初中数学压轴题及答案 中考数学压轴题和答案

中考数学压轴题

1.

已知:如图, 抛物线y=-x2+bx+c与x 轴、y 轴分别相交于点A （-1，0）、B （0，3）两点，其顶点为D.

（1） 求该抛物线的解析式；

（2） 若该抛物线与x 轴的另一个交点为E. 求四边形ABDE 的面积；

（3） △AOB 与△BDE 是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由.

⎛b 4ac -b 2⎫

（注：抛物线y=ax+bx+c(a≠0) 的顶点坐标为 -2a , 4a ⎪⎪）

⎝⎭

2

2. 如图，在Rt △ABC 中，∠A =90，AB =6，AC =8，D ，E 分别是边AB ，AC 的

中点，点P 从点D 出发沿DE 方向运动，过点P 作PQ ⊥BC 于Q ，过点Q 作QR ∥BA 交

AC 于

R ，当点Q 与点C 重合时，点P 停止运动．设BQ =x ，QR =y ．

（1）求点D 到BC 的距离DH 的长；

（2）求y 关于x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；

（3）是否存在点P ，使△PQR 为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由．

H Q

C

3在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝4，AC ＝3，M 是AB 上的动点（不与A ，B 重合），过M 点作MN ∥BC 交AC 于点N ．以MN 为直径作⊙O ，并在⊙O 内作内接矩形AMPN ．令AM

＝x ．

（1）用含x 的代数式表示△ＭNP 的面积S ； （2）当x 为何值时，⊙O 与直线BC 相切？

（3）在动点M 的运动过程中，记△ＭNP 与梯形BCNM 重合的面积为y ，试求y 关于x 的函数表达式，并求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？

P 图 3

B

D 图 2

B

图 1

4. 如图1，在平面直角坐标系中，己知ΔAOB 是等边三角形，点A 的坐标是(0，4) ，点B 在第一象限，点P 是x 轴上的一个动点，连结AP ，并把ΔAOP 绕着点A 按逆时针方向旋转. 使边AO 与AB 重合. 得到ΔABD. （1）求直线AB 的解析式；（2）当点P 运动到点（，0）时，求此时DP 的长及点D 的坐标；（3）是否存在点P ，使ΔOPD 的面积

等于

3

，若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由

. 4

5如图，菱形ABCD 的边长为2，BD=2，E 、F 分别是边AD ，CD 上的两个动点，且满足AE+CF=2.

（1）求证：△BDE ≌△BCF ；

（2）判断△BEF 的形状，并说明理由；

（3）设△BEF 的面积为S ，求S 的取值范围

.

6如图，抛物线L 1:y =-x 2-2x +3交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于M 点. 抛物线L 1向右平移2个单位后得到抛物线L 2，L 2交x 轴于C 、D 两点. （1）求抛物线L 2对应的函数表达式；

（2）抛物线L 1或L 2在x 轴上方的部分是否存在点N ，使以A ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形. 若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若点P 是抛物线L 1上的一个动点（P 不与点A 、B 重合），那么点P 关于原点的对称点Q 是否在抛物线L 2上，请说明理由

.

7. 如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝7，CD ＝1，AD ＝BC ＝5．点M ，N 分别在边AD ，BC 上运动，并保持MN ∥AB ，ME ⊥AB ，NF ⊥AB ，垂足分别为E ，F ．

（1）求梯形ABCD 的面积；

（2）求四边形MEFN 面积的最大值．

（3）试判断四边形MEFN 能否为正方形，若能， 求出正方形MEFN 的面积；若不能，请说明理由．

C A E F B

8. 如图，点A （m ，m ＋1），B （m ＋3，m －1）都在反比例函数y =

k

的图象上． x

（1）求m ，k 的值；

（2）如果M 为x 轴上一点，N 为y 轴上一点， 以点A ，B ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，

试求直线MN 的函数表达式．

友情提示：本大题第（1）小题4分，第（2）小题7分．对

完成第（2）小题有困难的同学可以做下面的（3）选做

题．选做题2分，所得分数计入总分．但第（2）、（3）

小题都做的，第（3）小题的得分不重复计入总分．

（3）选做题：在平面直角坐标系中，点P 的坐标

为（5，0），点Q 的坐标为（0，3），把线段PQ 向右平 移4个单位，然后再向上平移2个单位，得到线段P 1Q 1， 则点P 1的坐标为 ，点Q 1的坐标为

．

9. 如图16，在平面直角坐标系中，直线y =x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线y =ax -

