分数指数幂 [2.1.1-2分数指数幂]
2. 1.1第二课时分数指数幂教案
【教学目标】
1. 通过与初中所学知识进行类比，理解分数指数幂的概念进而学习指数幂的性质. 2. 掌握分数指数幂和根式的互化，掌握分数指数幂的运算性质培养学生观察分析、抽象类比的能力
3. 能熟练地运用有理数指数幂运算性质进行化简、求值，培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力. 【教学重难点】 教学重点：
（1）分数指数幂概念的理解.
（2）掌握并运用分数指数幂的运算性质. （3）运用有理数指数幂性质进行化简求值.
教学难点：
（1）分数指数幂概念的理解
（2）有理数指数幂性质的灵活应用.
【教学过程】
1、导入新课
同学们，我们在初中学习了整数指数幂及其运算性质，那么整数指数幂是否可以推广呢？答案是肯定的. 这就是本节的主讲内容，教师板书本节课题—分数指数幂
2、新知探究 提出问题
（1） 整数指数幂的运算性质是什么？
（2） 观察以下式子，并总结出规律：a >0
==a 2
=a ；
10
==a 4
8=a ；
==a 3=a ；
12
==a 5
=a .
10
（3） 利用（2）的规律，你能表示下列式子吗？
(x >0, m , n ∈N *, 且n>1)
(4)你能用方根的意义来解释（3）的式子吗？（5）你能推广到一般情形吗？
活动：学生回顾初中学习的整数指数幂及运算性质，仔细观察，特别是每题的开始和最后两步的指数之间的关系，教师引导学生体会方根的意义，用方根的意义加以解释，指点启发学生类比（2）的规律表示，借鉴（2）（3），我们把具体推广到一般，对写正确的同学及时表扬，其他同学鼓励提示.
讨论结果：形式变了，本质没变，方根的结果和分数指数幂是相通的. 综上我们得到正数的正分数指数幂的意义，教师板书：
1
规定：正数的正分数指数幂的意义是a =
n m
a >0, m , n ∈N *, n >1) .
提出问题
（1） 负整数指数幂的意义是怎么规定的？ （2） 你能得出负分数指数幂的意义吗？
（3） 你认为应该怎样规定零的分数指数幂的意义？ （4） 综合上述，如何规定分数指数幂的意义？ （5） 分数指数幂的意义中，为什么规定a >0，去掉这个规定会产生什么样的后果？ （6） 既然指数的概念从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质
是否也适用于有理数指数幂呢？
活动：学生回顾初中学习的情形，结合自己的学习体会回答，根据零的整数指数幂的意义和负整数指数幂的意义来类比，把正分数指数幂的意义与负分数指数幂的意义融合起来，与整数指数幂的运算性质类比可得有理数指数幂的运算性质，教师在黑板上板书，学生合作交流，以具体的实例说明a >0的必要性，教师及时作出评价.
讨论结果：有了人为的规定后指数的概念就从整数推广到了有理数. 有理数指数幂的运算性质如下：
对任意的有理数r,s, 均有下面的运算性质： ①
a r ∙a s =a r +s (a >0, r , s ∈Q )
②
(a r ) s =a rs (a >0, r , s ∈Q )
③
(a ∙b ) r =a r b r (a >0, b >0, r ∈Q )
3、应用示例
16-3
例1 求值：(1)8;(2)25;(3)() 4
81
-
2312
点评：本题主要考察幂值运算，要按规定来解. 要转化为指数运算而不是转化为根式. 例2 用分数指数幂的形式表示下列各式.
a 3a 2a >0)
点评：利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质进行根式运算时，其顺序是先把根式化为分数指数幂，再由幂的运算性质来运算. 对结果不强求统一用什么形式但不能不伦不类.
变式训练
求值：（1
） （2
4、拓展提升
已知a +a =3, 探究下列各式的值的求法.
12
12
（1）a +a ;(2)a +a ;(3)
-12-2
a -a a -a
12
32
--
3212
2
点评:：对“条件求值”问题，一定要弄清已知与未知的联系，然后采取“整体代换”或“求值后代换”两种方法求值
5、课堂小结
（1） 分数指数幂的意义就是：正数的正分数指数幂的意义
是
a =a >0, m , ∈n *N , >n ，1正) 数的负分数指数幂的意义
是-n
m
n m
a =
1a
n m
=
a >0, m , n ∈N *, n >1), 零的正分数次幂等于零，零的负分数指
数幂没有意义.
（2） 规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数. （3） 有理数指数幂的运算性质：
①a r ∙a s =a r +s (a >0, r , s ∈Q ) ②(a r ) s =a rs (a >0, r , s ∈Q ) ③(a ∙b ) r =a r b r (a >0, b >0, r ∈Q ) 【板书设计】 一、分数指数幂 二、例题 例1 变式1 例2 变式2
【作业布置】课本习题2.1A 组 2、4.
