数学开拓思维趣题|开拓数学思维的方法

1． 是在一个平面当中用2008条直线最多能分成多少个部分。

设面为X 线数为N

则.X=1+(N+1)×N/2

2008条线就是

X=1+(2008+1)×2008/2

X=2017037

2. 小明和小强都是张老师的学生，张老师的生日是M 月N 日，2人都不知道张老师的生日是下列10组中的一天，张老师把M 值告诉了小明，把N 值告诉了小强，张老师问他们知道他的生日是那一天吗？

3月4日 3月5日 3月8日

6月4日 6月7日

9月1日 9月5日

12月1日 12月2日 12月8日

小明说：如果我不知道的话，小强肯定也不知道

小强说：本来我也不知道，但是现在我知道了

小明说：哦，那我也知道了

请根据以上对话推断出张老师的生日是哪一天？

第1句话说明m 不等于6和12

第2句话说明n 不等于5

第三句话说明m 不等于3

小明说的那句话若M=6或12，那么他不能确定小强拿的N 是不是2或7，如果小强拿2或7那么小强可以直接确定生日！所以说小明没拿6或12

排除6和12后小强如果拿了n 是5，他也无法确定m 是3还是9，而他能确定日期说明他没拿5

那么小强说他啊知道了接着小明就明白了说明小明没拿3，因为小强一确定日期他就可以确定，这说明他没拿三！如果他拿了3，那么他不能确定小强拿的N 是4还是8（5前面已经排除），所以说明小强拿的N 肯定是1！

微软的经典面试智力题

1 为什么下水道盖子是圆形的？”

2 在不使用天平的情况下，怎样称出一架喷气式飞机的重量？

3 为什么镜子里的影像左右颠倒而不是上下颠倒？

4 为什么你在宾馆里一打开热水龙头就有热水流出来？

5 你在船上，把一只箱子抛起来，水平面会升高还是下降？

6 世界上有多少钢琴调音师？

7 美国有多少加油站？

8 每小时有多少密西西比河水流过新奥尔良？

9 一个曲棍球场里的冰有多重？

10 如果你能够搬走美国50个州中的任何一个，你会搬走哪一个？

11 地球上有多少个这样的点：往南走1公里，往东走1公里，再往北走1公里，你能回到原来的出发点？

12 一天中钟表的指针重叠多少次？

13 迈克和托德两人一共有21美元。迈克的钱比托德多20美元，每个人各有多少钱？在你的答案中不能有分数。

14 一般说来，将曼哈顿的电话册翻多少次，才能找到你想要找的人名？

15 你会怎样设计比尔·盖茨的浴室？

16 你怎样设计一个由计算机控制的微波炉？

A. 逻辑推理

1、你让工人为你工作7天，给工人的回报是一根金条。金条平分成相连的7段，你必须在每天结束时给他们一段金条，如果只许你两次把金条弄断，你如何给你的工人付费？

把金条折成1、2、4，第一天1段，第二天给2要还1，第三天再给1，第四天给4要还1、2，第五天给1，第六天给2还1，第七天给1.

2、请把一盒蛋糕切成8份，分给8个人，但蛋糕盒里还必须留有一份。 切8份，最后带盒子给那人。

4、一群人开舞会，每人头上都戴着一顶帽子。帽子只有黑白两种，黑的至少有一顶。每个人都能看到其他人帽子的颜色，却看不到自己的。主持人先让大家看看别人头上戴的是什么帽子，然后关灯，如果有人认为自己戴的是黑帽子，就打自己一个耳光。第一次关灯，没有声音。于是再开灯，大家再看一遍，关灯时仍然鸦雀无声。一直到第三次关灯，才有劈劈啪啪打耳光的声音响起。问有多少人戴着黑帽子？

黑色帽子的总数已经定了。如果是一个人，那么第一次就应该有耳光想起；如果是两个人，第一次熄灯看到带黑色帽子的人没打耳光，就会想到自己，第二次熄灯就会打；以此类推，应该是熄了几次灯就有几个黑色帽子。

