课堂因探究而精彩 [精彩课堂，让“探究”作主]

　　江苏锡山高级中学 214154 　　 　　摘要：课堂是学生间的有效合作，师生间的科学对话，学生在学习中寻找未知的场所，学生是学习的主人. 本文结合教学实践，探求如何抓住课堂即时生成的资源，把握好时机，引导学生深入探究，发展能力，让课堂生机勃勃.
　　关键词：疑惑处；兴奋处；分歧处；创新处
　　
　　新课程标准的不断实施，使得教学的开放性增强，学生在课堂上发言、争论的机会增多，因而在教师预设之外的问题不断出现. 课堂成为学生间紧密合作，师生间科学互动的场所. 我在教学实践中深深体会到抓住课堂即时生成的资源，在学生疑惑的节点处、认知的兴奋处、意见的分歧处、思维的创新处，开展探究活动，极大地促进了学习的主动性，使课堂充满活力. 现笔者结合新课程教学的实际情况谈谈这方面的体会.
　　
　　1. 在学生知识疑惑处展开探究
　　在知识传授的过程中，由于个体差异，学生不可能一致性地接受教学内容，他们必定会产生基于自身体验之上的各种疑惑或需求，如果让学生适时拓展思维，体验展示过程，并及时调整教学行为，就能给学生带来自主探究的互动性.
　　案例1已知数列的前三项为2，4，8，写出它的一个通项公式.
　　学生很快写出了满足条件的一个通项公式an=2n. 但学生不明白为什么只写出它的一个通项公式，难道还有第二个甚至更多吗？给时间让学生探究. 发现an=n2－n+2也是它的一个通项公式，an=2n+x（n－1）（n－2）（n－3）（x是任意一个实数）是它的通项公式，事实上，在坐标平面上，经过三点（1，2），（2，4），（3，8）的曲线有无数条，相应的函数解析式即通项公式也有无数多个.
　　通过学生自主探究，加深了学生对数列概念的理解. 学生有疑惑，并表露出来，这是学生主体参与的体现. 我们面对学生突如其来的问题，要多加鼓励，即使不适合在课堂上探究，也不要轻易采取否决的态度，可以让学生在课后相互讨论，在课后去寻找答案. 鼓励学生在探究过程中应该有自己的念头，哪怕是错误的念头.
　　
　　2. 在学生求知兴奋处展开探究
　　苏联著名教育家苏霍姆林斯基说：“教师如果不想方设法使学生产生情绪高昂和智力振奋的内心状态，就会带来疲倦，处于疲倦状态下的大脑，是很难有效地吸收知识的.” 教学过程中，教师要不断创设适当的问题情景，使学生思维兴奋起来，产生“我要自己发现数学的规律和问题解决的途径”“ 我要自己经历知识形成过程”的探索欲望. 有了这种意识，教师才会在课前、课上、课后，把关注点不仅仅放在教材和教案上，也应放在研究学生上，真正去了解学生的需求，在学生处于跃跃欲试的瞬间，给足时间，给予机会，使探究成为课堂的生命线.
　　案例2过抛物线y2=2px（p>0）的顶点O，作互相垂直的弦OA，OB，分别交抛物线于A，B，连结AB交x轴于C点，则C为定点.
　　让学生去观察、思考、讨论、交流. 很快学生给出如下证法.
　　设OA方程为y=kx（k≠0），与y2=2px联立，得A
　　，
　　. 因为OA⊥OB，所以设OB的方程为y=－x，可得B（2pk2，－2pk）. 求得AB的方程为kx+（k2－1）y－2pk=0，于是C（2p，0）.
　　而另有同学给出了如下证法.
　　设A（x1，y1），B（x2，y2），直线x=ky+m，代入y2=2px，得y2－2pky－2pm=0，y1y2=－2pm. 又x1x2==m2，根据OA⊥OB，得m2－2pm=0，因为m≠0，所以m=2p，即C（2p，0）为定点.
　　上述两种证法各有什么特点？学生归纳得出证法一通过联立方程组，求出点A，B的坐标，再求出AB的方程，得出C为定点，相对而言，运算量稍大；方法二点A，B的坐标，采用设而不求，利用OA⊥OB的条件，直接得到直线AB在x轴上的截距为定值，方法巧妙.
　　看着学生兴奋的神情，笔者追问这个结论对圆、椭圆、双曲线成立吗？学生的探索与交流被推向了高潮，经分析，发现对圆、椭圆、双曲线有着类似的结论.
　　结论一过圆（x－a）2+（y－b）2=r2上任一点P作圆的互相垂直的弦PA，PB，则AB过定点（a，b）. （证明略）
　　结论二过椭圆+=1（a>b>0）的左顶点P，作互相垂直的弦PA，PB，分别交椭圆于A，B两点，连结AB交x轴于C点，则C为定点.
