几类常差分方程的解法及其在信号处理中的应用:求差分方程的通解步骤

　　摘 要： 求解常差分方程是信号处理领域中的重要方法和手段。探讨了解线性常系数齐次和非齐次差分方程的特征值法和z 变换法，并对此类方程在信号分析和处理中的应用作简单介绍。
　　关键词： 常差分方程；解法；信号处理；应用
　　0 引言
　　差分方程是含有未知函数及其导数的方程，满足该方程的函数称为差分方程的解，该解由通解与特解两部分组成。常差分方程就是系数为常数的差分方程。常差分方程广泛应用于信号处理、数理统计、电路分析、动力系统、经济、生物等众多领域。本文将在介绍相关概念和特征值解法的基础上对特征方程在信号分析和处理中的应用作了简单介绍。
　　1 一类齐次线性常系数差分方程
　　根据相关资料的介绍，给出了n阶常系数线性差分方程的一般表达形式
　　其中 为常数。
　　当形如式子（2）的差分方程，称为n阶常系数齐次线性差分方程。
　　
　　定理1：设函数 是符合方程（1）的特解， （t）就是方程（1）所对应的齐次方程（2）的通解，则方程（1）的通解为
　　定理2：假设y（t）满足方程（1），若记，则
　　2 常系数非齐次线性差分方程的特征值解法
　　求解非齐次常系数差分方程在信号处理过程中经常遇到，但对非齐次常系数差分方程的求解却十分困难，可以算是信号处理中的一个难点。本文提供了一个可直接定出此类方程特解的公式，以此简化特解的计算。线性常系数非齐次差分方程的表达式如方程（1）。
　　根据定理1可以知道，要求出非齐次线性常系数方程（1）的通解，就得求出方程（1）的一个特解 ，本文接下来将对式（1）中的非齐次项 进行探讨，在以下情形中求解出方程（1）的通解。当 （其中 为n次项多项式）
　　由定理2可以得出
　　其中多项式因子 给出了（1）式对应齐次方程（2）的通解y=（TX）（t），而式 则将（1）式的一个特解 求出来。因此，如上所述就可得出以下结论：
　　当x（t）=Pn（t）时，假如方程（1）的一个特解为
　　那么，其对应的齐次方程（2）式的通解为y（TX）（t），则可以将（1）式的通解表达出来，通解表达式如下所示：
　　若 =1是式（2）的特征方程的k重根，则可设
　　（3）
　　其中待定系数 可通过将 代入（1）式求得。
　　3 线性常系数差分方程在信号处理中的应用
　　在信号处理使用领域，首先需要考虑的问题是如何描述离散时间的系统特性，差分方程由于其无可比拟的优越性在这个领域中得到了广泛的应用，成为研究处理信号领域问题的一种重要的方法和手段。
　　设系统初始状态为零，输出端对输入为单位抽样序列的响应，称为系统的单位抽样响应h（n）。对h（n）进行傅立叶变换后的函数，一般称为为系统的传输函数，它表示系统的频率
　　一般称H（z）为系统的系统函数，它表征了系统的复频域特性。
　　例：设系统的差分方程为
　　求此系统的系统函数，分别求出它的负幂形式、正幂形式和零极增益形式。
　　解对两边做 变换，得到
　　故其系统函数的零极增益形式为
　　根据上述的传输函数，画出零极点图，如图1所示：
　　
　　根据图1可以很容易地确定零极点位置对系统特性的影响。当零点转到极点附近时，极点矢量长度最短因而幅度特性可能出现峰值，且极点愈靠近单位圆，极点矢量长度愈短，峰值愈高愈尖锐。如果极点在单位圆上，则幅度特性为 ，系统不稳定。对于零点，情况相反，当B点转到零点附近，零点矢量长度变短，幅度特性将出现谷值，零点愈靠近单位圆，谷值愈接近零。当零点处在单位圆上时，谷值为零。总结以上结论：极点位置主要影响频响的峰值位置及尖锐程度，零点位置主要影响频响的谷点位置及形状。
　　由上述的例子可看出，一个LT1系统在z域中可以用零极点图的形式来描述。在实际应用中，需要设计一个简单的滤波器时，只要正确地配置零极点就可达到一定的设计要求。
　　4 结论
　　常系数非齐次线性差分方程（1），当非齐次项x（t）为指数函数或者其它函数时的解法还有待进一步的研究和归纳；同时，常系数差分方程不仅仅在在信号处理领域中得到了广泛地应用，在其他领域内的应用也有待挖掘和拓展。本文主要研究分析了常差分方程的解法与其在信号处理中的应用，以期数学学科的发展与相关专业学科的发展作有机的结合，将理论知识应用到实际应用中，达到互相促进、共同发展的目标。
　　参考文献：
　　[1]陈怀琛，数字信号处理教程MATLAB释义与实现[M].北京：电子工业出版社，2009.
　　[2]张延华、姚林泉、郭伟，数字信号处理基础与应用[M].北京：机械工业出版社，2010.
　　[3]蒲俊、吉家锋、伊良忠，MATLAB6.0数学手册[M].上海：浦东电子出版社，2002.