5、请估算一下ＣＮ ＴＯＷＥＲ电视塔的质量。

6、一楼到十楼的每层电梯门口都放着一颗钻石，钻石大小不一。你乘坐电梯从一楼到十楼，每层楼电梯门都会打开一次，只能拿一次钻石，问怎样才能拿到最大的一颗？

7、U2合唱团在17分钟内得赶到演唱会场，途中必需跨过一座桥，四个人从桥的同一端出发，你得帮助他们到达另一端，天色很暗，而他们只有一只手电筒。一次同时最多可以有两人一起过桥，而过桥的时候必须持有手电筒，所以就得有人把手电筒带来带去，来回桥两端。手电筒是不能用丢的方式来传递的。四个人的步行速度各不同，若两人同行则以较慢者的速度为准。Bono 需花1分钟过桥，Edge 需花2分钟过桥，Adam 需花5分钟过桥，Larry 需花10分钟过桥。他们要如何在17分钟内过桥呢？

最快的两个人先走，然后最快的人回，再最慢的人走，再第二快的人回，再最快的两个人走，刚好17分钟。 2+1+10+2+2=17

8、烧一根不均匀的绳要用一个小时，如何用它来判断半个小时 ?

两端烧

9、为什么下水道的盖子是圆的？

如果是方的或者是其它的什么形状，无聊的人就会把它提起来朝下水道里面扔了 同等材料下圆的面积最大。

10、美国有多少辆加油站（汽车）？

有多少汽车？根据汽车总数来计算？

11、有7克、2克砝码各一个，天平一只，如何只用这些物品三次将140克的盐分成50、90克各一份？

先均分70、70，再由7+2的砝码配合称2个10.

12、有一辆火车以每小时15公里的速度离开洛杉矶直奔纽约，另一辆火车以第小时20公里的速度从纽约开往洛杉矶。如果有一只鸟，以30公里每小时的速度和两辆火车现时启动，从洛杉矶出发，碰到另辆车后返回，依次在两辆火车来回的飞行，直道两面辆火车相遇，请问，这只小鸟飞行了多长距离？ 简单，计算两车相遇的时间，再X30. 设两地距离为A ，时间为A/(15+20).

13、你有两个罐子，50个红色弹球，50个蓝色弹球，随机选出一个罐子，随机选取出一个弹球放入罐子，怎么给红色弹球最大的选中机会？在你的计划中，得到红球的准确几率是多少？

14、想象你在镜子前，请问，为什么镜子中的影像可以颠倒左右，却不能颠倒上下？

因为我不能倒着看正面的自己。（人两眼水平对称。）

15、你有四个装药丸的罐子，每个药丸都有一定的重量，被污染的药丸是没被污染的重量+1.只称量一次，如何判断哪个罐子的药被污染了？ 第一罐取1，第二罐取2，第三罐取3，第四罐取4，称总重。

16、如果你有无穷多的水，一个3夸脱的和一个5夸脱的提桶，你如何准确称出4夸脱的水？

倒3入5再倒3入5，留1，再重复一遍。

17、你有一桶果冻，其中有黄色，绿色，红色三种，，闭上眼睛选出同样颜色的两个，抓取同种颜色的两个。抓取多少个就可以确定你肯定有两个同一颜色的果冻？

18、将汽车钥匙插入车门，向哪个方向旋转就可以打开车锁？

19、如果要你能去掉50个州的任何一个，那你去掉哪一个，为什么？

20、对一批编号为1~100 全部开关朝上开的灯进行以下操作凡是1 的倍数反方向拨一次开关2 的倍数反方向又拨一次开关3 的倍数反方向又拨一次开关。问最后为关熄状态的灯的编号。

21、假设一张圆盘像唱机上的唱盘那样转动。这张盘一半是黑色，一半是白色。假设你有数量不限的一些颜色传感器。要想确定圆盘转动的方向，你需要在它周围摆多少个颜色传感器？它们应该被摆放在什么位置？

两个，挨着摆

22、假设时钟到了12点。注意时针和分针重叠在一起。在一天之中，时针和分针共重叠多少次？你知道它们重叠时的具体时间吗？

25次

23、中间只隔一个数字的两个奇数被称为奇数对，比如17和19。证明奇数对之间的数字总能被6整除（假设这两个奇数都大于6）。现在证明没有由三个奇数组成的奇数对。

24、一个屋子有一个门（门是关闭的）和3盏电灯。屋外有3个开关，分别与这3盏灯相连。你可以随意操纵这些开关，可一旦你将门打开，就不能变换开关了。确定每个开关具体管哪盏灯。

