【国际视野下的数学运算技能】 王者荣耀拉视野放技能

　　数学运算技能是指正确运用各种运算法则进行数及式的运算、正确运用数学概念和公式进行数及式的变形，属于数学三大基本技能之一，一般说的运算包括数值计算和数式的变形，数值计算有：有理数运算、实数运算和复数运算；式的变形有：整式、分式、根式运算等代数式的运算，三角运算、指数运算、对数运算等超越式的运算，其中包括函数运算和求值，数学的运算不仅仅局限于数与式的运算，还包括集合中的“并”、“交”、“补”等和命题中的“与”、“或”、“非”、“蕴涵”、“等价”等运算，甚至还包括向量、函数和随机变量等的运算，另外，微积分中的极限运算、微分、积分运算等，概率统计中的概率运算、数据处理，几何中各种几何量的计算和测量、几何变换都应包括在数学运算技能范围内，随着计算工具越来越先进，在数学运算中不但要重视精确的计算，还要重视估算，用估算做出可能合理的答案或说明不合理都应属于数学运算技能的范畴，随着科技越来越发达，世界各国并没有忽视对学生的数学运算技能的培养，反而随着对数学运算技能研究的深入越来越重视，
　　
　　一、经历两个低谷的日本数学运算技能
　　
　　1947年，日本逐渐采用“生活单元教学法”，当时六年级学生的乘、除法计算能力还不及1928年的四年级学生，因此，生活单元教学法因导致学生的基础知识水平和基本运算技能普遍下降而遭到社会各界的否定，1968年开始的“数学教育现代化运动”对传统数学中训练具体解题、计算能力的内容作了大量精简，由于忽视基本技能的训练与培养，从而导致学生负担过重，落后生增多，以及运算能力下降等，不久，这一做法再一次受到社会各方面的指责，1989年公布的中小学数学学习要领，非常注重知识技能的使用，要求学生知道在什么场合下用什么知识技能解决实际问题，但对数学运算技能的要求仍不高，1993年初中全面推行的新要领，其数学教育基本方针中包括了重视基础知识和基本技能的培养，同时要求初中数学中必须进一步精选那些基础的和基本的内容，并给予彻底的指导，日本最新的数学课程标准，对不同的年级提出了不同的数学技能要求，例如在数与式方面，对初中一年级提出“掌握运用字母符号表示数的关系和性质的初步能力，获得简单表达式的技能”的要求；对初二提出“发展从事物现象中找出解一元一次不等式的技能”，“理解一次方程组及其解的意义，并能加以运用”的要求；在数量关系方面。对初二要求“按照目的收集资料。整理成表，画出统计图”等，能够“进一步按照目的要求加深理解代数式的变形和二次方程，同时提高运用的技能”；对初三要求“进一步提高表示和应用函数的技能。研究函数的特征，加深对函数的理解”，在新增的《数学基础》中有一个内容是关于估算的，详细介绍了弃九法的来龙去脉以及如何利用，很有实用性。
　　上述内容从一个侧面说明在日本数学学习指导要领的指导下，运算技能在教学实践中经历了两个低谷后，即使在计算机(器)盛行的今天，日本数学界还是不敢轻易削减对数学运算技能的要求。
　　
　　二、由忽视转为重视的美国数学运算技能
　　
　　1980年以后，在有20多个国家和地区参加的第二次国际数学教育比较研究(The Second International Mathe-matics)中，美国排最后几位，1980年代中期。全美数学教师联合会(NCTM)成立的一个专业机构经过几年的努力。于1989年出台了《学校数学课程与评价标准》(Cur-riculum and Evaluation Standards f_or School Mathematics)，该标准提出了相应的技能和能力要求，特别重视问题解决，数学教学以问题解决为重点，这就对学生的数学运算技能提出了高要求，因为解决问题除了要具备解决问题的思路外。剩下的还得回到运算技能上来，没有较高水平的运算技能，方法、思路再好，仍然不能解决问题，然而，该标准没有要求加强运算技能的培养，反而反对过分的纸笔运算训练，反对繁杂的计算和四舍五入的计算。