6 等比数列的综合与应用|等比数列的应用

精品题库试题

理数

1. (2014大纲全国,10,5分) 等比数列{an }中,a 4=2,a5=5,则数列{lg an }的前8项和等于( ) A.6B.5C.4D.3 [答案] 1.C

[解析] 1.由题意知a 1·a 8=a2·a 7=a3·a 6=a4·a 5=10,∴数列{lg an }的前8项和等于lg a1+lg a 2+…+lg a8=lg(a1·a 2·…·a8)=lg(a4·a 5) 4=4lg(a4·a 5)=4lg 10=4.故选C. 2. (2014重庆,2,5分) 对任意等比数列{an },下列说法一定正确的是( ) A.a 1,a 3,a 9成等比数列 B.a 2,a 3,a 6成等比数列 C.a 2,a 4,a 8成等比数列 D.a 3,a 6,a 9成等比数列 [答案] 2.D

[解析] 2.不妨设公比为q, 则又

=

q 6,a 2·a 8=

=q 4,a 1·a 9=

=

q 8,a 2·a 6=·q 6, 当q≠±1时, 知A 、B 均不正确;

q 10, 知D 正确.

q 8, 同理,C 不正确; 由q 10,a 3·a 9=

3. (2014山西忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校高三第三次联考，6) 等比数列

满足

，且

( )

，则当

时，

A.

[答案] 3. A

B .

C.

D.

[解析] 3. 根据等比数列的性质可得

，解得，当

n=1时，也适合上式，所以

，所以

.

4. (2014福州高中毕业班质量检测, 5) 已知等比数列则

( )

的前项积为若，

A. 512 B. 256 C. 81 D. 16 [答案] 4. A

[解析] 4. 因为数列是等比数列，，所以，

所以.

5. (2014河北唐山高三第一次模拟考试，6) 已知等比数列 的前项和为 ,

且

，，则（ ）

A.

B.

C.

D.

[答案] 5. C

[解析

] 5. ，，，，.

6. (2014黑龙江哈尔滨第三中学第一次高考模拟考试，9) 等比数列

，则

的值是（ ）

中，若

A.

B.

C.

D.

[答案] 6. B

[解析] 6. 依题意，，所以.

7.(2014湖北八市高三下学期3月联考，3) 等比数列{an }

的各项均为正数，且

，则log 3 a1+log3a 2+…+log3 al0=( )

A．12 B．10 C．8 D ．2+log3 5 [答案] 7. B

[解析] 7.由题意可知，又

得

，而

．

8.(2014周宁、政和一中第四次联考，10) 已知于任意实数满足

是定义在上的不恒为零的函数，且对

考察下列结论：①；②为偶函数；③数列为等比数列；④数列为等差

数列. 其中正确的结论是( )

A ．①②③ B ．②③④ C ．①②④ D ．①③④ [答案] 8. D [解析] 8. 令正确；

，则

；令

，则

，

，

，故①

，

故②不正确；

，，是上的奇函数，

，，由此类推，

（共个），

，数列为等比数列，故③正确，

由

故正确的有①③④.

，数列为等差数列，故④正确.

9. (2014周宁、政和一中第四次联考，6) 已知顶点是A. 3 B. 2 C. 1

D.

，则

等于（ ）

成等比数列，且曲线的

[答案] 9. B [解析

] 9.

.

，顶点坐标为

，

，又

成等比数列，

10. (2014吉林高中毕业班上学期期末复习检测, 4) 设为数列

，若

A. 512 B. 16 C. 64 D. 256

，则

（ ）

的前

项和，已知

[答案] 10. D

[解析] 10. 由等比数列，

，.

，则，，数列从第二项起是

11. (2014河南郑州高中毕业班第一次质量预测, 6) 已知各项不为0的等差数列

，数列

A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 [答案] 11. D

是等比数列，且

，则

等于（ ）

满足

[解析] 11.等差数列的各项不为0，且满足

，，

即，解得或（舍去），又，，又数列是等比数列，

.

