【圆锥曲线来自何方】圆锥曲线

　　求曲线的轨迹方程是解析几何的基本问题，高考试题多将其作为解答题的第一问，常用方法有直接法，定义法，代入法，参数法等。但在客观题中，出现对动点轨迹的考察通常与立体几何的知识相结合，需要考生运用空间想象力，根据图形特点，运用逻辑推理，转化成动点满足的条件。不一定非要得到轨迹方程，只要能判断出轨迹即可。
　　例1．（2010重庆）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（ ）
　　A 直线 B椭圆
　　C抛物线 D双曲线
　　分析：如图，异面直线L1、L2的公垂线段为MN，作PA⊥L1于A，作PB⊥L2于B，且PA=PB，如图建系，设P（x，y），则x2+y2=q2，即y2-x2=q2，故点P的轨迹为双曲线。
　　变式：如右图，在正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面ABB1A1内，有一动点P到直线AA1和BC的距离相等，则动点P的轨迹是（ ）
　　A 线段
　　B椭圆的一部分
　　C 双曲线的一部分
　　D 抛物线的一部分
　　分析：因为点P到直线BC的距离就是PB间的距离，所以，|PB|=点P到直线AA1的距离。由抛物线的定义知点P的轨迹是抛物线。
　　例2．（2008浙江）如右图，AB是平面α的斜线段，A为斜足，点P在平面α内运动，并使得△ABP的面积为定值，则点P的轨迹是（ ）
　　A 圆 B椭圆
　　C 一条直线
　　D 两条平行线
　　分析： ∵△ABP的面积是定值∴P到AB的距离是定值∴P在以AB轴的圆柱面上，又平面α与圆柱斜交∴截面是椭圆，即点P的轨迹是椭圆。
　　变式：如右图，平面ABC⊥平面α，D为AB的中点，AB的长度等于2，∠CDB=60°，P为平面α内的动点，且P到直线CD的距离为■，则∠APB的最大值是（ ）
　　A 30° B 60°
　　C 90° D 120°
　　分析:由例2知，点P的轨迹是椭圆，长轴长为4，短轴长为2■∴∠APB的最大值为60°。
　　例3．如右图，△PAB所在的平面α和四边形ABCD所在的平面β垂直，且AD⊥α，BC⊥α，AD=4，BC=8，AB=6，∠APD=∠CPB，则点P在平面α内的轨迹是（ ）
　　A 圆的一部分
　　B 椭圆的一部分
　　C 双曲线的一部分
　　D 抛物线的一部分
　　分析：∵∠APD=∠CPB，∴tan∠APD=tan∠CPB，
　　∴■=■∴BP=2AP，依据圆的第二定义知：点P的轨迹是圆。
　　例4．P为四面体SABC的侧面SBC内一点，若动点P到底面ABC的距离与到点S的距离相等，则动点P的轨迹是侧面SBC内的（ 　　　）
　　Ａ　线段或圆的一部分
　　Ｂ　椭圆或双曲线的一部分
　　Ｃ 双曲线或抛物线的一部分
　　Ｄ　椭圆或抛物线的一部分
　　分析：（1）当面SBC⊥面ABC时，P到面ABC的距离=P到BC的距离∴|PS|=P到BC的距离∴点P的轨迹是抛物线的一部分。
　　（2）当面SBC与面ABC不垂直时，如右图，过P作PH⊥面ABC于H，连结SP并延长，交BC于Q，连结HQ。
　　∵PH=PQsin∠PQH=PS
　　∴■=sin∠PQH＜1
　　∴点P的轨迹是椭圆的一部分
　　判断动点的轨迹是高中数学的一个重要问题，本文着重介绍了选择题这一题型及处理问题的解题技巧，希望能给读者带来解决此类问题新的思路。