2

x +c (a ≠0) 经过A ，B ，C 三点． 3

（1）求过A ，B ，C 三点抛物线的解析式并求出顶点F 的坐标；

（2）在抛物线上是否存在点P ，使△ABP 为直角三角形，若存在，直接写出P 点坐标；若不存在，请说明理由； （3）试探究在直线AC 上是否存在一点M ，使得△MBF 的周长最小，若存在，求出M 点的坐标；若不存在，请说明理由．

10. 如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC 的边BO 在x 轴的负半轴上，边OC 在y

轴的正半轴上，且AB =1，OB =ABOC 绕点O 按顺时针方向旋转60后得到

矩形EFOD ．点A 的对应点为点E ，点B 的对应点为点F ，点C 的对应点为点D ，抛物

线y =ax 2+bx +c 过点A ，E ，D ． （1）判断点E 是否在y 轴上，并说明理由； （2）求抛物线的函数表达式；

（3）在x 轴的上方是否存在点P ，点Q ，使以点O ，B ，P ，Q 为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC 面积的2倍，且点P 在抛物线上，若存在，请求出点P ，点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

11. 已知：如图14，抛物线y =-交于点B ，点C ，直线y =-

323

x +3与x 轴交于点A ，点B ，与直线y =-x +b 相44

3

x +b 与y 轴交于点E ． 4

（1）写出直线BC 的解析式． （2）求△ABC 的面积．

（3）若点M 在线段AB 上以每秒1个单位长度的速度从A 向B 运动（不与A ，B 重合），同时，点N 在射线BC 上以每秒2个单位长度的速度从B 向C 运动．设运动时间为t 秒，请写出△MNB 的面积S 与t 的函数关系式，并求出点M 运动多少时间时，△MNB 的面积最大，最大面积是多少？

12. 在平面直角坐标系中△ABC 的边AB 在x 轴上，且OA>OB,以AB 为直径的圆过点C 若

C 的坐标为(0,2),AB=5, A,B两点的横坐标X A ,X B 是关于X 的方程x 2-(m +2) x +n -1=0的两根:

(1) 求m ，n 的值

(2) 若∠ACB 的平分线所在的直线l 交x 轴于点D ，试求直线l 对应的一次函数的解析式 (3) 过点D 任作一直线l 分别交射线CA ，CB （点C 除外）于点M ，N ，则

是否为定值，若是，求出定值，若不是，请说明理由

`

11+的值CM CN

L`

13. 已知:如图, 抛物线y=-x2+bx+c与x 轴、y 轴分别相交于点A （-1，0）、B （0，3）两点，其顶点为D.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)若该抛物线与x 轴的另一个交点为E. 求四边形ABDE 的面积；

(3)△AOB 与△BDE 是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由.

⎛b 4ac -b 2⎫

（注：抛物线y=ax+bx+c(a≠0) 的顶点坐标为 -2a , 4a ⎪⎪）

⎝⎭

2

14. 已知抛物线y =3ax 2+2bx +c ，

（Ⅰ）若a =b =1，c =-1，求该抛物线与x 轴公共点的坐标；

（Ⅱ）若a =b =1，且当-1

x 2=1时，（Ⅲ）若a +b +c =0，且x 1=0时，对应的y 1>0；对应的y 2>0，试判断当0

时，抛物线与x 轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由．

15. 已知：如图①，在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，AC ＝4cm ，BC ＝3cm ，点P 由B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，速度为1cm/s；点Q 由A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ ．若设运动的时间为t （s ）（0＜t ＜2），解答下列问题： （1）当t 为何值时，PQ ∥BC ？

（2）设△AQP 的面积为y （cm ），求y 与t 之间的函数关系式；

（3）是否存在某一时刻t ，使线段PQ 恰好把Rt △ACB 的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由；

（4）如图②，连接PC ，并把△PQC 沿QC 翻折，得到四边形PQP ′C ，那么是否存在某一时刻t ，使四边形PQP ′C 为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．

2

图①

P "

k 1

与直线y =x 相交于A 、B 两点. 第一象限上的点M （m ，n ）（在A 点x 4k

左侧）是双曲线y =上的动点. 过点B 作BD ∥y 轴于点D. 过N （0，－n ）作NC ∥x 轴交双

x

k

曲线y =于点E ，交BD 于点C.

x

16. 已知双曲线y =

（1）若点D 坐标是（－8，0），求A 、B 两点坐标及k 的值.

