试验统计方法考试 [试验统计方法考试例题]

已知某种鱼平均体重μ=300g，标准差为σ=9.5g，改良后，随机抽取9条鱼，重量分别为（g ）：308，305，311，298，315，300，312，294，320，问改良后鱼体重是否有变化。

解：H 0：μ=300g, HA ≠300g, α=0.01 =y i /N =307 u=

=2.113

u 0.05=1.96, u0.015=2.58 u 0.05

差异显著，应拒绝H 0，接受H A ，认为鱼有品种改良。

已知某玉米单交种群的平均穗重为300g ，经喷药处理过得玉米种群随机抽取9个果穗，其穗重分别为308，305，311，298，315，300，321，294，320g ，问喷药与否的果穗重差异是否显著？

∑

解:1． 无效假设：

备择假设： 2．运用t 分布

y i /N =307 =

t =-μ0=307-300 S 2.83 =2.47

3． 查t 临界值表得：DF=9-1=8

∑

4． 比较：

∴拒绝H0，接受，即 ≠u ，或者说样本平均数和总体平均数之间存在显著差异，故P

5． 结论： 喷药后的果穗重与原果穗重差异显著。

某家禽研究所对粤黄鸡进行饲养对比试验，试验时间为60天，增重结果如表，问两种饲料对粤黄鸡的增重效果有无显著差异？ 表 粤黄鸡饲养试验增重

•解：题目没有明确告之配对方式，所以是非配对资料，也就是成组数据

2

=705.625、n =n =8S =288.839，2=696.125、1211 此例 ，经计算得

2

S 2=138. 125

1、 提出无效假设与备择假设

1 ≠2 ， H 0： 1 = 2 H A ： μ μ

2

S ===7.306 因为 1- 2

-705. 625-696. 125 于是 t = 12 = =1. 300S 1-27. 306

8-1 + 8-1 =14 df =(n 1-1) +(n 2-1) =

3、查临界值，作出统计推断 当df=14时，查 临 界 值 得 ： t 0.05（14） = 2.145 ，|t | 0.05，故不能否定无效假设 H 0 μ 1 = μ ， 表明 两 种饲料饲喂粤黄鸡的增重效果差异2不显著，可以认为两种饲料的质量是相同的。

用家兔10只试验某批注射液对体温的影响，测定每只家兔注射前后的体温，见表。设体温服从正态分布 ，问注射前后体温有无显著差异？ 表 10只家兔注射前后的体温

μμ

解：配对方式：自身配对，

•自身配对：指同一试验单位在二个不同时间上分别接受前后两次处理，用其前后两次的观测

值进行自身对照比较；或同一试验单位的不同部位的观测值或不同方法的观测值进行自身对照比较。

1、提出无效假设与备择假设 H 0 ： μ d = 0 ，即假定注射前后体温无差异 H A ： μ d ≠ 0 ，即假定注射前后体温有差异 2、计算t 值 经过计算得 =-0. 73,

S =S d n =0. 445=0. 141

-0. 73

故 t ===-5. 177

S 0. 141

且 df = n - 1 =10-1=9

3、查临界t 值，作出统计推断 由df =9,查t 值表得： t 0.01（9）=3.250， 因为 |t |>t 0.01

，P

体温差异极显著，这里表现为注射该批注射液可使体温极显著升高。

•现从

8批仔鱼中每批选出性别相同、体重接近的仔鱼两尾进行饲料对比试验，将每批两头仔

鱼随机分配到两个饲料组中，时间30天，试验结果见表。问两种饲料喂饲仔鱼增重有无显著差异？

表 仔鱼饲料对比试验 单位：kg

同源配对 ：将来源相同、性质相同的两个个体配成一对，如将畜别、品种、窝别、性别、年龄、体重相同的两个试验动物配成一对，然后对配对的两个个体随机地实施不同处理。

1、提出无效假设与备择假设 H 0： μ d = 0 ，即假定两种饲料喂饲仔猪平均增重无差异 H A ： μ d ≠ 0 ，即假定两种饲料喂饲仔猪平均增重有差异 2、计算t 值 计算得 =0. 975, S =S d n =0. 57268=0. 2025