25、假设你有8个球，其中一个略微重一些，但是找出这个球的惟一方法是将两个球放在天平上对比。最少要称多少次才能找出这个较重的球？

随意拿六个，三三分开称。如果相等，丢开称另外两个。如果不等，把重的三个中随意选两个分开称。

26、下面玩一个拆字游戏，所有字母的顺序都被打乱。你要判断这个字是什么。假设这个被拆开的字由5个字母组成：

1. 共有多少种可能的组合方式？

2. 如果我们知道是哪5个字母，那会怎么样？

3. 找出一种解决这个问题的方法。

27、有4个女人要过一座桥。她们都站在桥的某一边，要让她们在17分钟内全部通过这座桥。这时是晚上。她们只有一个手电筒。最多只能让两个人同时过桥。不管是谁过桥，不管是一个人还是两个人，必须要带着手电筒。手电筒必须要传来传去，不能扔过去。每个女人过桥的速度不同，两个人的速度必须以较慢的那个人的速度过桥。

第一个女人：过桥需要1分钟；

第二个女人：过桥需要2分钟；

第三个女人：过桥需要5分钟；

第四个女人：过桥需要10分钟。

比如，如果第一个女人与第4个女人首先过桥，等她们过去时，已经过去了10分钟。如果让第4个女人将手电筒送回去，那么等她到达桥的另一端时，总共用去了20分钟，行动也就失败了。怎样让这4个女人在17分钟内过桥？还有别的什么方法？

28、如果你有两个桶，一个装的是红色的颜料，另一个装的是蓝色的颜料。你从蓝色颜料桶里舀一杯，倒入红色颜料桶，再从红色颜料桶里舀一杯倒入蓝颜料桶。两个桶中红蓝颜料的比例哪个更高？通过算术的方式来证明这一点。

B ：疯狂计算

29、已知两个1~30之间的数字，甲知道两数之和，乙知道两数之积。 甲问乙：" 你知道是哪两个数吗？" 乙说：" 不知道" ；

乙问甲：" 你知道是哪两个数吗？" 甲说：" 也不知道" ；

于是，乙说：" 那我知道了" ；

随后甲也说：" 那我也知道了" ；

这两个数是什么？

答案为x=1，y=4；甲知道和A=x+y=5，乙知道积B=x*y=4

不允许两数重复的情况下有两种答案

答案1：为x=1，y=6；甲知道和A=x+y=7，乙知道积B=x*y=6

答案2：为x=1，y=8；甲知道和A=x+y=9，乙知道积B=x*y=8

解：

设这两个数为x ，y.

甲知道两数之和 A=x+y；

乙知道两数之积 B=x*y；

该题分两种情况 ：

允许重复， 有(1

不允许重复，有(1

当不允许重复，即(1

1) 由题设条件：乙不知道答案

B=x*y 解不唯一

=> B=x*y 为非质数

又∵ x ≠ y

∴ B ≠ k*k (其中k ∈N)

结论(推论1) ：

B=x*y 非质数且 B ≠ k*k (其中k ∈N)

即：B ∈(6，8，10，12，14，15，18，20...)

2) 由题设条件：甲不知道答案 A=x+y 解不唯一 => A >= 5； 分两种情况： A=5，A=6时x ，y 有双解 A>=7 时x ，y 有三重及三重以上解 假设 A=x+y=5 则有双解 x1=1，y1=4； x2=2，y2=3 代入公式B=x*y： B1=x1*y1=1*4=4；(不满足推论1，舍去) B2=x2*y2=2*3=6； 得到唯一解x=2，y=3即甲知道答案。 与题设条件：" 甲不知道答案" 相矛盾 ， 故假设不成立，A=x+y≠5 假设 A=x+y=6 则有双解。 x1=1，y1=5； x2=2，y2=4 代入公式B=x*y： B1=x1*y1=1*5=5；(不满足推论1，舍去) B2=x2*y2=2*4=8； 得到唯一解x=2，y=4 即甲知道答案 与题设条件：" 甲不知道答案" 相矛盾 故假设不成立，A=x+y≠6 当A>=7时 ∵ x，y 的解至少存在两种满足推论1的解 B1=x1*y1=2*(A-2) B2=x2*y2=3*(A-3) ∴ 符合条件 结论(推论2) ：A >= 7 3) 由题设条件：乙说" 那我知道了" =>乙通过已知条件B=x*y及推论(1)(2)可以得出唯一解 即： A=x+y， A >= 7 B=x*y， B ∈(6，8，10，12，14，15，16，18，20...) 1