（2）若B 是CD 的中点，四边形OBCE 的面积为4，求直线CM 的解析式.

（3）设直线AM 、BM 分别与y 轴相交于P 、Q 两点，且MA ＝pMP ，MB ＝qMQ ，求p －q 的值.

压轴题答案

1. 解：（ 1）由已知得：c=3,b=2

∴抛物线的线的解析式为y =-x 2+2x +3 (2)由顶点坐标公式得顶点坐标为（1，4）

所以对称轴为x=1,A,E关于x=1对称，所以

设对称轴与x 轴的交点为F

所以四边形ABDE 的面积=S ∆ABO +S 梯形BOFD +S ⎧c =3

解得 ⎨

⎩-1-b +c =0

111

AO ⋅BO +(BO +DF ) ⋅OF +EF ⋅DF 222111

=⨯1⨯3+(3+4) ⨯1+⨯2⨯4 222

=

=9

（3）相似

如图，===222

所以BD +BE =20, DE =20即： BD +BE =DE , 所以∆BDE 是直角三角形

222

所以∠AOB =∠DBE =90︒, 且

AO BO ==, BD BE 2

所以∆AOB ∆DBE .

2 解：（1） ∠A =Rt ∠，AB =6，AC =8，∴BC =10．

点D 为AB 中点，∴BD =

1

AB =3． 2

∠DHB =∠A =90 ，∠B =∠B ．

∴△BHD ∽△BAC ， DH BD BD 312∴= AC =⨯8=． ，∴DH =AC BC BC 105

（2） QR ∥AB ，∴∠QRC =∠A =90．

∠C =∠C ，∴△RQC ∽△ABC ，

∴

RQ QC y 10-x

=，∴=， AB BC 610

3

x +6． 5

即y 关于x 的函数关系式为：y =-（3）存在，分三种情况：

①当PQ =PR 时，过点P 作PM ⊥QR 于M ，则QM =RM ．

∠1+∠2=90 ，∠C +∠2=90 ， ∴∠1=∠C ．

H Q

C

84QM 4

∴cos ∠1=cos C ==，∴=，

105QP 5

1⎛3⎫

-x +6 ⎪42⎝5⎭=，∴x =18． ∴

555

312

②当PQ =RQ 时，-x +6=，

55

∴x =6．

③当PR =QR 时，则R 为PQ 中垂线上的点，

H

H

Q

C

Q

11

∴CR =CE =AC =2．

24QR BA

tan C ==，

CR CA 3

-x +6156∴=，∴x =．

228

1815

综上所述，当x 为或6或时，△PQR 为等腰三角形．

523解：（1）∵MN ∥BC ，∴∠AMN =∠B ，∠ANM ＝∠C ．

∴ △AMN ∽ △ABC ．

于是点R 为EC 的中点，

x AN

∴ AM =AN ，即=．

43AB AC

∴ AN ＝

B

图 1

3

x ． ……………2分 4

∴ S =S ∆MNP =S ∆AMN =

133

⋅x ⋅x =x 2．（0＜x ＜4） ……………3分 248

1

MN ． 2

（2）如图2，设直线BC 与⊙O 相切于点D ，连结AO ，OD ，则AO =OD =在Rt △ABC 中，BC

．

B

Q

D 图 2

由（1）知 △AMN ∽ △ABC ．

x MN

∴ AM =MN ，即=．

45AB BC

5

x ， 45

∴ OD =x ． …………………5分

8

∴ MN =

过M 点作MQ ⊥BC 于Q ，则MQ =OD =

5

x ． 8

在Rt △BMQ 与Rt △BCA 中，∠B 是公共角， ∴ △BMQ ∽△BCA ． ∴ BM =QM ．

BC AC

5

5⨯x

=25x ，AB =BM +MA =25x +x =4． ∴ BM =

24324

96

． 49

