极限如何转化为定积分 [积分与极限]

积分与极限。

说明：我们常常需要考虑闭区间[a , b ]上函数列f n (x ) 积分后的极限问题，即求

当极限lim f n (x ) =f (x ) 对每个x ∈[a , b ]都存在，且函数f (x ) 在[a , b ]lim ⎰f n (x ) dx 。n →+∞b n →+∞a

上可积，我们自然期待lim n →+∞a ⎰b f n (x ) dx =⎰lim f n (x ) dx 。 a n →+∞b []

实事上这个等式在许多情形下是正确的。 等式成立的一个充分条件涉及函数的一致收敛性。但的确存在等式不成立的情形。也就是说，存在闭区间[a , b ]上连续函数列f n (x ) ，使得lim n →+∞a ⎰b f n (x ) dx ≠⎰lim f n (x ) dx 。这表明对于函数列f n (x ) 作积分运算和极限运算a n →+∞b []

的先后次序不同，所得的结果可能不同。

以下我们考虑极限lim

题1. 设函数f (x ) 在区间[0, 1]上连续。证明lim (n +1) x f (x ) dx =f (1) . n →+∞0n →+∞a ⎰b f n (x ) dx 的两个例子。 1⎰n

证明：注意我们可以将f (1) 表示为 f (1) =(n +1) x f (1) dx 。于是我们要证 0⎰1n

n →+∞lim (n +1) ⎰x n [f (x ) -f (1) ]dx =0。 01

根据函数f (x ) 的连续性可知，f (x ) 有界，及存在正数M >0，使得|f (x ) |≤M ， ∀x ∈[0, 1]。再根据函数f (x ) 在点x =1处的左连续性可知，对于∀ε>0，∃δ>0，使得 |f (x ) -f (1) |

(n +1) ⎰x [f (x ) -f (1) ]dx ≤(n +1) ⎰x n f (x ) -f (1) dx n

0011

≤(n +1) ⎰1-δ

0x n f (x ) -f (1) dx +(n +1) ⎰

1-δ1

01-δ11-δx n f (x ) -f (1) dx ≤2M (n +1) ⎰x n dx +(n +1) ⎰x n f (x ) -f (1) dx

≤2M (1-δ) n +1+ε1-(1-δ) n +1≤2M (1-δ) n +1+ε

由lim (1-δ) n →+∞n +1[]=0可知，对于上述ε>0，存在N >0，使得当n ≥N 时，

2M (1-δ) n +10，存在N >0，使得当n ≥N 时， (n +1) ⎰x [f (x ) -f (1) ]dx

0n →+∞011

注：类似可证，若f 连续，则lim h πf (0) f (x ) dx =。 h →0⎰0h 2+x 221

题2. （课本习题5.2第7题，p.141）证明 x n dx =0. (i).lim ⎰n →+∞01+x 1

(ii). lim dx =1. n →+∞⎰01+x n 1

(iii). lim n →+∞0⎰sin 1n xdx =0.

1x n dx 证明：（i ）对积分⎰，利用积分中值定理得 01+x

x n dx 11n 1=x dx ≤→0，这里ξn ∈[0, 1]。 ⎰01+x 1+ξn ⎰0n +11

由此立刻可知极限(i)成立。

注意：由于函数x n 和

11于区间[0, 1]都是非负的。因此还有另一种可能性， 关于积分1+x n 1x dx 1dx x n dx n n =η=η利用积分中值定理。这就是 n n ⎰01+x ⎰01+x ⎰01+x ln 2，这里ηn ∈[0, 1]。 由于ηn ∈[0, 1]的位置不确定，因此极限lim ηn 的存在性和极限值的确定有困难。 n →+∞

n 1x dx dx =1，当且仅当lim ⎰(ii)极限lim ⎰=0。 n →+∞01+x n n →+∞01+x n n 1

1x n dx 1n 由于⎰

(iii). 要证极限（iii ），即要证对于∀ε>0，存在N >0，使得

(0

n ∀ε>0，存在N >0，使得 由于sin (-ε) →0，当n →+∞时。因此对

sin n (π-ε)

⎰sin 01n xdx =⎰

n π

2π-ε0sin xdx +πsin n xdx

π-ε0sin (-ε) dx +π1dx