当 B=8 时：有两组解 x1=1，y1=8 x2=2，y2=4 (∵ x2+y2=2+4=6 8 时：容易证明均为多重解 结论： 当B=6时有唯一解 x=1，y=6当B=8时有唯一解 x=1，y=8 4) 由题设条件：甲说" 那我也知道了" => 甲通过已知条件A=x+y及推论(3)可以得出唯一解 综上所述，原题所求有两组解： x1=1，y1=6 x2=1，y2=8 当x

30、4，4，10，10，加减乘除，怎么出24点？

31、1000! 有几位数，为什么？

32、F(n)=1 n>8 n

F(n)=2 n

F(n)=3 n=6

F(n)=4 n=other

使用+ - * /和sign(n)函数组合出F(n)函数

sign(n)=0 n=0

sign(n)=-1 n

sign(n)=1 n>0

F(n)=1 n>8 n

F(n)=2 n

F(n)=3 n=6

F(n)=4 n=other

使用+ - * /和sign(n)函数组合出F(n)函数

sign(n)=0 n=0

sign(n)=-1 n

：sign(n)=1 n>0

解:只要注意[sign(n-m)*sign(m-n)+1]在n=m 处取1 其他点取0 就可以了

33、编一个程序求质数的和例如F(7)=1+3+5+7+11+13+17=58

34、。。。

请仅用一支笔画四根直线将上图9 各点全部连接

35、三层四层二叉树有多少种

36、1--100000 数列按一定顺序排列，有一个数字排错，如何纠错？写出最好方法。两个数字呢？

37、链接表和数组之间的区别是什么？

38、做一个链接表，你为什么要选择这样的方法？

39、选择一种算法来整理出一个链接表。你为什么要选择这种方法？现在用

O(n)时间来做。

40、说说各种股票分类算法的优点和缺点。

41、用一种算法来颠倒一个链接表的顺序。现在在不用递归式的情况下做一遍

。

42、用一种算法在一个循环的链接表里插入一个节点，但不得穿越链接表。

43、用一种算法整理一个数组。你为什么选择这种方法？

44、用一种算法使通用字符串相匹配。

45、颠倒一个字符串，优化速度，优化空间。

46、颠倒一个句子中的词的顺序，比如将" 我叫克丽丝" 转换为" 克丽丝叫我" ，

实现速度最快，移动最少。

47、找到一个子字符串，优化速度，优化空间。

48、比较两个字符串，用O(n)时间和恒量空间。

49、假设你有一个用1001个整数组成的数组，这些整数是任意排列的，但是你

知道所有的整数都在1到1000（包括1000）之间。此外，除一个数字出现两次外，

其他所有数字只出现一次。假设你只能对这个数组做一次处理，用一种算法找出重

复的那个数字。如果你在运算中使用了辅助的存储方式，那么你能找到不用

这种方

式的算法吗？

50、不用乘法或加法增加8倍。现在用同样的方法增加7倍。

C ：创造性应用

51、营业员小姐由于工作失误，将2万元的笔记本电脑以1.2万元错卖给李先生，王小姐的经理怎么写信给李先生试图将钱要回来？

52、如何将计算机技术应用于一幢100层高的办公大楼的电梯系统上？你怎样优化这种应用？工作日时的交通、楼层或时间等因素会对此产生怎样的影响？

53、你如何对一种可以随时存在文件中或从因特网上拷贝下来的操作系统实施

保护措施，防止被非法复制？

54、你如何重新设计自动取款机？

55、假设我们想通过电脑来操作一台微波炉，你会开发什么样的软件来完成这

个任务？

56、你如何为一辆汽车设计一台咖啡机？

56、如果你想给微软的Word 系统增加点内容，你会增加什么样的内容？

57、你会给只有一只手的用户设计什么样的键盘？

58、你会给失聪的人设计什么样的闹钟？

2、一个经理有三个女儿，三个女儿的年龄加起来等于13，三个女儿的年龄乘起来等于经理自己的年龄，有一个下属已知道经理的年龄，但仍不能确定经理三个女儿的年龄，这时经理说只有一个女儿的头发是黑的，然后这个下属就知道了经理三个女儿的年龄。请问三个女儿的年龄分别是多少？为什么？