96

∴ 当x ＝时，⊙O 与直线BC 相切．…………………………………7分

49

（3）随点M 的运动，当P 点落在直线BC 上时，连结AP ，则O 点为AP 的中点．

∵ MN ∥BC ，∴ ∠AMN =∠B ，∠AOM ＝∠APC

∴ △AMO ∽ △ABP ．

∴ AM =AO =1． AM ＝MB ＝2． AB AP 2∴ x ＝

故以下分两种情况讨论：

B

3

① 当0＜x ≤2时，y =S ΔPMN =x 2．

8∴ 当x ＝2时，y 最大=

P 图 3

323

⨯2=. ……………………………………8分 82

P

② 当2＜x ＜4时，设PM ，PN 分别交BC 于E ，F ．

∵ 四边形AMPN 是矩形， ∴ PN ∥AM ，PN ＝AM ＝x ． 又∵ MN ∥BC ，

∴ 四边形MBFN 是平行四边形． ∴ FN ＝BM ＝4－x ．

∴ PF =x -(4-x )=2x -4． 又△PEF ∽ △ACB ．

图 4

S ∆PEF ⎛PF ⎫

∴ ． =⎪

S ∆ABC ⎝AB ⎭

∴ S ∆PEF =

2

32

(x -2)． ……………………………………………… 9分 2

y =S ∆MNP -S ∆PEF ＝

32392

x -(x -2)=-x 2+6x -6．……………………10分 828

2

929⎛8⎫

当2＜x ＜4时，y =-x +6x -6=- x -⎪+2．

88⎝3⎭

8

时，满足2＜x ＜4，y 最大=2． ……………………11分 38

综上所述，当x =时，y 值最大，最大值是2． …………………………12分

3

∴ 当x =

4 解：（1）作BE ⊥OA ，∴ΔAOB 是等边三角形∴BE=OB·sin60o

=

B(∵A(0,4),设AB 的解析式为y =kx +4,

所以+4=2,

解得k =, 以直线AB

的解析式为y =x +4 o

（2）由旋转知，AP=AD, ∠PAD=60, ∴ΔAPD 是等边三角形，

如图，作B E ⊥AO,DH ⊥OA,GB ⊥DH, 显然ΔGBD 中∠GBD=30°

1∴GD=BD=

2

,

337∴

,OH=OE+HE=OE+BG=2+=

2227

∴

, )

2(3)设OP=x,则由（2）可得

D(x , 2+

1x ) 若ΔOPD

x (2+x ) =

2224

解得：x =

5

--所以

P(

33

6

7解：（1）分别过D ，C 两点作DG ⊥AB 于点G ，CH ⊥AB 于点H ． ……………1分 ∵ AB ∥CD ，

∴ DG ＝CH ，DG ∥CH ．

∴ 四边形DGHC 为矩形，GH ＝CD ＝1．

∵ DG ＝CH ，AD ＝BC ，∠AGD ＝∠BHC ＝90°，

∴ △AGD ≌△BHC （HL ）．

AB -GH 7-1

∴ AG ＝BH ＝＝3． ………2分 =

22

∵ 在Rt △AGD 中，AG ＝3，AD ＝5， ∴ DG ＝4．

A B E G H

F

1+7)⨯4(∴ S 梯形ABCD ==16． ………………………………………………3分 2

（2）∵ MN ∥AB ，ME ⊥AB ，NF ⊥AB ，

∴ ME ＝NF ，ME ∥NF ．

∴ 四边形MEFN 为矩形．

∵ AB ∥CD ，AD ＝BC ， ∴ ∠A ＝∠B ．

∵ ME ＝NF ，∠MEA ＝∠NFB ＝90°， A B E G H F ∴ △MEA ≌△NFB （AAS ）．

∴ AE ＝BF ． ……………………4分 设AE ＝x ，则EF ＝7－2x ． ……………5分 ∵ ∠A ＝∠A ，∠MEA ＝∠DGA ＝90°， ∴ △MEA ∽△DGA ．

