非线性动力系统图形化的研究方法:非线性动力系统理论
摘要:随着对非线性科学研究的深入，无论是从数学角度还是美学角度，人们开始关注非线性动力系统计算机图形化的研究工作。进而出现了一些有效的方法和手段，本文旨在对这些方法进行分析和比较，以便为今后的理论研究工作提供思路。
关键词:非线性动力系统；混沌吸引子；广义M集
近年来,随着人们对知识的积累以及研究手段的改进，非线性科学逐渐显示了它跨学科的研究地位，并且揭示出自然界和科学研究中非线性现象的规律，使科学家们深刻地认识到非线性系统的价值。而非线性动力系统计算机图形化作为非线性科学研究中的热点问题，已经使得越来越多的学者投身到这一领域。随着理论的发展，相应的研究手段也不断完善，逐渐形成了一些有效的方法。早期学者通常采用蒙特卡罗搜索法搜索参数向量，由Lyapunov指数作为混沌判据，构造混沌吸引子[1]。该算法实现简单，并且可以大量生成吸引子图形，为选取广义M集的参数断面提供了依据。为了更加深入的分析参数向量的变化对混沌吸引子图形结构的影响,研究者构造出动力系统的广义M集[2-4]，实现了对参数空间的有效划分。当然，在非线性动力系统的研究中，还会出现一些新的更加有效的方法和手段，这也是人们所期待的。本文旨在通过分析和总结这些研究方法，为今后的理论研究工作提供思路。
1． 蒙特卡罗搜索法的应用
在文献[1]中，J. C. Sprott采用一般二维二次的非线性映射进行实验，其解的特性是由12个系数（a1到a12）和初值X0, y0决定的。在算法中考察两个相距很近的初始点的轨道的平均离散速度来确定某组参数下动力系统的Lyapunov指数，将其作为测试混沌特性的实际标准，提出了自动生成混沌吸引子的蒙特卡罗搜索法。在文献[1]中，系数a1到a12为取自于区间[-1.2，1.2]、且以0.1为增量的12个实数，并用字母表中的“A”到“Y”对参数取值进行了编码。在迭代过程中将初始值设置为xo=yo=0.05。图1为该方法构造的混沌吸引子，参数见图题。
对于一般非线性动力系统，首先，选定分量的搜索区间，确定搜索步长增量。其次，选择一个初始迭代点，为了去掉瞬态，进行一定次数的迭代，系统稳定后，由Lyapunov指数判断该组参数向量下的动力系统是否呈现混沌特性；若Lyapunov指数为正，且迭代结果有界，这时就可以得到一个混沌吸引子。图2中展示了极限圆映射[5]的混沌吸引子[6]。
在文献[1]的基础上，研究者构造出了动力系统的广义充满J集[6-7]。根据混沌动力学的理论，当动力系统的Lyapunov指数小于0时,动力平面上存在有限条吸引轨道及相应的吸引域，所有吸引轨道的吸引域的全体构成了动力系统在迭代区域中的广义充满J集。构造广义充满J集较常用的方法是吸引时间法，即根据初始点的轨道进入周期轨道的时间(迭代次数)为各个像素点着色[7]. 图3中展示了极限圆映射[5]的广义充满J集[6]。
2.划分参数空间
在基本域[8]中搜索局部极值点[3]，并将其作为初始迭代点集测试各组参数确定的动力系统的Lyapunov指数；若点集中的所有点都使某组参数下的动力系统的Lyapunov指数大于0，则该组参数下的动力系统具有明显的混沌特性（在图4中着白色）；相反，若点集中的所有点都使某组参数下的动力系统的Lyapunov指数小于0，则该组参数下的动力系统具有明显的周期特性（在图4中着蓝色）；若点集中的一部分点使得系统呈现混沌特性，另一部分点使得系统具有周期特性，则称为混合区域（在图4中着红色）。
图4为上半平面极限映射[8]的广义M集[3]，其中（a）的参数断面为(c1,c2)，向量的另外4个参数为:a1=0.02a2=0.08; b1=0.12;b2=-0.02。图4（b）的参数断面为(b1b2)，向量的另外4个参数为:a1=-0.17a2=0.04;c1=-0.17; c2= -0.12。图5是从图3的广义M集上选取参数构造的广义充满J集[8]。
结束语
对于非线性动力系统的研究，不同的学者选择的角度有所差异，但对这些方法的分析和总结使我们对非线性科学的认识更加深刻。J. C. Sprott提出的自动生成混沌吸引子的蒙特卡罗搜索法实现简单，并且通过其生成的大量结构各异的图形可以看出哪些参数对系统的动力学特性影响较大，为选取广义M集的参数断面提供依据。广义M集的构造可以让我们对非线性动力系统的参数空间有更清楚的认识。
参考文献：
[1] Sprott J C. Automatic generation of strange attractors [J]. Computers & Graphics, 1993, 17(3) : 325-332.
[2] Chen N, Zhu X L. and Chung K W. M AND J sets from Newton"s Transformation of the Transcendental Mapping with VCPS [J]. Computers & Graphics, 2002,26(2), 371-383.
[3] 陈宁,金媛媛.上半平面极限映射的广义M集[J].沈阳建筑大学学报,2007,23(1):151-156.
[4] 陈宁,李子川. 双曲极限圆映射广义M集[J].小型微型计算机系统,2008,29(3):524-529.
本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文