2.1.1-2分数指数幂
课前预习学案
一． 预习目标
1. 通过自己预习进一步理解分数指数幂的概念 2. 能简单理解分数指数幂的性质及运算 二． 预习内容
１．正整数指数幂：一个非零实数的零次幂的意义是： ． 负整数指数幂的意义是： ．
２．分数指数幂：正数的正分数指数幂的意义是： ． 正数的负分数指数幂的意义是： ． ０的正分数指数幂的意义是：
０的负分数指数幂的意义是： ． ３．有理指数幂的运算性质：如果ａ＞０，ｂ＞０，ｒ，ｓ∈Ｑ，那么
a
r
⋅a ＝；
s
(a )
r
s
＝ ；
(ab )
r
＝ ．
４．根式的运算，可以先把根式化成分数指数幂，然后利用
3
的运算性质进行运算．
三． 提出疑惑
通过自己的预习你还有哪些疑惑请写在下面的横线上
课内探究学案
一． 学习目标
1. 理解分数指数幂的概念
2. 掌握有理数指数幂的运算性质，并能初步运用性质进行化简或求值 学习重点：
（1）分数指数幂概念的理解.
（2）掌握并运用分数指数幂的运算性质. （3）运用有理数指数幂性质进行化简求值.
学习难点：
（1）分数指数幂概念的理解
（2）有理数指数幂性质的灵活应用.
二． 学习过程 探究一
１．若a >0，且m , n 为整数，则下列各式中正确的是 （ ）
a ÷a =a B 、a a =a A 、
２．c ＜0，下列不等式中正确的是
m n
m
n
m n m n
C 、a
()
m n
=a m +n D 、1÷a n =a 0-n
（ ）
A ．c ≥2
c
c
1c
C ．2＜()
2
３．若(
1c
B ．c ＞()
2
1
D．2c ＞() c
2
-34
1-2x )
有意义，则ｘ的取值范围是（ ）
Ａ．ｘ∈Ｒ Ｂ．ｘ≠０．５ Ｃ．ｘ＞０．５ Ｄ．Ｘ＜０．５ 4．比较a=0.70.7、b=0.70.8、c=0.80.7三个数的大小关系是________． 探究二
例１：化简下列各式：（1
）
2
1
2
；
（２）
65a
13
b
-2
(-3a
12
b
-1
) ÷(4
2-3a 3b )
4
例２：求值：（１）已知
2+2
x -x
=a （常数）求8
x
+8
1
212
-x
的值；
1212
（２） 已知ｘ＋ｙ＝１２，ｘｙ＝９ｘ，且ｘ＜ｙ，求
x
++
y y
的值
3x 例３：已知
a
2x
=2+1，求+-3x a x
+a
-x
的值．
三． 当堂检测
１．下列各式中正确的是（ ）
Ａ．(-1) 0
=-1 Ｂ．(-1) -1
=-1 Ｃ．3a -2
=1
3a 2 44
2.
等于（ ）
A 、a 16
B 、a
8
C 、a 4 ３．下列互化中正确的是（ ） 1
1Ａ．-
x =(-x 2
(x ≠0) Ｂ．6
y
2
=
y
3
(y
5
5
Ｄ．(-x ) 2
(-x )
3
=
x D 、a 2
x Ｃ．()
y
-
34
=y (x , y ≠0) Ｄ．() x x
b
-b
3
13
=-x
４．若a >1, b
且a +a =则a b -a -b 的值等于（ ）
A 、５．使
B 、±2 C、-2 D、2
-34
(3-2x -x 2)
有意义的ｘ的取值范围是（ ）
Ａ．Ｒ Ｂ．x ≠1且x ≠3 Ｃ．－３＜Ｘ＜１ Ｄ．Ｘ＜－３或ｘ＞１
课后练习与提高 １．已知ａ＞０，ｂ＞０，且Ａ． Ｂ．９ Ｃ．２．
a
b
=b ，ｂ＝９ａ，则ａ等于（ ）
a
1
Ｄ．39 9
2
-2
x
-2
+x =22且ｘ＞１，则x -x 的值（ ）
2
Ａ．２或－２ Ｂ．－２ Ｃ．6 Ｄ．２
1
= ． 6
n 12
４．已知n ∈N +则[1-(-1) ](n -1) ＝ ．
8
３．2⨯. 5⨯12
11
-⎫1⎛2
５．已知a >0, x = a n -a n ⎪, 求x ++x ⎪2 ⎝⎭
()的值．
n
6