AE ME ∴ ． =

AG DG

4

∴ ME ＝x ． …………………………………………………………6分

3∴ S 矩形MEFN

48⎛7⎫49

=ME ⋅EF =x (7-2x ) =- x -⎪+． ……………………8分

33⎝4⎭6

2

77

时，ME ＝＜4，∴四边形MEFN 面积的最大值为49．……………9分 436

（3）能． ……………………………………………………………………10分

4

由（2）可知，设AE ＝x ，则EF ＝7－2x ，ME ＝x ．

3

若四边形MEFN 为正方形，则ME ＝EF ．

4x 21

即 =7－2x ．解，得 x =． ……………………………………………11分

310

2114

∴ EF ＝7-2x =7-2⨯=＜4．

105

当x ＝

∴ 四边形MEFN 能为正方形，其面积为S 正方形MEFN

⎛14⎫196

． = ⎪=

525⎝⎭

2

8解：（1）由题意可知，m (m +1)=(m +3)(m -1)．

解，得 m ＝3． ………………………………3分

∴ A （3，4），B （6，2）；

∴ k ＝4×3=12． ……………………………4分

（2）存在两种情况，如图：

①当M 点在x 轴的正半轴上，N 点在y 轴的正半轴 上时，设M 1点坐标为（x 1，0），N 1点坐标为（0，y 1）．

∵ 四边形AN 1M 1B 为平行四边形，

∴ 线段N 1M 1可看作由线段AB 向左平移3个单位， 再向下平移2个单位得到的（也可看作向下平移2

由（1）知A 点坐标为（3，4），B 点坐标为（6，2），

∴ N 1点坐标为（0，4－2），即N 1（0，2）； ………………………………5分 M 1点坐标为（6－3，0），即M 1（3，0）． ………………………………6分

2

设直线M 1N 1的函数表达式为y =k 1x +2，把x ＝3，y ＝0代入，解得k 1=-．

3

2

∴ 直线M 1N 1的函数表达式为y =-x +2． ……………………………………8分

3

②当M 点在x 轴的负半轴上，N 点在y 轴的负半轴上时，设M 2点坐标为（x 2，0），N 2点坐标为（0，y 2）．

∵ AB ∥N 1M 1，AB ∥M 2N 2，AB ＝N 1M 1，AB ＝M 2N 2， ∴ N 1M 1∥M 2N 2，N 1M 1＝M 2N 2．

∴ 线段M 2N 2与线段N 1M 1关于原点O 成中心对称．

∴ M 2点坐标为（-3，0），N 2点坐标为（0，-2）． ………………………9分

2

设直线M 2N 2的函数表达式为y =k 2x -2，把x ＝-3，y ＝0代入，解得k 2=-，

3

2

∴ 直线M 2N 2的函数表达式为y =-x -2．

3

22

所以，直线MN 的函数表达式为y =-x +2或y =-x -2． ………………11分

33

（3）选做题：（9，2），（4，5）． ………………………………………………2分 9解：（1） 直线y =x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ．

∴A (-1，0) ，C (0················································································· 1分 ·

点A ，C 都在抛物线上，

⎧⎧0=a ++c a =⎪⎪∴⎨

∴⎨ ⎪=c ⎪c =⎩⎩

∴

抛物线的解析式为y =

2····················································· 3分 x -x ·

33

⎛1，- ······················································································· 4分 ∴

顶点F 3⎭⎝

（2）存在 ····································································································· 5分

·································································································· 7分

P ·1(0

··································································································· 9分 P 2(2

（3）存在 ··································································································· 10分

理由： 解法一：

延长BC 到点B "，使B "C =BC ，连接B "F 交直线AC 于点M ，则点M 就是所求的点． ·············································································· 11分 过点B "作B "H ⊥AB 于点H ．

B 点在抛物线y =

20) x x ∴B (3，

x

在Rt △

BOC 中，tan ∠OBC =，

3∴∠OBC =30

，BC =

在Rt △

BB "H 中，B "H =

1

BB "=

2

············································ 12分 BH ="H =6，∴OH =

3，∴B "(-3，- ·设直线B "F 的解析式为y =kx +

b

⎧⎧-=-3k +b k =⎪⎪⎪∴⎨

解得⎨

=k +b ⎪⎪b =⎩⎪⎩

∴y =

x ······················································································ 13分

