【例说学生逆向思维的培养】 成功者的12个逆向思维
上海崇明中学202150 摘要：思维定式在数学学习中有它积极的一面，同时也具有消极因素的一面. 本文通过6个例子浅谈在高三数学教学中如何突破思维定式和培养逆向思维.
关键词：思维定势；逆向思维；反证法
思维定式在数学学习中有它积极的一面，因为定式思维作为人们的一种基本思维形式，在形成中学生理性思维中发挥着独特的作用，但它同时具有消极因素的一面也不容忽视. 笔者从另外一个角度出发，浅谈自己在高三数学教学中破除思维定式消极的因素和培养学生逆向思维的一些体会.
例1 （2005上海）对定义域是Df，Dg的函数y=f（x），y=g（x），
规定函数h（x）=f（x）g（x），当x∈Df且x∈Dg，
f（x），当x∈Df且x∉Dg，
g（x），当x∉Df且x∈Dg.
（1）若函数f（x）=，g（x）=x2，写出函数h（x）的解析式；
（2）求问题（1）中函数h（x）的值域；
（3）若g（x）=f（x+α），其中α是常数，且α∈［0，π］，请设计一个定义域是R的函数y=f（x），及一个α的值，使得h（x）=cos4x，并予以证明.
解析第（1）小题和第（2）小题的答案分别是
（1）h（x）=
，x∈（－∞，1）∪（1，+∞），
1，x=1；
（2）函数h（x）的值域是（－∞，0］∪{1}∪［4，+∞）. 下面仅解第（3）小题.
解法1令f（x）=sin2x+cos2x，α=，
则g（x）=f（x+α）=sin2x+
+cos2x+
=cos2x－sin2x，
于是h（x）=f（x）・f（x+α）=（sin2x+cos2x）・（cos2x－sin2x）=cos4x.
解法2令f（x）=1+sin2x，α=，
则g（x）=f（x+α）=1+sin2x+
=1－sin2x，
于是h（x）=f（x）・f（x+α）=（1+sin2x）・（1－sin2x）=cos4x.
点评第（3）小题虽然不算很难，但高考失分率却很高. 主要的原因就是受思维定式的影响，在平时练习时学生们习惯正面使用三角函数中的二倍角公式cos4x=1－2sin22x=2cos22x－1=cos22x－sin22x，而不会逆向使用公式. 其实，若从反面思考，逆向使用公式，1－2sin22x=2cos22x－1=cos22x－sin22x=cos4x，再因式分解，则有cos4x=（1+sin2x）（1－sin2x）=（cos2x+1）（cos2x－1）=（sin2x+cos2x）（cos2x－sin2x）. 这时，我们就不难构造出类似的较多的函数，从而解决此题.
例2 判定如下命题的真假：在△ABC中，若acosB=bcosA，则△ABC为直角三角形或等腰三角形.
解析该命题为真命题.
在上课时，笔者要求学生们进一步写出这个命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判定这些命题的真假. 学生们一开始很不重视，认为这是一件很简单的事，不料在写否命题和逆否命题时马上就感到束手无策了. 一部分学生们的答案是逆否命题为“若△ABC不是直角三角形或等腰三角形，则acosB≠bcosA”；否命题为“若acosB≠bcosA，则△ABC不是直角三角形或等腰三角形”. 其实逆命题也为真命题，而逆否命题应该和原命题等价，否命题也应该和逆命题等价，但学生写出的两个命题都是假的. 问题在哪里呢？问题就出在学生们缺乏反面思考的能力，即出在对结论的“否定”上！其实“A或B”的“否定”是“非A且非B”；“A和B”的“否定”才是“非A或非B”.
点评教师在教学时，要经常有意识地引导学生注意数学概念、命题（或判断）、推理（或计算）和论证中的反面意义，例如教师可以让学生经常进行四种命题的练习，或是要求学生合理地表达对一些定义的否定等.
在下例中，学生往往从“正面”进攻，殊不知，“反面考虑”更加简捷.
例3（1987全国）已知空间的四个点E，F，G，H，命题甲：点E，F，G，H不共面；命题乙：直线EF和GH不相交，那么（）
A. 甲是乙的充分条件
B. 甲是乙的必要条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
解析由题意可知甲的否命题为“点E，F，G，H共面”；乙的否命题 为“直线EF和GH相交”. 易知“⇒”等价于它的逆否命题“甲⇒乙”，故答案选A.
点评“正难则反”，显然“反面考虑”更简捷.
例4 一个口袋里装有大小相同的10个小球，给它们分别编上1至10的十个号码，现在一次任意摸出两个球，则它们的号码和大于7的概率为 .（用分数表示）
解析从口袋中一次任意摸出两个球，令这两个球的编号分别为i，j，可得号码为i+j的一种结果. 这样该实验等可能出现的结果有C种.
解法1既然两个球是一次摸出，就无须考虑i和j的先后顺序，故“不妨假设”i7，则从“反面考虑”A的对立事件为i+j≤7. 当i+j≤7时，由2≤2i1）.
（1）证明：函数在（－1，+∞）上为增函数；
（2）用反证法证明方程f（x）=0没有负数根.
证明仅证第（2）小题.
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