12. (2014广东,13,5分) 若等比数列{an }的各项均为正数, 且a 10a 11+a9a 12=2e5, 则ln a1+ln a 2+…+ln a20=________. [答案] 12.50

[解析] 12.因为等比数列{an }中,a 10·a 11=a9·a 12, 所以由a 10a 11+a9a 12=2e5, 可解得a 10·a 11=e5.

所以ln a1+ln a2+…+ln a20=ln(a1·a 2·…·a20)=ln(a10·a 11) 10=10ln(a10·a 11)=10·ln e5=50. 13.(2014安徽,12,5分) 数列{an }是等差数列, 若a 1+1,a3+3,a5+5构成公比为q 的等比数列, 则q=________. [答案] 13.1

[解析] 13.设{an }的公差为d, 则a 3+3=a1+1+2d+2,a5+5=a1+1+4d+4,由题意可得(a3+3)2=(a1+1)(a5+5).

∴,(a1+1)+2(d+1)]2=(a1+1)[(a1+1)+4(d+1)],

∴(a1+1)2+4(d+1)(a1+1)+[2(d+1)]2=(a1+1)2+4(a1+1)(d+1), ∴d=-1,∴a3+3=a1+1,

∴公比q==1.

14.(2014江苏,7,5分) 在各项均为正数的等比数列{an }中, 若a 2=1,a8=a6+2a4, 则a 6的值是________. [答案] 14.4

[解析] 14.由a 8=a6+2a4, 两边都除以a 4, 得q 4=q2+2,即q 4-q 2-2=0⇔(q2-2)(q2+1)=0,∴q2=2. ∵a2=1,∴a6=a2q 4=1×22=4.

15.(2014天津,11,5分) 设{an }是首项为a 1, 公差为-1的等差数列,S n 为其前n 项和. 若S 1,S 2,S 4成等比数列, 则a 1的值为________.

[答案] 15.-

[解析] 15.S1=a1,S 2=2a1-1,S 4=4a1-6. 故(2a1-1) 2=a1×(4a1-6), 解得a 1=-.

16. （2014重庆一中高三下学期第一次月考，11）正项等比数列

……

[答案] 16. 12 [解析] 16.

中，

，则

.

17. (2014天津蓟县邦均中学高三第一次模拟考试，12) 设等比数列的公比q=2，前n

项和为S n ，则

[答案

] 17.

[解析

] 17. .

18. （2014广东汕头普通高考模拟考试试题，10）在等比数列

为等差数列，且[答案] 18.10

, 则数列

中，,

若

的前5项和等于___________.

[解析] 18. 由得(舍) 或。从而，所以.

19. (2014广东广州高三调研测试，9) 在等比数列[答案] 19.3

中，若，则_______.

[解析] 19. 由已知可得，所以，即.

成等差

20.(2014江苏苏北四市高三期末统考, 12) 设等比数列的前项和为，若数列，且，其中，则的值为． [答案] 20. 129 [解析] 20. 设数列

，

的首项为，公比为，由已知得

，解得

或

，

，

，

当时，与

矛盾，舍去，，

，解得，，

.

21. (2014重庆七校联盟, 12) 数列的前项和为，且，则的通项公式_____．

[答案

] 21.

[解析] 21. 由，当时，，即，

数列是首项为1，公比为2的等比数列，.

22.(2014广州高三调研测试, 9) 在等比数列[答案] 22. 3 [解析] 22.

数列

为等比数列，

中，若，则

，，，即.

23. (2014兰州高三第一次诊断考试, 16) 数列

，若

[答案

] 23.

，则

的首项为1，数列

为等比数列且

[解析] 23. 由，且，得，

，即，

，即

，

，，

数列为等比数列，

.

