_函数对称性习题例解

　　中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1671-0568（2012）24-0134-01　　函数的对称性是函数的重要性质之一，研究函数所具有的对称性质可以从整体上把握函数图象的特征。应用函数自身的对称性更容易得到函数的单调性，值域等性质。
　　一、探求对称函数的对称轴与对称中心
　　观察图象，先猜后证。探究函数f（x）=|x-1|+|x+2|，x∈R的对称性，如果具有对称性，写出其对称轴或对称中心，并说明理由。
　　解析：根据分段函数图象的特征，可观察到函数图象关于直线x=-■对称。
　　由于f（-1-x）=|-1-x-1|+|-1-x-2|，函数图象关于x=-■对称。
　　二、图象平移，化新为旧
　　1.求函数f（x）=x3+3x2+6x+3的对称中心。
　　解析：f（x）=（x+1）3+3（x+1）-1又因为g（x）=f（x-1）+1=x3+3x是奇函数，关于原点对称，则y=f（x）的对称中心为（-1，-1）。
　　2.求函数f（x）=■的对称中心。
　　解析：由于函数f（x）=-■是奇函数，关于原点对称，因此f（x）=2-■的对称中心为（-2，2）。
　　三、应用导数，相互转换
　　求函数f（x）=x3+3x2+6x+3的对称中心。
　　解析：由于f′（x）=3x2+6x+6=3（x+1）2+3关于直线x=-1对称，那么y=f（x）的图象关于点（-1，-1）对称。
　　四、借用值域，探求中心
　　1.求函数f（x）=■图象的对称中心。
　　解析：由于x≠1，y≠0函数图象的渐近线的交点是（1，0），因此函数的对称中心为（1，0）。
　　2.根据函数图象的对称特征，探求函数的值域或范围。
　　设函数f（x）=■的最大值为M，最小值为N ，求M+N的值。
　　解析：f（x）=2+g（x），g（x）=■是奇函数，关于原点对称，从而y=f（x）图象关于（0，2）对称，这样M+N=4。
　　3.求函数的f（x）=■的值域。
　　解析：由y=f（x）是奇函数，从而图象关于原点对称，y=f（x）的值域也是关于原点对称。f2（x）=■，设t=5+4 cos x，t∈[1，9]，则f2（x）=g（t）=-（t+■）+10，当t=1或9时，y=g（t）有最小值0；当t=3时，y=g（t）有最大值4。
　　因此0≤f2（x）≤4，所以函数y=f（x）的值域为[-2，2]。
　　4.根据函数图象的对称特征，探求函数的单调区间与极值。求函数f（x）=x2+■的单调区间与极值。
　　解析：y=f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，对称的部分单调性恰好相反。只要讨论x∈（0，1）的单调性，就可得到整个函数的单调性。
　　f′（x）=■，在 x∈（0，1）时，f′（x）＜0；在x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0。y=f（x）在x=1时有极小值，极小值为2。因此y=f（x）的单调增区间为（-1，0），（1，+∞）；单调减区间为（-∞，-1），（0，1）。在x=-1或1时y=f（x）有极小值2。