插板法处理相同元素分配问题:相同元素的分配问题

　　 [关键词] 插板法 处理 相同元素 分配 　　 　　例:8本相同的书分到编号为1、2、3的三个阅览室,按下列要求各有多少种分配方案? 　　①每个阅览室至少有一本书;
　　②每个阅览室分到的书不少于其编号数;
　　③每个阅览室分到的书不限。
　　分析:引入隔板模型,将书放成一排,插入2个隔板分成3部分依次分给1、2、3号阅览室。插法种数就是分配方案数。
　　相同元素的分配问题是排列、组合中常见的一种题型。处理此类问题一般有两种方法:一是按要求先分组,然后再分配;二是引入隔板模型,利用“插板法”。
　　一、先分组,再分配
　　解:①分组为(6、1、1),(5、2、1),(4、3、1),(4、2、2),(3、3、2)。
　　符合条件的分配方案有C13+C13C12+C13C12+C13+C23=21种。
　　②先将每个阅览室放入与其编号相同数的书,然后将剩下的2本书进行分组,再分配。分组为(2、0、0),(1、1、0)。
　　符合条件的分配方案有C13+C23=6种。
　　③分组为(8、0、0),(7、1、0),(6、2、0),(6、1、1),(5、3、0),
　　(5、2、1),(4、4、0),(4、3、1),(4、2、2),(3、3、2)。
　　符合条件的分配方案有C13+C13C12+C13C12+C13+C13C12+C13C12+C23+C13C12+C13+C23=45种。
　　二、插板法
　　解:①为保证三部分都有书,隔板只能向8本书中间的7个空插。共有C25=21种插法;
　　②方法一:为保证第一部分至少有1本书,第三部分至少有3本书,从第1本书后到倒数第三本书前共有5个空,有C25种插法,由于两隔板相邻的插法(中间部分只有1本书)不符合要求,有4种。满足条件的插法共有C25-4=6种。
　　方法二:中间部分给编号为1的阅览室,左、右两部分分别给编号为2、3的阅览室。左边第二本书后到右边倒数第三本书前共有4个空,有C24=6种插法。
　　方法三:先分别放入比阅览室编号小1的书(1号不放,2号放1本,3号放2本),然后再向剩下的5本书中间4个空插入2个隔板,C24=6种插法。
　　③方法一:从8本书的9个空插入2个隔板有C29种插法,但不包含两隔板插在一起(中间部分没有书)的情况,9个空有9种插法。满足条件的插法共有C29+9=45种。
　　方法二:先在8本书9个空插入一隔板,然后再在8本书及一隔板共10个空插入另一隔板,由于两隔板无序,满足条件的插法有12×9×10=45种。
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