24.(2014浙江,19,14分) 已知数列{an }和{bn }满足a 1a 2a 3…an =(列, 且a 1=2,b3=6+b2. (Ⅰ) 求a n 与b n ;

(n∈N*). 若{an }为等比数

(Ⅱ) 设c n =(i)求S n ;

-(n∈N*). 记数列{cn }的前n 项和为S n .

(ii)求正整数k, 使得对任意n∈N*均有S k ≥Sn . [答案] 24.查看解析

[解析] 24.(Ⅰ) 由题意a 1a 2a 3…an =(,b 3-b 2=6,

知a 3=(=8.

又由a 1=2,得公比q=2(q=-2舍去), 所以数列{an }的通项为a n =2n (n∈N*),

所以,a 1a 2a 3…an ==() n(n+1).

故数列{bn }的通项为b n =n(n+1)(n∈N*).

(Ⅱ)(i)由(Ⅰ) 知c n =-=-(n∈N*),

所以S n =-(n∈N*).

(ii)因为c 1=0,c2>0,c3>0,c4>0;

当n≥5时,c n =,

而-=>0,

得≤

所以, 当n≥5时,c n

综上, 对任意n∈N*, 恒有S 4≥Sn , 故k=4.

25.(2014山东,19,12分) 已知等差数列{an }的公差为2, 前n 项和为S n , 且S 1,S 2,S 4成等比数列. (Ⅰ) 求数列{an }的通项公式;

(Ⅱ) 令b n =(-1)n-1[答案] 25.查看解析

, 求数列{bn }的前n 项和T n .

[解析] 25.(Ⅰ) 因为S 1=a1,S 2=2a1+×2=2a1+2,

S 4=4a1+×2=4a1+12,

由题意得(2a1+2)2=a1(4a1+12), 解得a 1=1, 所以a n =2n-1.

(Ⅱ)b n =(-1)n-1=(-1)n-1

=(-1)n-1

当n 为偶数时,

.

T n

=-+…+-

=1-

=.

当n 为奇数时,

T n

=-+…

-

+

+

+=1+=.

所以T n =

26.(2014天津,19,14分) 已知q 和n 均为给定的大于1的自然数. 设集合M=*0,1,2,…,q-1},集合A={x|x=x1+x2q+…+xn q n-1,x i ∈M,i=1,2,…,n+. (Ⅰ) 当q=2,n=3时, 用列举法表示集合A;

(Ⅱ) 设s,t∈A,s=a1+a2q+…+an q n-1,t=b1+b2q+…+bn q n-1, 其中a i ,b i ∈M,i=1,2,…,n.证明:若a n

[答案] 26.查看解析

[解析] 26.(Ⅰ) 当q=2,n=3时,M={0,1},A={x|x=x1+x2·2+x3·22,x i ∈M,i=1,2,3+.可得,A={0,1,2,3,4,5,6,7}.

(Ⅱ) 证明:由s,t∈A,s=a1+a2q+…+an q n-1,t=b1+b2q+…+bn q n-1,a i ,b i ∈M,i=1,2,…,n及a n

=所以s

-q n-1=-1

27.(2014课标全国卷Ⅱ,17,12分) 已知数列{an }满足a 1=1,an+1=3an +1.

(Ⅰ) 证明是等比数列, 并求{an }的通项公式;

(Ⅱ) 证明

++…+

[答案] 27.查看解析

[解析] 27.(Ⅰ) 由a n+1=3an +1得a n+1+=3.

又a 1+=, 所以是首项为, 公比为3的等比数列.

a n

+=, 因此{an }的通项公式为a n =.

(Ⅱ) 由(Ⅰ) 知

=.

因为当n≥1时,3n -1≥2×3n-1, 所以≤.

于是++…+≤1++…+=

所以++…+

28. (2014天津蓟县邦均中学高三第一次模拟考试，22) 已知数列｛

在直线

上，其中

.

｝中，,

点

（1）令，求证数列是等比数列;

（2）求数列的通项；

⑶ 设

分别为数列的前项和，是否存在实数. 若不存在, 则说明理由.

