[从葫芦到瓢]瓢葫芦

　　四川成都第二十中学 610036 　　 　　摘要：变式练习作为一种高效的训练学生解题技能的方法，对于加深学生对基本解题思想的理解，培养学生的知识迁移能力起到了重要作用，因而得到了广大一线数学教师的青睐. 本文将结合笔者自身的教学实践，对运用变式练习培养学生的解题能力进行探讨.
　　关键词：数学解题；变式练习；探讨
　　
　　笔者在检查学生笔记时会经常作些批注，一次一个学生无意将“照葫芦画瓢”写成了“找葫芦画瓢”，错别字很快被改过来了，但从葫芦到瓢的过程却引起了笔者的深思．
　　如果将教师的例题看做“葫芦”，那么学生能够运用例题中的知识点、方法、技巧解决新问题便是画瓢，按照学生的认知规律必然要经历“照葫芦画葫芦”“照葫芦画瓢”“找葫芦画瓢”的过程，最后达到“没葫芦也能画瓢”的最高境界． 这个过程实际上就是通过解题教学、适当的变式练习来完成的!在这个过程中学生要达到将所学知识融会贯通，举一反三，灵活运用的目的．
　　喜逢罗增儒先生的《解题分析，应该有“第二过程”的暴露》（《中学数学教学参考》2008年第9期）一文中提及的“解题的四步骤程式”再一次证实了一条解题线路：由“简单模仿、变式练习”开始，经过长期的“自发领悟”，最后进入到“自觉分析”的阶段． 这似乎与笔者的“葫芦原理”有异曲同工之处．
　　数学解题过程的专业分析称为解题分析，主要包括解题思路的探求和解题过程的反思． “解题思路的探求”把“题”作为认识的对象，把“解”作为认识的目标，重点展示由已知条件到未知结论的沟通过程． 而“解题过程的反思”则继续把解题活动作为认识对象，不仅关注如何获得解，而且寄希望于对“解”的进一步分析，从而增强数学能力、优化认知结构、提高数学思维． “照葫芦画葫芦”“照葫芦画瓢”便是对“解题思路的探求”的简单模仿；“找葫芦画瓢”“没葫芦画瓢”便是通过对“解题过程的反思”达到“自发领悟”和“自觉分析”的最高境界．
　　
　　[⇩]“照葫芦画葫芦”（简单模仿）
　　即模仿教师或教科书的示范去解决一些识记性的问题． 这是一个通过观察模仿对象的行为，获得相应的表象，从而产生类似行为的过程，也是对解题基本模式加以认识并开始积累的过程． 对认知结构的改变而言，这一步具有数学学习中输入信息并开始相互作用的功能，其本身会有体验性的初步理解． 波利亚在《数学的发现》序言中说：解题“只能通过模仿和实践来学到它”，张景中在《帮你学数学》中说“摹仿是学习的开始”． 在这一步中，记忆是一项重要内容，由记到忆，是指信息的巩固与输出的过程． 但毕竟只是模仿，所以只能照着葫芦画葫芦．
　　在复习二次函数恒成立问题时我先详细讲解了例1．
　　例1若不等式mx2+mx+1＞0恒成立，求实数m的取值范围．
　　并引导学生总结两点：
　　（1）对二次项系数进行分类讨论；
　　（2）数形结合，观察函数图象，特别是开口方向和与x轴的位置关系．
　　然后由学生独立完成例2．
　　例2若不等式mx2+mx+1≤0恒成立，求实数m的取值范围．
　　显然例2是对例1的简单变形，在清楚例1所涉及的知识点及方法后可以较容易的解答例2，并可以强化分类讨论与数形结合在解题中的应用．
　　
　　[⇩]“照葫芦画瓢”（变式练习）
　　即在简单模仿的基础上迈出主动实践的一步，主要表现为做数量足够、形式变化（干扰性）的习题，本质上是进行操作性活动与初步适应． 其作用首先是通过变换方式或添加次数来增强效果、巩固记忆、熟练技能；其次是通过必要的实践来积累理解所需要的操作数量、活动强度和经验体会． 对认知结构的改变而言，这一步具有新旧知识相互作用的功能，做好了就能形成新认知结构的雏形，从而达到“温故而知新”的作用． “变式”是防止非本质属性泛化的一个有效措施． 通过“变式练习”，学生能够逐渐照着“葫芦”画出“瓢”来，并能发现“葫芦”与“瓢”的区别与联系．
　　例3>k恒成立，求实数k的取值范围．
　　此例是二次函数恒成立的问题，但没有脱离例1的知识原理，学生只要注意到分母始终大于0，便可将分式化为整式，利用已有知识就可迎刃而解．
　　
　　[⇩]“找葫芦画瓢”（自发领悟）
　　即在模仿性练习与干扰性练习的基础上产生理解――解题知识的内化（包括结构化、网络化和丰富联系）． 但在这一阶段，领悟常常从直觉开始，表现为豁然开朗、恍然大悟，而又“只可意会，不可言传”． 这实际上是需要个人自己去体会“解题思路的探求”“解题能力的提高”“解题策略的形成”“解题模式的提炼”，从而获得能力的自身性增长与实质性提高的过程． 对于认知结构的改变而言，这一步具有形成新认知结构的功能． 由于单纯的实践不能保证由感性到理性的飞跃、由“双基”到能力的升华，而这种飞跃与升华又需要一个长期的积累，因而，这是一个漫长而又不可逾越的必由阶段（会存在高原现象）． 正因为此，我们依然不能脱离“葫芦”去画“瓢”．
　　例4（1）若函数y=的定义域为R，求实数m的取值范围．
　　（2）若函数y=lg（ax2+2x+1）的定义域为R，求实数a的取值范围．
　　此例虽然以函数的定义域为背景，但学生只要能从记忆中搜索出“二次函数恒成立”这个“葫芦”，通过对函数定义域的理解将条件转化成不等式问题就可求解，即画出想要的“瓢”．
　　
　　[⇩]“没葫芦画瓢”（自觉分析）
　　即在解题过程进行自觉的反思，使理解进入到深层结构． 这是一个通过已知学未知、通过分析“怎样理解”而领悟到“怎样学会解题”的过程，也是一个理解从自发到自觉、从被动到主动、从感性到理性、从“基础”到创新、从内隐到外显的飞跃阶段，操作上通常要经历整体分解与信息交合两个步骤． 在这一阶段要提炼怎样解题和怎样学会解题的理论启示，相对于认知结构的改变而言，这一步具有形成并强化新认知结构的功能． 所以虽然没有“葫芦”我们依然可以画出“瓢”来．
　　例5若函数y=mx2+mx+1的图象始终在函数y=3x+2的图象的上方，求实数m的取值范围．
　　这是一道与前几例表面截然不同、本质惊人相似的题目，学生通过几个变式的训练会有一些头绪． 我们更希望以后实现在没有前边的铺垫的情况下，学生仍然能够“自觉分析”出问题的源头，即是说在没有“葫芦”的情况下也能画出漂亮的“瓢”来．
　　在高中数学教学中，变式教学因其在培养学生数学技能和思维品质等方面的有效性和实用性而被广泛运用． 变式教学不仅仅是要给学生形式上的参与和表象上的传授，更关键的是要让学生在问题的认知、探索、发现、设计、解决、创造等全过程、全方位、深层次的主体性、实质性的参与，并从中获得对问题的深刻理解，不断促进解决新问题的能力因子的生成和积聚，达到元认知能力的本质提高． 也即掌握脱离“葫芦”照样画好“瓢”的本领．
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