数学模型方法在排列组合中的应用_数学模型方法及应用

　　摘 要： 排列组合是中学数学的重要组成部分，有着广泛的应用性，它具有理论性强，对逻辑思维要求高，思想方法独特灵活等特点.通过构造排列组合实际问题模型解题，方法新颖、独特，可帮助学生多角度地思考问题，培养思维的深刻性、灵活性，激发学生的创造力，形成创新意识.本文分析了多种排列组合中的数学模型，帮助同学们更快更准确地解决排列组合问题.
　　关键词： 数学模型 排列组合 应用
　　排列组合是中学数学的重要组成部分，有着广泛的应用性，这一方面的问题解决已成为数学教育关注的一个热点.但由于它应用性强，具有题型多变，条件隐晦，思维抽象，分类复杂，问题交错，易出现重复和遗漏，以及不易发现错误等特征，所以学生在学习这部分内容时经常碰到不少困难.而数学模型方法（Mathematical modelling method简称MM方法）在处理一些排列组合问题中有着它独特的优势，可以克服传统方法中导致学生易犯错的情况，具有很高的应用价值.
　　所谓MM方法，就是将所考察的实际问题转化为一个具体数学问题，构造出相应的模型，通过对模型的研究和解答，问题得以解决的一种数学方法.其基本过程可用下面的框图来表示：
　　构造模型的关键是对实际问题进行抽象概括转化，抓住问题实质.本文结合具体例子，介绍几种排列组合问题中常见的数学模型.
　　一、不等式（方程）组模型
　　在解决某些排列组合问题时，我们可以先设定一些未知数，然后把它们当做已知数，根据题设本身各量间的制约，列出等式，解方程即可.
　　例1：一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种？
　　解：设取x个红球，y个白球，则x+y=52x+y≥7（0≤x≤4，0≤y≤6）
　　∴x=2y=3或x=3y=2或x=4y=1
　　符合题意的取法种数有CC+CC+CC=186种.
　　二、树形图模型
　　某些实际问题常没有提供数学运算的对象，不易求解.为使其转化为数学问题处理，可将问题中需要考察的某些对象或状态进行处理，通过建立模型去解决.画“树形图”、“框图”等手段就能使一些复杂的排列组合问题直观化，从而寻求解题途径，但此法由于结果的正确性难于检验，因此常常需要用不同的方法求解来获得检验.
　　例2：三人互相传球，由甲开始传球，并作为第一次传球，经过5次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方式共有（?摇?摇 ）.
　　（A）6种 （B）8种 （C）10种 （D）12种
　　解：该题较新颖，要在考试的较短时间内迅速获得答案，有一定的困难.但是我们如果能够结合题意，构造出一张传球的树形图，那么问题也就不会显得那么复杂了.
　　由上图可知甲开始传球，第一次传球给乙经过五次传递最后回到甲手中共有5种方法，同理如果甲第一次传球给丙的话也有五种，所以答案是C.
　　三、解析几何模型
　　利用数形结合的思想为排列组合问题构造解析几何模型，可以把代数问题转化为比较形象的几何问题，便于解答.
　　例3：设A={-8，-6，-4，-2，0，1，3，5，7，9}，从A中任取两个元素构成向量=（a，b），（a≠b且b≠0），则能组成模大于5的不同向量的个数为多少？
　　解：由题设知a≠b，b≠0；根据向量模的几何意义，结合补集思想，只需求出以原点为圆心，5为半径的圆上及圆内所包含的以A中元素为横纵坐标的点的个数，然后从A中所有元素组成的不同坐标对应的点中除去即可.
　　圆内及圆上的点有4×3+5=17个（不含x轴上的5个点），满足a≠b，b≠0的所有点有C?C=81个（不含x轴上的10个点），所以满足题设的点共有C?C-（4×3+5）=64个.
　　四、立体几何模型
　　在学习了立体几何与排列组合知识并对立体图形有充分的认识后，我们可以利用典型的空间模型与排列组合完美地结合起来，就能在处理相关方面的问题时带来许多方便.
　　例4：A、B、C、D为海上的四个小岛，要建三座桥，将这四个岛连接起来，不同的建桥方案共有多少种？
　　分析：在三棱锥A-BCD中，顶点A、B、C、D表示小岛A、B、C、D，棱（包括底边）表示桥.因同一平面上的三条棱不能将四个岛连接起来，因此，根据题意，不同的连桥方案有：C-4=16种.
　　五、多位数模型
　　很多“数数”问题的解决，如果能跳出题设所限定的“圈子”，根据题目的特征构思设计出一个等价转化的途径，就可以使问题的解决呈现出“柳暗花明”的格局.多位数模型就很好地为我们诠释了这样一个思想.
　　例5：同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有多少种？
　　分析：建立数学模型转化为数学问题：用1、2、3、4这4个数字组成没有重复的四位数，其中1不在个位，2不在十位，3不在百位，4不在千位的四位数共有多少个？那么问题就容易解决了.由于答案数字也不大，我们可以一一列举出9个满足题意的四位数，所以四张贺年卡不同的分配方式共有9种.
　　六、分球入盒模型
　　例6：在某个城市中M、N两点之间有整齐的道路网，如图所示，若各个小矩形的边都表示街道，从M到N处要使路程最近，则共有多少种走法？
　　分析：把上图2×4的方格看成一张地图，每个小矩形的边当成一步，则从M到N至少要走6步，其中必须向北走2步、向东走4步.我们看如下的模型：将所走的6步用6张卡片表示，若卡片上写“北”字则表示向北走，现将2张写有“北”字的卡片和4张写有“东”字的卡片分别放入6个小盒子中，每个盒子里放一张，每一种放法对应着一种走法.如这样一种放法：“东、东、东、北、北、东”则表示“从M处向东走3步，再向北走2步，然后向东走一步到N”.在这些卡片中只要把写有“北”字（或“东”字）的卡片放好，余下的盒子里每一个放一张“东”（或“北”）即可，放法有C=15种或C=15种（卡片上只要字同则认为无区别）.
　　由此推广：将上例中的2×4个方格推广到m×n个方格，这时从M到N的最短路程的走法是：C或C.
　　回顾上述几个例题的解答过程，我们可以看到一个共同的特点，就是利用一一对应关系将一种不易直接求得其数目的计数模式转化为另一种易于计算的模式，从而收到了简化问题的效果.数学模型方法就是这样一种处理数学理论问题的经典方法.