【浅谈如何利用函数恒等变换解高考题】函数恒等变换

　　在2012届高考第二课数学刚刚落下帷幕，我的手机就不停地响起，多是学生考得不好的消息，反映比较多的是17题做不出来，在安慰了学生之后，我迫不及待地找到了这道题目。如下：已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边，acosC+3asinC－b－c=0
　　（1）求A。（2）若a=2，△ABC的面积为3；求b,c。
　　一看到这道题目，和我们预测一样，要出三角函数题目，而且一定是三角函数恒等变换，因为2010、2011年都是数列题目，而且在2010年以前大部分高考题虽是三角函数，但是和实际问题结合的比较多，所以预测今年出三角恒等变换可能性很大。纵然知道要出三角恒等变换，由于这一部分灵活性比较大，好多学生不知道怎么变换，老走弯路，浪费时间，在高考时间比较紧张的情况下，有的同学不得不选择放弃。现在我对这道题目分析一下，希望对同学们有所帮助。
　　这道三角函数题中，有边也有角，我们在变换时要么全变成边，要么全变成角，所以应用的不是正弦定理就是余弦定理，很显然本题要用正弦定理把边变成角，如果用余弦定理，那么还有一个角C无法化简。所以由正弦定理得：
　　acosC+3asinC－b－c=0sinAcosC－3sinAsinC=sinB+sinC
　　接下来我们观察到左边是角A,C,右边是角B，C。通过观察形式，应该把sinB变成sin（A+C），再把sin（A+C）展开，这样不仅可以消去sinAcosC,同时可以两边约去sinC（因为sinC不等于0）既可以化简。过程如下
　　acosC+3asinC－b－c=0sinAcosC－3sinAsinC=sinB+sinCsinAcosC+3sinAsinC=sin（a+C）+sinC3sinA－cosA=1sin（A－30°）=12A－30°=30°A=60°
　　第一问得到角A后，那么第二问利用面积公式可以得到关于b,c的一个表达式，即S=12bcsinA=3bc=4，又有角A和边a，利用余弦定理又可以得到关于b,c的一个表达式，即a2=b2+c2－2bccosAb+c=4。由此可以得到边b,c。解得：b=c=2
　　（作者单位：河南省偃师市高级中学）