，使得数列为

等差数列？若存在，试求出[答案] 28.查看解析

[解析] 28.解：（I ）由已知得

又

是以为首项，以为公比的等比数列. 4分

（II ）由（I ）知，

将以上各式相加得：

8分

（III ）解法一：

存在，使数列是等差数列

.

数列是等差数列的充要条件是、是常数

即

又

当且仅当解法二：

，即时，数列为等差数列. 14分

存在，使数列是等差数列.

由（I ）、（II

）知，

又

当且仅当时，数列是等差数列. 14分

29. (2014重庆杨家坪中学高三下学期第一次月考，17) 已知等差数列是

与

的等比中项．

中，；

（Ⅰ）求数列的通项公式：

（Ⅱ）若．求数列的前项和

[答案] 29.查看解析

[解析] 29.（Ⅰ）因为数列是等差数列，是与的等比中项．所以，

又因为，设公差为，则，

所以，解得或，

当时

, ，；

当时，.

所以或. （6分)

（Ⅱ）因为，所以，所以，

所以，

所以

两式相减得，

所以. （13分）

30.(2014湖北黄冈高三4月模拟考试，18) 已知数列

，等差数列

中

，且公差

的前项和

.

，

，

（Ⅰ）求数列、的通项公式；

（Ⅱ）是否存在正整数，使得若不存在，说明理由. [答案] 30.查看解析

若存在，求出的最小值，

[解析] 30.（Ⅰ）时，相减得：

，又，，

数列是以1为首项，3为公比的等比数列，.

又，，. （6分）

（Ⅱ）

令………………①

…………………②

①－②得：

，，即，当，，当。

的最小正整数为4. （12分）

31. (2014山东实验中学高三第一次模拟考试，19)

已知点

的图象上一点，等比数列

的首项为，且前

项和

(Ⅰ) 求数列和的通项公式；

(Ⅱ) 若数列[答案] 31.查看解析

的前项和为，问的最小正整数是多少？

[解析] 31.解：(Ⅰ) 因为，所以，

所以，，

，

又数列是等比数列，所以，所以，

又 公比，所以，

因为，

又，所以，所以，

所以数列构成一个首项为1，公差为1的等差数列，，

所以，当时，，

所以. （6分）

(Ⅱ) 由(Ⅰ) 得

，（10分）

由得，满足的最小正整数为72. （12分）

32. （2014广东汕头普通高考模拟考试试题，20）设数列

，

.

的前项和为,

已知

(Ⅰ) 求的值；

(Ⅱ) 求数列的通项公式；

证明：对一切正整数，有[答案] 32.查看解析

.

[解析] 32.(Ⅰ) 依题意

, , 又, 所以；(3分)

(Ⅱ) 当时

,

,

两式相减得………(5分)

整理得, 即,

所以，(6分)

又因为且， 所以 ，

故数列是首项为, 公比为的等比数列,

所以, 所以.

(Ⅲ) 因为当时

,

，(10分)

①当时

, ；(考生易漏)

②当且为奇数时, 令(),

；

③当为偶数时, 令

(),

此时，

综上, 对一切正整数, 有. (14分)

33. (2014广东广州高三调研测试，19) 已知数列满足，，.

(Ⅰ) 求证：数列为等比数列；

(Ⅱ) 是否存在互不相等的正整数

，，，使，，成等差数列，且，

，

成等比数列？如果存在，求出所有符合条件的[答案] 33.查看解析

，，；如果不存在，请说明理由.

[解析] 33.解：(Ⅰ) 因为，所以.

所以.

因为，则.

(Ⅱ) 由(Ⅰ) 知，

假设存在互不相等的正整数

，所以

，，满足条件，

.

则有

由与，

得. （10分）

即.

因为，所以.

因为这与

，，互不相等矛盾.