三女的年龄应该是2、2、9。因为只有一个孩子黑头发，即只有她长大了，其他两个还是幼年时期即小于3岁，头发为淡色。再结合经理的年龄应该至少大于25。

3、有三个人去住旅馆，住三间房，每一间房$10元，于是他们一共付给老板$30，第二天，老板觉得三间房只需要$25元就够了于是叫小弟退回$5给三位客人，谁知小弟贪心, 只退回每人$1，自己偷偷拿了$2，这样一来便等于那三位客人每人各花了九元，于是三个人一共花了$27，再加上小弟独吞了不$2，总共是$29。可是当初他们三个人一共付出$30那么还有$1呢？

3人只付出了27元，老板得了25元，小弟拿了2元。

4、有两位盲人，他们都各自买了两对黑袜和两对白袜，八对袜了的布质、大小完全相同，而每对袜了都有一张商标纸连着。两位盲人不小心将八对袜了混在一起。他们每人怎样才能取回黑袜和白袜各两对呢？

9、对一批编号为1～100，全部开关朝上(开) 的灯进行以下*作：凡是1的倍数反方向拨一次开关；2的倍数反方向又拨一次开关；3的倍数反方向又拨一次开关……问：最后为关熄状态的灯的编号。

有10盏灯为灭，分别为1、4、9、16、25、36、49、64、81、100号。因为：每个质数能被1和自身整除，所以质数的灯是亮的。设一个合数能被N 个数整除，N 必然是个偶数。对于非某数平方的合数来说，将被开关N 次也就是偶数次，灯保留为亮；对于上面列出的平方数，则只被开关N-1次，所以灯是灭的

12、两个圆环，半径分别是1和2，小圆在大圆内部绕大圆圆周一周，问小圆自身转了几周？如果在大圆的外部，小圆自身转几周呢？

2

13、1元钱一瓶汽水，喝完后两个空瓶换一瓶汽水，问：你有20元钱，最多可以喝到几瓶汽水？

40

1. 有一个长方形蛋糕，切掉了长方形的一块(大小和位置随意) ，你怎样才能直直的一刀下去，将剩下的蛋糕切成大小相等的两块？

答案：将完整的蛋糕的中心与被切掉的那块蛋糕的中心连成一条线。这个方法也适用于立方体！

2. 有三筐水果，一筐装的全是苹果，第二筐装的全是橘子，第三筐是橘子与苹果混在一起。筐上的标签都是骗人的，(比如，如果标签写的是橘子，那么可以肯定筐里不会只有橘子，可能还有苹果) 你的任务是拿出其中一筐，从里面只拿一只水果，然后正确写出三筐水果的标签。

先拿混合的

14. 有4条狗(4只蚂蚁或4个人) 分别在一个广场的4个角落里。突然，它们同时以同样的速度追赶在自己顺时针方向的一个人，而且会紧追这个目标不放。它们需要多少时间才能相遇，相遇地点在哪里？

广场中心

15. 从空中放下两列火车，每列火车都带着降落伞，降落到一条没有尽头的笔直的铁道上。两列火车之间的距离不清楚。两列车都面向同一个方向。在落地后，降落伞掉在地上，与火车分离。两列火车都有一个微芯片，可以控制它们的运动。两个芯片是相同的。两列火车都不知道自己的位置。你需要在芯片中写入编码，让这两列火车相遇。每行编码都有一定的执行命令的时间。

你能使用以下指令(而且只能用这些指令) ：

MF —让火车朝前开

MB —让火车朝后开

IF(P)—如果火车旁边有降落伞，这个条件就得到了满足。

GOTO

答案：

A ：MF

IF(P)

GOTO B

GOTO A

B ：MF

GOTO B

解释：第一行只是让它们离开各自的降落伞。必须让它们离开自己的降落伞，这样后面的火车才能发现前面火车的降落伞，这样就满足了一个条件，它们就可以跳出起初遵守的编码。它们起初都在A 这部分循环，直到后面的火车发现前面火车的降落伞，这时就转入B ：并陷入B 的循

环。前面的火车还是没有找到降落伞，所以就不停地在A 里面循环。由于每行编码都有一定的执行命令时间，完成A 循环就比完成B 费时，因此后面的火车(在B 循环中) 最终将赶上前面的火车。

一个小猴子边上有100根香蕉，它要走过50米才能到家， 每次它最多搬50根香蕉，（多了就被压死了），它每走 1米就要吃掉一根，请问它最多能把多少根香蕉搬到家里。

前十七米一米一米的搬，每一米要吃掉3根香蕉。从十八米时全部搬着走回去。最终剩下的香蕉数目是：100-17*3-（50-17）*1=16根。