3⎧⎧y =-x =⎪⎛37⎪⎪

∴⎨∴M ，

解得

⎨ 7x ⎝⎪y =⎪y =⎩⎪⎩

⎭

⎛3M ······ 14分 ∴在直线AC 上存在点，使得△

MBF 的周长最小，此时M 7，． ·⎝⎭

解法二：

过点F 作AC 的垂线交y 轴于点H ，则点H 为点F 关于直线AC 的对称点．连接BH 交

AC 于点M ，则点M 即为所求． ································ 11分

过点F 作FG ⊥y 轴于点G ，则OB ∥FG ，BC ∥FH ．

∴∠BOC =∠FGH =90 ，∠BCO =∠FHG ∴∠HFG =∠CBO

0) ． 同方法一可求得B (3，

在Rt △

BOC 中，tan ∠OBC =

x

，∴∠OBC =30，可求得GH =GC = ∴GF 为线段CH 的垂直平分线，可证得△CFH 为等边三角形，

∴AC 垂直平分FH ．

⎛即点H 为点F 关于AC

的对称点．∴H 0，·········································· 12分

·⎝⎭

设直线BH 的解析式为y =kx +b ，由题意得

⎧

k =⎧0=3k +b ⎪⎪⎪

解得⎨⎨

b =⎪b =⎪⎩⎪⎩

∴y =

······················································································ 13分

3⎧x =⎧⎪-⎛37⎪⎪y =

-

解得⎨

∴M ， ∴⎨ 7⎝⎭⎪y =-⎪y =⎩⎪7⎩

⎛3-． 1

∴在直线AC 上存在点M ，使得△

MBF 的周长最小，此时M 7，7⎭⎝

10解：（1）点E 在y 轴上 ··············································································· 1分 理由如下：

连接AO ，如图所示，在Rt △ABO 中，

AB =1，BO ，∴AO =2

∴sin ∠AOB =

1

，∴∠AOB =30 2

由题意可知：∠AOE =60

∴∠BOE =∠AOB +∠AOE =30 +60 =90

································································ 3分 点B 在x 轴上，∴点E 在y 轴上． ·（2）过点D 作DM ⊥x 轴于点M

OD =1，∠DOM =30

∴在Rt △DOM 中，DM =

点D 在第一象限，

1，OM =21⎫ ················································································ 5分 ∴点D

的坐标为⎪⎪2⎭⎝

由（1）知EO =AO =2，点E 在y 轴的正半轴上

2) ∴点E 的坐标为(0，

················································································· 6分 ∴点A

的坐标为( ·

抛物线y =ax 2+bx +c 经过点E ，

∴c =2

1⎫2

由题意，将A (代入y =ax +bx +2中得

，D ⎪2⎪⎝⎭

8⎧⎧3a -+2=1a =-⎪9⎪⎪

解得 ⎨3⎨1

+2=⎪a +⎪b =⎩42⎪⎩

8x +2 ·················································· 9分 ∴

所求抛物线表达式为：y =-x 2-

99

（3）存在符合条件的点P ，点Q ． ································································· 10分

理由如下： 矩形ABOC

的面积=AB BO =∴以O ，B ，P ，

Q 为顶点的平行四边形面积为

由题意可知OB 为此平行四边形一边，

又 OB

∴OB 边上的高为2 ······················································································· 11分

2) 依题意设点P 的坐标为(m ，

8x +2上

点P

在抛物线y =-x 2-

998∴-m 2-+2=2

99

解得，m 1=

0，m 2= ⎛⎫P 2⎪∴P 2) ，2 1(0，

⎪ ⎝⎭

以O ，B ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，

∴PQ ∥

OB ，PQ =OB =， 2) 时， ∴当点P 1的坐标为(0，

点Q

的坐标分别为Q 1(

2) ，Q 2；

⎛⎫

2⎪当点P

2的坐标为 ⎪时，

⎝⎭

点Q

的坐标分别为Q 3 -

⎛⎫⎛⎫

2Q 2⎪，． ··········································· 14分 ⎪4 ⎪ ⎪8⎝⎭⎝8⎭32

x +3中，令y =0 4

（以上答案仅供参考，如有其它做法，可参照给分） 11解：（1）在y =-

3

∴-x 2+3=0

4

∴x 1=2，x 2=-2

∴A (-2，0) ，B (2，0) ·············································· 1

又 点B 在y =-

3

x +b 上 4

3

∴0=-+b

23b =

2

33

∴BC 的解析式为y =-x + ········································································ 2分