　　证明设A（x1，y1），B（x2，y2），P（－a，0），直线AB的解析式为x=ky+m，代入椭圆方程整理得（a2+b2k2）y2+2b2mky+b2m2－a2b2=0，由PA⊥PB，得（x1+a）（x2+a）+y1y2=0，利用韦达定理代入， 化简为（a2+b2）m2+2a3m+a4－a2b2=0，因为m≠－a，故C
　　，0为定点.
　　结论三过双曲线－=1（a>0，b>0，a≠b）的一个顶点P，作互相垂直的两弦PA，PB，分别交双曲线于A，B两点（不要求在同支上），连结AB（或其延长线）交x轴于C点，则C为定点.
　　证法同上，C
　　，0为定点.（若a=b，则是等轴双曲线，所作直线AB平行于x轴，得不到交点C）
　　临时调整的互动式教学情景，在投学生所好的同时，让学生深深体会到了数学知识的前后联系性，加深对知识的理解. 只要是求知的兴奋点，就有可以引导为学生自主探究的有效切入点.
　　
　　3. 在学生意见分歧处展开探究
　　每个学生都有自己的学习经验，由于切入角度的不同，所以理解方式也不同，对这些问题进行探究，学生能够获取不同的感悟和体验. 教师对学生进行引导时，不要先预设或者暗示某种理解，而应让学生在充分探究的基础上作出判断.
　　案例3已知数列｛an｝的通项an=2n2－17n+15（n∈N*），求｛an｝的单调性及最小项.
　　学生的求解过程如下.
　　设f（n）=2n2－17n+15（n∈N*），则f ′（n）=4n－17，令f ′（n）0，得n>. 所以f（n）在n∈0
　　，上是减函数，在n∈
　　，+∞上是增函数.
　　从而数列｛an｝在｛1，2，3，4｝上单调递减，在｛5，6，7，…｝上单调递增，且a4=－21，a5=－20，所以数列｛an｝的最小项是a4=－21.
　　分析以上解答过程时，学生意见产生了分歧，对错判断不统一. 问题出在何处，通过探究，得出结论，上述解法是错误的，因为导数是定义在连续函数上的，而f（n）=2n2－17n+15（n∈N*）是离散函数，不存在导数，所以不能对其求导，但可以构造辅助函数，利用导数研究辅助函数的图象和性质，以达到研究数列单调性的目的.
　　作辅助函数f（x）=2x2－17x+15（x>0），则f ′（x）=4x－17，令f ′（x）0，得x>. 所以f（x）在x∈0
　　，上是减函数，在x∈
　　，+∞上增函数.
　　从而数列｛an｝在｛1，2，3，4｝上单调递减，在｛5，6，7，…｝上单调递增，且a4=－21，a5=－20，所以数列｛an｝的最小项是a4=－21.
本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文 　　当学生认识出现意见分歧时，教师应充分挖掘自己的智慧，将其巧妙地运用到教学活动中.
　　
　　4. 在学生思维创新处展开探究
　　建构主义认为学习是学生在已有知识和经验的基础上主动建构的过程. 在意义建构的过程中，学生必定会产生新的想法. 学生做出的哪怕只有一点新设计、新做法、新方法、新观念就是创新，教师如果能捕捉那些学生即时生成的创新意识，加以利用，对学生的成长将起积极的推动作用.
　　案例4满足条件AB=2，AC=BC的三角形ABC的面积的最大值是.
　　学生经过思考很快找到了方法.
　　设BC=x，则AC=x，cosB==，S△ABC=・2x・=.
　　由
　　x+x>2，
　　x+2>x得2－20）时，三角形ABC的面积有最大值吗？（3）当AC+BC=2时，三角形ABC的面积有最大值吗？（4）当AC－BC=时，三角形ABC的面积有最大值吗？（5）当AC・BC=时，三角形ABC的面积有最大值吗？有些可在课堂上进一步探究下去，如问题（1）比值也可为；问题（2）λ=1时没有最大值，λ>0且λ≠1时最大值为；问题（3）最大值为1；问题（4）没有最大值. 对于问题（5）若在课堂上充分展开，则将耗费较多时间，且难以让学生理解透彻，可对提出这个问题的同学充分鼓励，让其在课后进行探索.
　　通过以上案例可知，探究是实施学生学习方式改变的重要途径，探究本身所带来的过程往往是认知构建的基础. 《普通高中数学课程标准》明确指出数学探究、数学建模、数学文化是贯穿于整个高中数学课程的重要内容.
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