概率问题_倾听概率问题的“弦外之音”

　　摘要:高中阶段的概率问题不外乎等可能事件、互斥事件、相互独立事件,但往往所求事件较为隐晦,需要揭示其言下之意,倾听其“弦外之音”,理清事件的结构组成关系才可解决,本文就此对常见的概率问题作些探讨.
　　关键词:概率问题;“弦外之音”
　　
　　高中阶段的概率问题以等可能事件、互斥事件、相互独立事件为主,对于一般事件的概率只要解决即可,但对一些较为隐晦的事件,一定要倾听概率问题的“弦外之音”,把握问题的本质,才能解决问题. 下面举例说明.
　　例1(2005江苏)某人射击一次,击中目标的概率为,假设此人连续两次未击中目标就被终止射击.求此人恰射击5次被终止的概率.
　　解析因为“连续两次未击中目标就被终止射击”, 所以“此人恰射击5次被终止”的“弦外之音”是第4次、第5次均未中,第3次击中(否则第4次已被终止),且前两次至少击中1次(否则第2次已被终止).
　　设此人第i次击中目标为事件Ai(i=1,2,3,4,5),则事件“此人恰射击5次被终止”可表示为:()A3()?摇又P()=1-=,各次射击相互独立,故所求事件的概率为
　　P()P()P(A3)[1-P()P()]=••1-•=.
　　例2(2005江西)A,B两同学各有5张卡片,现以投掷均匀硬币的形式进行游戏. 当正面朝上时A赢一张卡片,否则B赢一张. 当某人赢得所有的卡片,则游戏终止. 求投掷硬币的次数不大于7的概率.
　　解析本题的“弦外之音”较为复杂. 显然每掷一次A赢的概率是,根据游戏规则,至少掷5次才能终止游戏. 下面就掷5次、6次、7次逐一讨论.
　　(1)若掷5次A赢,终止游戏,则这5次A全赢,概率为5. 当然B也可以赢,
　　故若掷5次终止游戏的概率是2×5.
　　(2)若掷6次A赢,显然第6次A赢,而且第5次A也要赢(否则若A第5次输掉一张卡片,第6次又赢回一张,相当于第6次后A的卡片数是第4次掷完后的数,这个数最多是9张,即A不可能赢);前4次若A全赢,则掷第5次是游戏终止;前4次若A至多赢3次,则掷完6次后,A至多赢4张,这样就产生了矛盾,所以掷6次游戏终止不可能.
　　(3)若掷7次A赢,终止游戏,“弦外之音”为第6次、第7次A全赢且前5次A恰赢4次输1次,其概率为:••C4. 所以掷7次终止游戏的概率是2•••C4.
　　综上(1)(2)(3),投掷硬币的次数不大于7次的概率是2×5+2•••C4=.
　　引申以上解析是分析“投掷硬币的次数不大于7次”事件的所有可能,事实上,这个问题可以代数化,设ξ为游戏终止时投掷硬币的次数,正面朝上的次数为m,反面朝上的次数为n,其中m,n,ξ均为不大于7的自然数,由题意知m-n=5,m+n=ξ. 所以当m=5,n=0或m=0,n=5时ξ=5;当m=6,n=1或m=1,n=6时ξ=7.
　　所以P(ξ≤7)=P(ξ=5)+P(ξ=7)=25+2C7=.
　　例3(2005全国文)甲、乙两队进行一场排球比赛,单局比赛甲获胜的概率为0.6,本场比赛采取五局三胜制,即先胜三局的队获胜,比赛结束. 假设各局比赛相互之间没有影响,求乙队以3∶2获胜的概率(精确到0.001).
　　解析因为本场比赛采取五局三胜制,即先胜三局的队获胜,乙队以3∶2获胜,所以其“弦外之音”是必须打满5局,且第5局乙胜,前4局乙恰胜2局,又乙胜的概率为1-0.6=0.4,
　　故所求的概率为:C×0.42×0.62×0.4≈0.138.
　　引申单局比赛甲获胜的概率为0.6,大于乙获胜的概率,所以采取七局四胜制比五局三胜制对甲队更有利,正所谓“路遥知马力”.
　　例4某食品出厂前要经过五项指标的检验,如果两项及两项以上不合格就不准出厂. 五项指标的检验是相互独立的,每项指标不合格的概率是0.2. 求直到五项指标全部检验完毕才确定该食品是否可以出厂的概率.
　　解析根据能否出厂的要求,“直到五项指标全部检验完毕才确定该食品是否可以出厂”的“弦外之音”就是第五项指标若合格即可出厂,否则就不能出厂,也就是说前四项指标有且只有一项不合格(否则若前四项全合格,无论第五项合格与否,五项指标至多有一项不合格,则第四项检验后就可以确定出厂;若前四项中有两项及两项以上不合格,第四项检验后就可以确定不能出厂),故直到五项指标全部检验完毕才确定该食品是否可以出厂的概率是C•0.21•0.83=0.409 6.
　　例5 如果早上送报纸的时间是7:00―8:00,某人上班出发的时间是7:30―8:30,而且送报纸和上班出发的时间都是随机的,求此人在上班前能看到报纸的概率.
　　解析“在上班前能看到报纸”其“ 弦外之音”就是送报纸的时刻要早于上班出发的时刻.
　　故可以设7:00对应第0分钟,送报纸的时刻为第x分钟,上班出发的时刻为第y分钟,则x,y应满足0≤x≤60,30≤y≤90,x≤y.问题转化为线性规划与几何概型问题,如图1.
　　故所求的概率为?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇
　　P===1-=1-=.
　　由以上例题解析的过程,我们发现“弦外之音”的揭开往往要用到反证法,而且揭开概率问题“弦外之音”的一般流程是:(以例1说明)
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