，当且仅当时等号成立，

所以不存在互不相等的正整数，，满足条件. （14分）

34. (2014北京东城高三第二学期教学检测，20) 在数列且

成等差数列，

成等比数列（

，中，）.

，，

（Ⅰ）求论；

，，及，，，由此归纳出，的通项公式，并证明你的结

（Ⅱ）证明：[答案] 34.查看解析

.

[解析] 34.（Ⅰ）由条件得，

由此可得.

猜测

用数学归纳法证明：

. （4分）

①当时，由上可得结论成立.

②假设当时，结论成立，即，

那么当时，

.

所以当时，结论也成立.

由①②，可知对一切正整数都成立. （7分）

（Ⅱ）因为.

当时，由（Ⅰ）知.

所以

.

综上所述，原不等式成立. (12分）

35.(2014黑龙江哈尔滨第三中学第一次高考模拟考试，17) 数列

，等比数列

满足

.

满足

（Ⅰ）求数列，的通项公式；

（Ⅱ）设，求数列的前项和.

[答案] 35.查看解析

[解析] 35.（Ⅰ）由，所以数列是等差数列，又，

所以，

由，所以，，所以，即，

所以. （6分)

（Ⅱ）因为，所以，

则，

所以，

两式相减的，

所以. (12分）

36. （2014重庆铜梁中学高三1月月考试题，20）已知各项均为正数的数列

, 且

, 其中

.

满足

(Ⅰ) 求数列的通项公式；

(Ⅱ) 设数列满足，是否存在正整数

的值；若不存在，请说明理由.

，使得成

等比数列？若存在，求出所有的[答案] 36.查看解析

[解析] 36.(Ⅰ) 因为, 即，

又, 所以有, 即,

所以数列是公比为的等比数列.

由得, 解得.

从而，数列

的通项公式为. （6分）

(Ⅱ

) =，若成等比数列，则，

即．由，可得，

所以，解得：。又，且，

所以，此时．

故当且仅当，. 使得成等比数列. （12分）

37. （2014吉林实验中学高三年级第一次模拟，17）已知项

，前项和为

，数列

是等比数列，其中

是单调递增的等差数列，首

（1）求的通项公式；

（2）令

[答案] 37.查看解析

求的前20项和。

[解析] 37.

38. (2014广西桂林中学高三2月月考，20) 设数列的前项和为，对任意的正整数

，都有成立，记．

(Ⅰ) 求数列的通项公式；

(Ⅱ) 记，设数列的前项和为，求证：对任意正整数

都有

[答案] 38.查看解析

[解析] 38.(Ⅰ) 当时，，即，

又，，所以，即，

所以数列呈等比数列，其首项为，公比，

所以，. （6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

， （7分）

= ，（9分）

又

当

当

. （12分）

39. （2014湖北八校高三第二次联考数学（理）试题，18）已知数列的前项和是，

且．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ

）设

的正整数的值． [答案] 39.查看解析

，，求使成立的最小

[解析] 39. （1） 当分

时，，由， ……………………1

当

时，

∴是以为首项，为公比的等比数列． ……………………4分

故

…………………6分

（2）由（1）知，

………………8分

，

故使成立的最小的正整数的值. ………………12分

40. (2014重庆五区高三第一次学生调研抽测，20) 已知数列

.

的前项和为，且

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，，

求使

[答案] 40.查看解析

恒成立的实数的取值范围.

[解析] 40.解：（I ）由可得，………………………………………1分

∵， ∴，

∴，即， ……………………………………………3分

∴数列是以为首项，公比为的等比数列，∴. ………5分

（Ⅱ）…7分

∴ ………………………8分

由对任意恒成立，即实数恒成立；

设，，

∴当时，数列单调递减，时，数列单调递增；……………10分

又，∴数列最大项的值为

∴ ……………………………………………………………………12分

41.(2014吉林省长春市高中毕业班第二次调研测试，17) 已知

为锐角，且，

函数

，数列

的首项，.