42

32⎧

y =-x +3⎧x 1=-1⎪⎪⎪4

（2）由⎨，得⎨9

33y 1=⎪y =-x +⎪⎩4⎪⎩42

⎧x 2=2

·················································· 4分 ⎨

⎩y 2=0

9⎫⎛

0) ∴C -1⎪，B (2，

4⎭⎝

9

······················································································· 5分 4

199

∴S △ABC =⨯4⨯= ·················································································· 6分

242

（3）过点N 作NP ⊥MB 于点P EO ⊥MB ∴NP ∥EO

∴△BNP ∽△BEO ······················································································· 7分 BN NP ∴= ································································································· 8分 BE EO ∴AB =4，CD =

由直线y =-

33⎛3⎫x +可得：E 0⎪ 42⎝2⎭

35

，则BE = 22

∴在△BEO 中，BO =2，EO =∴

62t NP

，∴NP =t ················································································ 9分 =

52216

∴S =t (4-t )

25312

S =-t 2+t (0

55312S =-(t -2) 2+ ····················································································· 11分

55

12

此抛物线开口向下，∴当t =2时，S 最大=

5

12

∴当点M 运动2秒时，△MNB 的面积达到最大，最大为．

5

12解：

(1)m=-5,n=-3 (2)y=

4

x+2 3

(3)是定值.

因为点D 为∠ACB 的平分线，所以可设点D 到边AC,BC 的距离均为h ， 设△ABC AB边上的高为H, 则利用面积法可得：

CM ⋅h CN ⋅h MN ⋅2+2=H

2

（CM+CN）h=MN﹒H

CM +CN H =MN

h

又 H=CM ⋅CN MN

化简可得 (CM+CN)﹒MN 1

CM ⋅CN =h

故 11CM +CN =1h

13解：（ 1）由已知得：⎧⎨c =3

1-b +c =0

解得

⎩-c=3,b=2

∴抛物线的线的解析式为y =-x 2

+2x +3 (2)由顶点坐标公式得顶点坐标为（1，4）

所以对称轴为x=1,A,E关于x=1对称，所以E(3,0) 设对称轴与x 轴的交点为F

所以四边形ABDE 的面积=S ∆ABO +S 梯形BOFD +S ∆DFE

=

12AO ⋅BO +12(BO +DF ) ⋅OF +1

2EF ⋅DF =12⨯1⨯3+12(3+4) ⨯1+1

2

⨯2⨯4 =9

（3）相似

如图，

==

=

222

所以BD +BE =20, DE =20即： BD +BE =DE , 所以∆BDE 是直角三角形

222

所以∠AOB =∠DBE =90︒,

且所以∆AOB ∆DBE .

AO BO , ==

BD BE 14解（Ⅰ）当a =b =1，c =-1时，抛物线为y =3x 2+2x -1， 方程3x 2+2x -1=0的两个根为x 1=-1，x 2=

1

． 3

∴该抛物线与x 轴公共点的坐标是(-1········································ 2分 0⎪． ·，0)和 ，（Ⅱ）当a =b =1时，抛物线为y =3x 2+2x +c ，且与x 轴有公共点．

⎛1

⎝3⎫⎭

1

对于方程3x 2+2x +c =0，判别式∆=4-12c ≥0，有c ≤． ·································· 3分

3①当c =

111时，由方程3x 2+2x +=0，解得x 1=x 2=-． 333

此时抛物线为y =3x 2+2x +

⎛1⎫1

与x 轴只有一个公共点 -，··························· 4分 0⎪． ·33⎝⎭

②当c

1

时， 3

x 1=-1时，y 1=3-2+c =1+c ， x 2=1时，y 2=3+2+c =5+c ．

1

由已知-1

3应有⎨

⎧y 1≤0，⎧1+c ≤0，

即⎨

5+c >0. ⎩⎩y 2>0.

