聚焦一线两圆中的等腰三角形|等腰直角三角形内接圆

　　我曾经在数学课上问过初一学生这样一个问题：“在数学课上你们要学什么？”有的同学说：“学知识、学概念、学法则。”有的同学说：“学习解题的方法、策略。”我对他们的回答都给予了肯定，尤其表扬了一下后者，因为学习数学的解题方法远比具体的知识更重要。为此，教师在教学过程中要特别注重对学生进行解题方法和策略的指导，进而使学生增强解题的能力，即要求学生在解决问题时要善于总结解题的方法，注重研究解题的关键点，从而做到触类旁通、举一反三。在数学学科中，常有寻找满足条件的图形的探索题。下面我就结合自己的教学实践，在此重点探讨一下初中数学中寻点构造等腰三角形这类问题。
　　问题：八年级上册（苏教版）数学第一章“轴对称图形”中，学习了等腰三角形之后，教师可向学生出示下面的题目：如图1，在正方形ABCD所在的平面上找一点P，使得△PAB、△PBC、△PCD、△PAD都是等腰三角形，符合条件的点P有几个？
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　　研究：已知一条线段AB，寻找一点P使得△PAB为等腰三角形，这样的点P在哪儿呢？
　　答：点P在线段AB的垂直平分线上和分别以点A、B为圆心，AB长为半径的圆上（点P不与线段AB共线）。如图2，图中的点P1、P2、P3都能使△PAB为等腰三角形。由此可见，点P只能在这样的一线两圆上。
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　　解决：如果让学生讨论了上述研究后，再解决数学中的一些问题，学生就能得心应手了。
　　例如：问题中的题目如图1在正方形ABCD所在的平面上找一点P，使得△PAB、△PBC、△PCD、△PAD都是等腰三角形，符合条件的点P有几个？
　　分析：大多数学生看到题目之后，没有明确的思路，学生们最先找到的是正方形对角线的交点，能力好的同学可能会多找几个，但是学生很难找齐全。造成这种结果的原因是学生没有正确的寻找方法，只是凭感觉，因此解此题就感觉是像在大海里捞针一样。
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　　如果我们按照上面研究的方法画出正方形中四条边长的所有一线两圆，如图3，答案就显而易见了，共有9个点符合要求。这样做不仅不会出现漏解、错误，而且速度很快。如果学生能在解决上述问题时善于总结解题的方法策略――在一线两圆中找等腰三角形，那么解决类似的问题就不再会感到困难了。
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　　例1：如图4，在等边△ABC所在的平面上找一点P，使得△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形，符合条件的点P有几个？
　　解析：很多学生首先找到的是三条边的垂直平分线的交点，再找其他的点就感觉很困难了，但按照画一线两圆的办法画出等边三角形三边的一线两圆（如图5），就可以快速地找到符合条件的点，共有10个。
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　　例2：如图6，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（-1，0），点B的坐标为（0，■），坐标轴上是否存在点M使得△MAB为等腰三角形。若存在，请写出点M的坐标；若不存在，请说明理由。
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　　解：如图7，先在平面直角坐标系中画出一线两圆，观察寻找一线两圆与坐标轴的交点，这些点即为符合条件的点M。点M的坐标为M1（0，2+■）、M2（-3，0）、M3（0，-■）、M4（0，■-2）、M5（1，0）、M6（0，■）。
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　　总之，只要是这种“已知一条线段，在一定的图形上寻找一点，使得点和线段构成的三角形是等腰三角形”这样的问题，都可以用画一线两圆的办法来解答。在学习中，教师要注重培养学生解决问题的方法和策略，让学生形成较强的解决问题的能力。
　　（责编 张晶晶）
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