影响和制约守法的条件_隐含角的制约条件错解剖析
解某些三角问题时，如果只凭明显的几个条件去确定有关角的范围，就很容易造成解题错误，究其原因，是忽视了题设或变形中的隐含条件对这些角的范围的进一步制约．现举例剖析如下，供同学们参考.
一、 忽视三角函数值对角的制约
三角求值或求角的大小时，不仅要注意有关角的范围，还要结合有关角的三角函数值把角的范围尽可能地缩小，不然容易出错．
例1 已知α、β为锐角，cosα=■，sin（α+β）=■，求β.
错解 由α、β为锐角，知0<α+β<π，
所以cos（α+β）=±■.
又cosβ=cos［（α+β）-α］=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=■或■.
故β=arccos■或β=■.
解析 在上面的解法中，未能就题设条件进一步缩小α+β的范围，引起增解.
因为sin（α+β）=■<■，且0<α+β<π，
所以0<α+β<■或■<α+β<π.
又cosα=■<■，得■<α<■，从而 ■<α+β<π，
所以cos（α+β）=-■.
故cosβ=■，即β=■.
二、 忽视边角关系对角的制约
解与三角形有关的三角问题时，必须注意三角形中的边角等量关系、边角的不等关系及内角和关系等对角的范围的制约，以免产生增解．
例2 A、B、C为△ABC的内角，且cosA=■，sinB=■，求cosC的值.
错解 由cosA=■，得A∈（0，■），则sinA=■.
又sinB=■，且B∈（0，π），
所以cosB=±■.
故cosC=-cos（A+B）=-cosAcosB+sinAsinB=-■或■.
解析 由于sinB=■，sinA=■，则sinB
故cosB=■，cosC=-■.
三、 变式对角的范围的制约
在三角变形过程中，有时要利用变形后的式子来进一步缩小角的范围，这样才能得出正确的结果.
例3 已知0≤α<β<γ<2π，且sinα+sinβ+sinγ=0，cosα+cosβ+cosγ=0，求β-α.
错解 由已知得
sinα+sinβ=-sinγ， （1）cosα+cosβ=-cosγ. （2）
（1）2+（2）2得2+2（sinαsinβ+cosαcosβ）=1，
则cos（β-α）=-■.
由0≤α<β<γ<2π，知0<β-α<2π，
所以β-α=■或β-α=■.
解析 上面的错解没有考虑变形式子中隐含的条件，事实上，同理可得
cos（γ-α）=-■，0<γ-α<2π，
所以γ-α=■或γ-α=■.
由于β<γ，得β-α<γ-α，
所以β-α取较小值，γ-α取较大值，
即β-α=■，γ-α=■.
四、 函数定义域对角的范围的制约
有些三角函数的定义域，因其相对隐蔽，解题时往往被忽略考虑，造成错解.
例4 求函数f（x）=■的递增区间.
错解 设t=sinx+cosx，则sinxcosx=■，于是
f（x）=■=■=■=■sin（x+■）-■.
由2kπ-■≤x+■≤2kπ+■，
解得函数f（x）递增区间为
［2kπ-■，2kπ+■］ （k∈Z）.
解析 上述解法忽略了函数的定义域． 因为题目中分母不能为零，则
1+sinx+cosx≠0?圯■sin（x+■）≠-1?圯x≠2kπ-■且x≠2kπ-π.
故函数f（x）递增区间为
［2kπ-■，2kπ-■）∪（2kπ-■，2kπ+■］ （k∈Z）.
从上述各例中我们可以看到忽视了隐含条件对角范围的制约，可导致各种错解. 因此在解题过程中，同学们要认真审题周密思考，善于捕捉题目中的“蛛丝马迹”，不断增强洞察隐含条件的能力，从而提高解题的正确率.
（编辑 孙世奇）