（1）求函数的表达式；（2）求数列的前项和．

[答案] 41.查看解析

[解析] 41. （1）由，

是锐角，

（2），

,

（常数）

是首项为, 公比的等比数列

, ，

∴

42.(2014湖北武汉高三2月调研测试，18) 已知数列{an }满足a 1＞0，a n ＋1＝2－|an |，n∈N*． （Ⅰ）若a 1，a 2，a 3成等比数列，求a 1的值；

（Ⅱ）是否存在a 1，使数列{an }为等差数列？若存在，求出所有这样的a 1；若不存在，说明理由．

[答案] 42.查看解析

[解析] 42.解：（Ⅰ）∵a1＞0，∴a2＝2－|a1|＝2－a 1，a 3＝2－|a2|＝2－|2－a 1|．

当0＜a 1≤2时，a 3＝2－(2－a 1) ＝a 1，∴a＝(2－a 1) 2，解得a 1＝1．

当a 1＞2时，a 3＝2－(a1－2) ＝4－a 1，∴a1(4－a 1) ＝(2－a 1) 2，解得a 1＝2－或a 1＝2＋

．

（舍去）

综上可得a 1＝1或a 1＝2＋．……………………………………………………6分

（Ⅱ）假设这样的等差数列存在，则

由2a 2＝a 1＋a 3，得2(2－a 1) ＝a 1＋(2－|2－a 1|) ，即|2－a 1|＝3a 1－2． 当a 1＞2时，a 1－2＝3a 1－2，解得a 1＝0，与a 1＞2矛盾；

当0＜a 1≤2时，2－a 1＝3a 1－2，解得a 1＝1，从而a n ＝1（n∈N*），此时{an }是一个等差数列；

综上可知，当且仅当a 1＝1时，数列{an }为等差数列．………………………12分

43.(2014湖北八市高三下学期3月联考，18) 己知各项均不相等的等差数列{an }的前四项和S 4=14，且a 1，a 3，a 7成等比数列． （I ）求数列{an }的通项公式；

（II ）设T n 为数列最小值．

[答案] 43.查看解析

的前n 项和，若T n ≤¨对恒成立，求实数的

[解析] 43. （Ⅰ）设公差为d. 由已知得……………………………3分

解得，所以………………………………6分

（Ⅱ），

………………………………9分

对恒成立，即对恒成立

又

∴的最小值为……………………………………………………………12分

44. (2014湖南株洲高三教学质量检测（一），18) 已知数列且，，

成等差数列.

前项和为，首项为，

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（II ）数列满足[答案] 44.查看解析

，求证：，

[解析] 44. （Ⅰ）成等差数列, ∴，

，

当时，,

两式相减得： .

所以数列是首项为，公比为2的等比数列，. （6分）

(Ⅱ

) ， （8分）

，

. （12分）

45. (2014重庆七校联盟, 22) 设数列{an } 的前项和为，满足，

且，，成等差数列．

（Ⅰ）求，，的值；

（Ⅱ）求证：数列是等比数列

（Ⅲ）证明：对一切正整数，有[答案] 45.查看解析

．

[解析] 45. 解析 （Ⅰ）因为，，成等差数列，所以，

当时，，当时，，

解方程组得，，，． （3分）

（Ⅱ）由，得，

两式相减得，

．

，所以是首项为3，公比为3的等比数列．（7分）

（Ⅲ）由，又

，，

，即．

，

，

所以当时，，，，，

两边同时相乘得，

所以．（12分）

46. (2014天津七校高三联考, 19) 已知数列项和．

满足，其中为数列的前

(Ⅰ) 求的通项公式；

(Ⅱ) 若数列满足： () ，求的前项和公式.

