默比斯网的结构及性质_组织结构的形式

　　 [摘要] 介绍了默比斯网的结构,并通过两平面间射影对应的办法探讨默比斯网的性质和两个默比斯网之间的关系。 　　[关键词] 默比斯网 射影对应 仿射坐标系 有理点 有理网 生成
　　
　　一、默比斯网的结构
　　平面上的四个点,如果任意三点均不共线,则称它们为四个正常点。平面上任取四个正常点A、B、C、D,任意两点连线,得六条直线。假定这六条直线两两不平行,于是产生三个交点;连接这三点及这三点与A、B、C、D的连线又产生新的交点,如此构做下去,即:见两点连线,见两线交点,这样构成的图形称为由A、B、C、D生成的默比斯网,记为Λ(ABCD),默比斯网中的交点称顶点,顶点集记为V(A)。易见下述性质成立:
　　1.网中每个顶点都是经上述有限次手续得到的交点;
　　2.网中任意两点连线仍在网中,任意两线交点仍在网中;
　　3.顶点集在平面R�2中稠密。
　　本文利用两平面间射影对应的办法理清默比斯网的结构及网的关系。
　　为方便起见,引用无穷远点,∞(l)或∞(AB)表示在直线 或AB方向上的无穷远点。这样任两条平行线与交于∞(l)=∞(AB)。由此易见平面上任意四个正常点均能产生默比斯网。图1表示一平行四边形OABC生成的默比斯网的一部分。
　　二、默比斯网的性质
　　引理1:任意四个正常有理点的连线交于有理点,故它们所生成的网的顶点含在有理点集Q�1×Q�2中。
　　引理2:平面坐标系XOY中点O(0,0)、A(1,0)、B(0,1)、C(1,1)生成的网的顶点集为有理点集。
　　引理3:设ABCD生成网Λ,则它们的射影对应点A′B′C′D′生成Λ的射影对应网Λ′。
　　引理4:设Λ=Λ(ABCD),AB与CD交于E,AC与BD交于F,P为平面ABCD上任一点,过P作EF的平行线GHIJ,其中GHIJ分别为此直线与直线BD,CF,AB,CD的交点,则点P∈Λ的充要条件是GP/PH,IP/PJ均为有理数。
　　引理5:坐标平面上的任意四个正常有理点均生成有理网。结论得证:
　　定理1:设KLMN是Λ(ABCD)中任意四个正常点,则Λ(ABCD)=Λ(KLMN)。
　　推论1:任何两个不同的默比斯网不能有四个公共的正常点。
　　定理2:设Λ=Λ(ABCD),以A为原点,AB,AC为单位向量建立坐标系,记D点的坐标为(ε�1,ε�2),则Λ的顶点集为下列点全体:
　　定理2给出了判断平面上任一点是否在某默比斯网的充要条件。
　　三、两个默比斯网的关系
　　引理6:在坐标平面XOY中的一个默比斯网Λ,V(Λ)至少有三顶点是OY轴上的有理点,则V(Λ)∩oy={o}×Q。且网中含有可数条直线与OY平行,它们在R�2中稠密。
　　由引理6直接得:
　　推论2:网中含有平行直线的充要条件是网中存在共线三点ABC,使得AB/BC∈Q。此时,网中含有可数条平行直线,且在平面中稠密。
　　由推论1、2,可得:
　　推论3:默比斯网或者不含平行线,或者只有一簇在平面内稠密的平行线,或者有理网(含可数簇平行线)。
　　引理7:设Λ为平面α上的两个默比斯网,如果存在一条直线L,使至少包含三点,则。
　　综上所述,可得:
　　定理3:一个平面上任意两个默比斯网只能有如下关系:
　　1.没有公共顶点;
　　2.只有一个公共顶点;
　　3.只有两个公共顶点;
　　4.只有三个不共线的公共顶点;
　　5.所有公共顶点均含在某直线上;
　　6.除去一个公共点,其余均含在一条直线上。
　　下面举例说明,定理3所述情形均会发生。为方便起见,下面所取坐标系为直角坐标系XOY。
　　1.V(Λ)的Q×Q平移(2,2)所得,易见Q×Q∩V(Λ)=�;
　　2.V(Λ)由Q×Q绕原点转π3所得,易见Q×Q∩V(Λ)=(0,0);
　　3.取Λ由(0,0)、(1,0)、(0,1)、(2,2)生成,由定理2的点生成公式,可求出两点(0,0)(1,0)为仅有两个公共点;
　　4.取Λ由(0,0)(0,1)(1,0)(2,3)生成。可求出仅有三个公共点;
　　5.取Λ由(0,0)(0,1)(2,0)(2,1)生成。此时如定理3中的情形5;
　　6.取Λ由(0,0)(0,1)(1,0)(1,2)生成。此时如定理3中的情形6。
　　四、结论
　　本文在完成了默比斯网的构造后,了解其结构,并深入探讨默比斯网的性质,同时对两个默比斯网的关系作了研究,最后给出具体实例加以确定。
　　
　　参考文献:
　　[1]希尔伯特,S.康福森.直观几何(上册).
　　[2]方德植,陈奕培.射影几何.
　　[3]李炯生,查建国.线性代数.科大出版社.
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