坐标系如图1，则双曲线方程为 x�2a�2-y�2b�2=1 (a,b＞0)，设A（-c,0),B(c,0)，其中c=12�|AB|�为双曲线的半焦距，C、E两点的横坐标分别为 x�C=c2,x�E=-c+λc21+λ=(λ-2)c2(λ+1)，由双曲线焦半径公式得�
　　|AC|=ex�C+a=ce2+a,�
　　|AE|=-ex�E-a=-(λ-2)c2(λ+1)e-a代入 |AE||AC|=λλ+1，可得 λ=e�2-1e�2+2=1-3e�2+2，又 23≤λ≤34，所以 7≤e≤10．�
　　
　　图1
　　
　　图2
　　4 借助数形结合，确定参数的范围�
　　由含参数的方程表示曲线的几何性质，采用数形结合思想确定参数的范围．�
　　例6 定长为3的线段AB的两端点在y�2=2x上移动，求AB中点M的横坐标的取值范围．�
　　解：如图2，抛物线的准线l:x=-12过A、B、M，作AA′，BB′，MM′垂直于l，垂足分别为A′，B′，M′，�
　　由抛物线的定义得：�|AA′|�=�|AF|�,�|BB′|�=�|BF|�，又M为AB中点，从而�|MM′|�=12（|AA′|+|BB′|）=12（|AF|+|BF|）≥12|AB|=32．�
　　（当且仅当AB过F时取“=”），从而M点横坐标的范围为［1,+∞)．�
　　5 借助三角函数，确定参数的取值范围�
　　在解决参数范围时，有时在所给问题中反复借助函数、方程、不等式、数形结合不奏效或较复杂，此时若恰当引入变量角α，构造出方程f(
　　λ,α)=0，再利用三角函数知识会收到意想不到的效果．�
　　
　　图3
　　例7 椭圆 x�2a�2+y�2b�2=1 (a＞b＞0)的两焦点F�1（0,�-c�),F�2(0,c) (c＞0)，P是椭圆上的一点，PF�1⊥PF�2，求椭圆离心率的取值范围．�
　　解：如图3，设∠PF�1F�2=θ (0＜θ＜π2)，�
　　在�Rt�△F�1PF�2中，�
　　|PF�1|=2c�cos�θ,�
　　�|PF�2|�=2c�sin�θ,�
　　所以 |PF�1|+|PF�2|=�
　　2c�cos�θ+2c�sin�θ=2a,�
　　所以 e=ca=1�sin�θ+�cos�θ=12�sin�(θ+π4).�
　　所以 0＜θ＜π2，所以 π4＜θ+π4＜3π4，�
　　所以 22≤e≤1.
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