初中数学操作型探究题的分类解析 初中数学规律探究题
随着新课程改革的不断深入，操作型探究题作为考查学生分析、解决问题以及创新意识的良好载体，而逐渐成为中考的热点题型之一. 操作型探究题以几何图形为背景，通过平移、旋转构造出新图形，从图形的形状和位置的变化中去探求函数、方程、全等、相似、解直角三角形等知识间的内在联系.学生通过观察图形在变化过程中所隐含的规律，猜想所得结论，并进行证明及相关计算，是解决此类问题的基本策略.解决的过程要综合到用到数形结合、函数与方程、特殊与一般等数学思想，通过分类讨论、相似与全等、函数建模等方法实现问题的解决.图形在运动变化中，是否保留或具备某种性质，这往往是通过操作、探索、猜想、归纳、证明才能体现.从而凸显了在中考中注重“方法和过程”的新理念.下面通过几道题的具体分析，说明此类问题的解题策略.
一、与正方形有关的操作型探究题
范例1：已知正方形ABCD，一等腰直角三角板的一个锐角顶点与A点重合，将此三角板绕A点旋转时，两边分别交直线BC、CD于M、N．
（1）当M、N分别在边BC、CD上时（如图1），求证： BM＋DN=MN；
（2）当M、N分别在边BC、CD所在的直线上（如图2、图3）时，线段BM、DN、MN之间又有怎样的数量关系，请直接写出结论．
（3）在图3中，作直线BD交直线AM、AN于P、Q两点，若MN=10，CM=8，求AP的长．
【思路分析】从（1）问的结论上看，求证两条线段的和等于第三条线段，易于想到“截长补短”法（如图4），延长MB到E，使BE=DN，易证△ABE≌△AND，再证△AMN≌△AME，得到MN=ME=BM+DN.同理得到图2的结论为：MN=BM-DN.图3的结论为：MN=DN-BM.（3）问属于运动到特殊情况时求AP的长(如图5).在Rt△CMN中，利用勾股定理易求
【评析】这道试题设计精巧,新颖别致,考查的知识点包括图形的旋转、函数与方程、三角形的全等与相似、正方形的性质、勾股定理、锐角三角函数等；在求解的过程中可以考查学生的阅读能力、建模能力、对图形的直觉能力以及在图形变化中看到不变实质的数学洞察能力和从特殊到一般的思想方法.即要求学生能灵活运用基本知识和基本技能，也要求学生具备一定的实践操作经验和较开阔的思维品质，充分体现了中考方向和发展趋势.
二、与圆有关的操作型探究题
范例2：点A在直线MN上，∠PAM=60°，AD平分∠PAM，AD=6，点C在射线AP上，过A、D、C三点作⊙O.
1.若⊙O与直线MN相切时，求AC长.（如图1）
2.若⊙O经过直线MN上除点A的另一个点B，当⊙O的大小变化时，给出两个结论：①AC+AB为定值；② AC-AB为定值.当B在AM上时（如图2）或当B在AN上时（如图3），上述结论中是否有正确的结论？如果有，判断并说明那一个结论成立，并求出定值是多少？
【评析】此题以圆为背景，结合圆的基本性质、三角形的全等、三角函数等知识，考查了学生对初中数学重要知识与技能的掌握情况，在解题思路上一脉相承，重点强调了学生对典型图形的构造与应用.对知识的迁移与变式都有较高的要求，对学生的可持续发展大有裨益.
三、与三角板有关的操作型探究题
范例3：已知，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，BC=DC，∠BCD=60°.将直角三角板PMN的60°角的顶点放在该四边形上，使得P点与A点重合.旋转三角板PMN，在旋转的过程中，三角板PMN的直角边PM与直线BC交于点E，斜边PN与直线DC交于点F，连接EF.
1.当E、F分别在BC、CD边上时（如图1），求证EF=BE+DF.
2.当E、F分别在直线BC、CD上时（如图2、图3），线段EF、BE、DF之间又有怎样的数量关系，请直接写出结论.
3.在图3中，作直线BD，分别交直线AM、AN于点G、H.若AE=3，求AH的长.
【思路分析】从已知条件中可以证明△ABC≌△ADC,得到∠ABC=∠ADC=90°. AC平分∠BAD.而∠MPN= 60°，易于想到利用旋转构造△ABE≌△ADQ（如图4），进一步得到△AEF≌△AQF，得到EF=FQ=BE+DF.同样的思路可以得到图2的结论为：EF=DF-BE；图3的结论为：EF= BE-DF.在问3中，连接AC后（如图5），得到△ACE∽△ADH，AH∶AE=AD
【评析】此题通过旋转变换，利用角平分线构造轴对称图形，图1易于得到结论，而图2、图3只有借助解决图1的基本思路，才能出现思维的转向，从而产生顿悟.问3中，只给出AE=3一个数量关系，去求AH的长度，必然要深入挖掘原题中存在的数量关系，结合所求，构造相似三角形.这样不断反复认知与所求，调节思维方向，准确确定思路点，才会柳暗花明又一村.
操作型探究题为学生提供了猜想与探究的空间，展示了学生学习的思维过程，使学生在探究的过程中体验了问题的提出、结论的探索与应用.不但获得知识，而且培养了自信的科学精神、创新意识和实践能力，改变了以往单纯的依赖模仿与记忆的学习方式，有助于学生形成“动手实践、自主探究与合作交流”新的学习方式，有助于学生个性发展.此类试题也必将推动中考试题的进一步发展.
（作者单位：哈尔滨市阿城区双丰镇第1中学）
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。
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