解得-5

1

综上，c =或-5

3（Ⅲ）对于二次函数y =3ax 2+2bx +c ，

由已知x 1=0时，y 1=c >0；x 2=1时，y 2=3a +2b +c >0， 又a +b +c =0，∴3a +2b +c =(a +b +c ) +2a +b =2a +b ． 于是2a +b >0．而b =-a -c ，∴2a -a -c >0，即a -c >0．

∴a >c >0． ···························································································· 7分

∵关于x 的一元二次方程3ax 2+2bx +c =0的判别式

∆=4b 2-12ac =4(a +c ) 2-12ac =4[(a -c ) 2+ac ]>0，

∴抛物线y =3ax 2+2bx +c 与x 轴有两个公共点，顶点在x 轴下方． ························· 8分 又该抛物线的对称轴x =-

b

， 3a

由a +b +c =0，c >0，2a +b >0， 得-2a

1b 2

又由已知x 1=0时，y 1>0；x 2=1时，y 2>0，观察图象，

可知在0

15 解：（1）由题意：BP ＝tcm ，AQ ＝2tcm ，则CQ ＝(4－2t)cm ， ∵∠C ＝90°，AC ＝4cm ，BC ＝3cm ，∴AB ＝5cm ∴AP ＝（5－t ）cm ，

∵PQ ∥BC ，∴△APQ ∽△ABC ，

∴AP ∶AB ＝AQ ∶AC ，即（5－t ）∶5＝2t ∶4，解得：t ＝∴当t 为

10 7

10

秒时，PQ ∥BC 7

………………2分

（2）过点Q 作QD ⊥AB 于点D ，则易证△AQD ∽△ABC ∴AQ ∶QD ＝AB ∶BC

∴2t ∶DQ ＝5∶3，∴DQ ＝t

65

116×AP ×QD ＝（5－t ）×t 225

32

∴y 与t 之间的函数关系式为：y ＝3t -t

5

∴△APQ 的面积：

………………5分

（3）由题意：

当面积被平分时有：3t -t ＝

35

2

11××3×4，解得：t

22 当周长被平分时：（5－t ）＋2t ＝t ＋（4－2t ）＋3，解得：t ＝1

∴不存在这样t 的值

………………8分

（4）过点P 作PE ⊥BC 于E

1

QC 时，△PQC 为等腰三角形，此时△QCP ′为菱形 2

4

∵△PAE ∽△ABC ，∴PE ∶PB ＝AC ∶AB ，∴PE ∶t ＝4∶5，解得：PE ＝t

5

410

∵QC ＝4－2t ，∴2×t ＝4－2t, 解得：t ＝

59

10

∴当t ＝时，四边形PQP ′C 为菱形

9827

此时，PE ＝，BE ＝，∴CE ＝

933

易证：△PAE ∽△ABC ，当PE ＝

………………10分

在Rt △CPE 中，根据勾股定理可知：PC

………………12分

16 解：（1）∵D （－8，0），∴B 点的横坐标为－8，代入y =

1

x 中，得y ＝－2. 4

∴B 点坐标为（－8，－2）. 而A 、B 两点关于原点对称，∴A （8，2） 从而k ＝8×2＝16

（2）∵N （0，－n ），B 是CD 的中点，A ，B ，M ，E 四点均在双曲线上, ∴mn ＝k ，B （－2m ，－

n

），C （－2m ，－n ），E （－m ，－n ） 2

1111

S 矩形DCNO ＝2mn ＝2k ，S △DBO ＝mn ＝k ，S △OEN ＝mn ＝k.

2222

∴S 矩形OBCE ＝S 矩形DCNO ―S △DBO ―S △OEN ＝k. ∴k ＝4. 由直线y =

14

x 及双曲线y =，得A （4，1），B （－4，－1） 4x

∴C （－4，－2），M （2，2）

设直线CM 的解析式是y =ax +b ，由C 、M 两点在这条直线上，得

⎧-4a +b =-22，解得a ＝b ＝ ⎨

3⎩2a +b =2

∴直线CM 的解析式是y ＝

22x ＋. 33

（3）如图，分别作AA 1⊥x 轴，MM 1⊥x 轴，垂足分别为A 1，M

设A 点的横坐标为a ，则B 点的横坐标为－a. 于是p =

MA A 1M 1a -m

， ==

MP M 1O m

同理q =

MB m +a

= MQ m a -m m +a

－＝－2 m m

∴p －q ＝