[答案] 46.查看解析

[解析] 46. (Ⅰ) ∵，①

∴ ②

②－①得，，又时，，，

. （5分）

(Ⅱ) ∵，

，

，

两式相减得，

. （13分）

47. (2014天津七校高三联考, 15) 已知{}是一个公差大于0

的等差数列，且满足

（Ⅰ）求数列{}的通项公式；

（Ⅱ）若数列{}和等比数列{}满足等式：前项和. [答案] 47.查看解析

（为正整数）求数列{}的

[解析] 47. 解析 （Ⅰ）设等差数列的公差为，则依题设，

由，得 ①

由得 ② （3分）

由①得将其代入②得，

即，即，又，则代入①得，

. （8分）

（Ⅱ）由于数列，是等比数列，，，

，，

故数列的前项和为. （13分）

48. (2014成都高中毕业班第一次诊断性检测，17) 已知数列

.

的前项和为

，且

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设数列满足，求数列的前项和.

[答案] 48.查看解析

[解析] 48. 解析 （Ⅰ）当时，，，，

又当时，，. (6分）

（Ⅱ），

. （12分）

49. (2014江西七校高三上学期第一次联考, 20) 已知各项均为正数的数列

，且

，其中

.

满足

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设数列满足是否存在正整数、（数列？若存在，求出所有的、的值，若不存在，请说明理由. [答案] 49.查看解析

），使得成等比

[解析] 49.：（Ⅰ）因为，即

又，所以有，即，

所以数列是公比为的等比数列，

由得，解得.

从而，数列

的通项公式为. （6分）

（Ⅱ）=，若成等比数列，则，

即.

由，可得，

所以又

，且

，解得：，所以

，此时

.

.

故当且仅当，使得成等比数列. （13分）

50. (2014广州高三调研测试, 19) 已知数列{a n }满足，，.

（Ⅰ）求证：数列为等比数列；

（Ⅱ）是否存在互不相等的正整数，，，使，，成等差数列，且，，

成等比数列？如果存在，求出所有符合条件的，，；如果不存在，请说明理由. [答案] 50.查看解析

[解析] 50. 解析 （Ⅰ

）

，，，

又，则，数列数首项为，公比为的等比数列. （5分）

（Ⅱ）由（Ⅰ） 知数列的通项公式

，，

假设存在弧不相等的正整数、、满足条件，则，

由与，

，即

，

，

，

，当且仅当

这与，，互不相等矛盾.

时取等号. （12分）

所以不存在互不相等的正整数，，满足条件. （14分）

51. (2014湖北黄冈高三期末考试) 等比数列成等差数列.

的前项和，已知，，，

（1）求数列的公比和通项；

（2）若是递增数列，令，求.

[答案] 51.查看解析

[解析] 51.（1

）由已知条件得

或. (5分)

(2) 若是递增数列，则，

当时，；

当时，

(12分)

52. (2014北京东城高三12月教学质量调研) 定义：如果数列一个三角形的三边长，则称使得

的任意连续三项均能构成

，如果函数

）.

为“三角形” 数列. 对于“三角形” 数列

是数列

仍为一个“三角形” 数列，则称的“保三角形函数” （

（Ⅰ）已知是首项为2，公差为1的等差数列，若是数列的“保三角形函

数” ，求的取值范围；

（Ⅱ）已知数列明

的首项为2013，S n 是数列的前n 项和，且满足4，证

是“三角形” 数列；

（Ⅲ）若是（Ⅱ）中数列的“保三角形函数” ，问数列最多有多少项？

（解题中可用以下数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477，lg2013≈3.304）

[答案] 52.查看解析

[解析] 52.解：（Ⅰ）显然，对任意正整数都成立，即是三角形数列. 因为，显然有

是数列的保三角形函数. （3分）

（Ⅱ）由，得，， 两式相减得，所以，（5分） 经检验，此通项公式满足∴， 显然，

因为c n+1+cn+2=2013（）n +2013（）n+1=

所以{cn }是三角形数列. （8分） 2013（）n-1> cn ，

（Ⅲ）

所以{g（c n ）}单调递减. ，

由题意知，①且②，

由①得，解得n

由②得，解得n