反对死记硬背的学习方式，反对过分的熟练性要求，认为应该追求的是运算的合理性而不是运算的速度，该标准认为：计算器和计算机对数学教学能起到巨大作用，能代替机械性的计算工作，节省学生的时间和精力，使学生能把时间和精力转移到学习更加重要的内容上来，使学习变得更有兴趣、更容易、更广阔、更丰富多彩，第三次国际数学和科学教育研究(The Third International Mathe-matics and Seience Study)的研究结果表明，美国八年级和十二年级的测试成绩远远低于其他国家，四年级也只达到了平均水平，美国人总结了七个原因，其中一条是忽视基本运算，许多人认为由于计算机的过早使用。极大地削弱了学生对基本运算技能的掌握，在广泛使用计算机的年代，大家觉得基本运算技能不再重要，但恰恰相反，基本运算技能的培养却不应被忽视，在吸收1989年标准的经验和教训的基础上，2000年出版的《学校数学的原则和标准》开始重视基础知识和基本技能在解决问题中的重要作用，认为使用高效的、精确的运算方式进行运算是必要的，但学生应该学会使用不同的方式、合理的运算规则进行运算，包括心算、估算、笔算，所有的学生应该在适当的时候使用计算器，但是在培养学生的运算能力时，则应把计算器放在一边，熟练运算是理解的前提，他们在总论中提出：“中年级的数学教学将特别地集中在几个方面，……学生将发展对有理数概念的深入理解，熟练地进行有理数的运算和估算……”比较美国十年来的两个基本数学课程标准，数学技能的培养也由忽视转而被社会各界关注。
　　
　　三、浓墨重彩的新加坡数学运算技能
　　
　　新加坡由于十分重视对学生数学运算技能的培养，在第三次国际数学与科学教育调查(TIMSS，1996)中位居第一，因而引起了国际数学教育界的关注，当时，美国中西部的许多中小学校纷纷引进新加坡的数学教材，以期利用新加坡的教学模式提高美国学生的数学成绩，
　　从1990年起，问题解决一直都是新加坡数学教学大纲的中心主题，以概念、技能、过程、态度、元认知五个环节构成的“五边形框架”逐渐流行，这里的“问题”不仅包括常规数学问题，还包括需要运用有关数学知识的开放性探究工作，问题解决可被看成数学活动的基本形式，该类活动强调的是所学基础知识的应用和策略性知识的掌握，如在游戏中，学生要想解决实际问题就必须进行相关的计算，这促使学生积极投入运算，巩固各种运算的基本知识，并对计算的技能、技巧进行了有效的训练，他们对技能的分析与说明如下：包括数值计算、代数运算、空间直觉、数据分析、测量、使用数学工具和估计等程序性技能，尽管学生需掌握熟练的数学技能，但应该避免在不理解涉及到的数学原则的情况下过分强调程序性技能。
　　近几年，新加坡出现了一种典型的教学法――批判 性教学法，其核心是要求学校加强对学生批判性思维能力的训练，这种以认知过程为基础的批判性训练要求学生掌握一系列技能、过程、程序和练习，目前，这种以技能为基础的批判性思维训练方法在新加坡学校已找到了自己的位置。
　　经过中西合璧的新加坡中学数学教材每学年一册，另外还有一册《高级数学》，平均每册350页，其中数学运算技能包括估计和近似、心算、交流、使用数学工具、代数运算、数据处理等内容，其中最具特色的是习题种类多、数量多，书中除了大量的例题和习题(都是计算题，证明题几乎找不到)外。每小节或几小节后又附有练习题、思考题、联系实际的问题解决和探究题；每章后有复习题，每册书还有4次连续几章后的综合复习题；每册书的中间还有期中检查测试试卷10份；全册最后还有年终检查试卷10份，以“算术问题”这一章为例。全章共36页，有22个小节，共有各类问题193道，平均每页5.36道，还有一个大的活动课题另外，在4次综合复习练习中，每次还包含该章习题50道，可见，培养学生运算技能在教材中得到浓墨重彩的渲染，同时，教材还把计算器的使用方法列为正文的一部分，结合课文内容，详细介绍使用方法，所以学生一般都能熟练地使用计算器。
　　
　　四、要求渐高的俄罗斯数学运算技能
　　
　　1990年，前苏联的《普通中学数学教学大纲》总目的中说，“数学的主要作用是形成算法的思维，培养按照规定的算式计算和设计新的算式的能力”，大纲对不同阶段的数学运算技能提出了说明。低年级(一至四年级)重视培养学生和谐的数学感觉、数学能力。多采用绘图、模型以及学生喜闻乐见的事物进行教学，五六年级的教学目的包括系统地发展数的概念；培养口头和笔头的运算技能；掌握自然数、分数和小数，正数和负数的运算技能；介绍十进小数的运算；引入最大公约数和最小公倍数概念；代数部分引入简单方程和公式形式，七至九年级的教学目的包括：提高学生计算和代数式运算的技能，使学生在解决数学和相邻学科(物理、化学、信息原理和计算机技术等)的习题时，能够有把握地运用这些运算技能；几何课中要系统学习几何度量的运算等，同时也强调不必花大量时间进行笔算技能训练，而应加强近似计算，掌握误差，向一般社会、文化目的需要的技能方向培养，十、十一年级的教学目的中代数目的包括：无论在学习新内容还是在进行综合复习时，都要巩固和发展在代数课中获得的运算技能和技巧；要系统学习三角函数、指数函数、对数函数和它们的性质，获得三角、指数和对数表达式恒等变换及它们在解有关方程式和不等式中的技能；几何目的包括：由于计算几何体的体积和表面积有很大的实践意义。所以必须掌握计算重要的几何量的方法。
　　1998年的数学教育标准中总体上体现了中小学数学课程的核心：数和计算，式和它们的变换，方程，函数，几何图形和几何量的度量，俄罗斯对函数部分的基本要求比我国高中数学教学大纲的规定要高，在《高中数学标准》这样的大纲性文件中函数部分设计了36道习题，
　　在1997年陆续出版的初中新代数课本中，函数一直是学生学习的主线，这套教材有关函数的内容包括六个方面：分段函数、求函数在给定区间上的最大(小)值、图解方程、读图像、函数记号、图像变换等，七年级主要研究线性函数，对应着均匀变化过程；八年级的主要课题是二次函数，对应着等加速过程；九年级的主要课题是三角函数，它是周期变化过程的模型；十年级研究指数函数，它反映了有机物增长的建模过程，而要想把这些函数及相关知识学好、学扎实，没有较好的数学运算技能作基础是行不通的，这些要求从侧面反映出俄罗斯对数学运算技能的要求有高无低。
　　
　　五、被具体细化的英国数学运算技能
　　
　　1982年，英国的《数学算数――英国学校数学教育调查委员会报告》，国际上称为“科克罗夫特报告”(Coekcroft Report)中，对社会许多行业所需的数学知识和数学技能都作了详细的调查和分析，该报告中提出的进行成功的数学教学所必需的要素之一是“以培养学生的基本技能及其应用为目的的训练”，强调必须使学生获得一定的口算、笔算，以及近似与估算的技能，提倡心算、笔算和计算器的灵活运用，该报告指出，虽然同一年龄学生在理解和形成技能水平上存在很大差异，但是对所有学生应该有共同的基本内容，即应该包括：(1)在不同的情境下读、写和谈论数学；(2)用各种方式进行计算，诸如心算、笔算和利用计算器计算；(3)将一定单位制下的度量与计算相结合，会将一种度量单位转换成另一种度量单位，显然，这些内容包含了对数学运算技能方面的具体要求。
　　1989年，英国颁布的第一个统一的国家数学课程标准将数学学习计划分为14个目标，第1个和第9个目标为使用和应用数学，第2个～第4个目标为数，第5个目标为数与代数，第6个和第7个目标为代数，第8个目标为测量，第10个和第11个目标为图形与空间，第12个～第14个目标为数据处理，几乎每个目标都有相应的运算技能方面的细目标，现在，经过多次修订的英国国家课程标准提出该国的数学教学目标是发展学生的知识、技能和理解力，以满足2l世纪国家对人才的要求，但不管怎样修订，英国对各项数学内容的各个学习阶段都具体提出了相应的运算技能方面的要求，这是它极具特色的一个方面。
　　
　　(责任编辑　赵雄辉)