0. 975 t ===4. 815S 0. 2025 故

且 df =n -1=8-1=7

3、查临界t 值，作出统计推断 由df =7，查 t 值 表 得 ： t 0.01（7） = 3.499， 因 为|t |>3.499，P

一般说来，相对于非配对设计，配对设计能够提高试验的精确性。

在研究饮食中缺乏维生素E 与肝中维生素A 的关系时，将实验动物按性别，体重等配成8对，并将每对中的两头实验动物用随机分配法分配在正常饲料组和维生素E 缺乏组，然后将实验动物杀死，确定其肝中的维生素A 的含量，其结果如表，试检验两组饲料对实验动物肝中维生素A 含量的作用是否有显著诧异。

表 不同饲料饲养下试验动物肝中的维生素A 含量

条件配对：将具有相近条件的个体配成对子。如将性别、年龄、体重相近的个体进行配对，以消除这些因素对实验结果的影响。 解:

∴拒绝，接受： ≠0 ，即平均数差与零具有极其显著差异，P

抽测5个不同品种的若干头母猪的窝产仔数，结果见表6-12，试检验不同品种母猪平均窝产仔数的差异是否显著。

表6-12 五个不同品种母猪的窝产仔数

这是一个单因素试验，k =5,n =5。现对此试验结果进行方差分析如下： 1、计算各项平方和与自由度

C =T 2/kn =2652/(5⨯5) =2809.00

2 SS T =y ij -C =(82+132+ +142+132) -2809.00

=2945.00-2809.00=136.00

11

SS t =T i . 2-C =(512+412+602+482+652) -2809.00

n 5

=2882.20-2809.00=73.20

SS e =SS T -SS t

=136. 00-73. 20=62. 80

df T =kn -1=5⨯5-1=24,

df t =k -1=5-1=4, df e =df T -df t =24-4=20

2、进行F 检验

SS t F= t 5.83

SS e

e

根据df 1=df t =4,df 2=df e =20查临界F 值 得：F 0.05(4,20) =2.87,F 0.01(4,20) =4.43

因为F ＞F 0.01(4,20)，即P ＜0.01，表明品种间产仔数的差异达到1%显著水平。

∑∑∑

3、多重比较 采用新复极差法，各处理平均数多重比较表见表。

因为MS e =3.14,n =5，所以为： S

SE ===0.793

LSR a , k =SSR a (df e , k ) SE

根据df e =20，秩次距k =2，3，4，5由附表6查出α=0.05和α=0.01的各临界SSR 值，乘以 SE =0.7925， 即得各最小显著极差，所得结果列于表。

表6-15 SSR 值及LSR 值

不同品种母猪的平均窝产仔数多重比较表(SSR 法)

将表6-14中的差数与表6-15中相应的最小显著极差比较并标记检验结果。

检验结果表明：5号品种母猪的平均窝产仔数极显著高于2号品种母猪，显著高于4号和1号品种，但与3号品种差异不显著 ；3号品种母猪的平均窝产仔数极显著高于2号品种，与1号和4号品种差异不显著；1号、4号、2号品种母猪的平均窝产仔数间差异均不显著。五个品种中以5号品种母猪的窝产仔数最高，3号品种次之， 2号品种母猪的窝产仔数最低。

豌豆杂交试验得到80朵黄花，34朵白花，问此结果是否符合3∶1的分离规律？

解: H0:Oi =Ei ,

df=2-1=1,所以须做连续性矫正, 自己解

，∴ 接受H0,Oi 与Ei 无显著差异，P>0.05 结论：试验结果符合3：1的分离规律。

[例7.6] 两对等位基因遗传试验，如基因为独立分配，则F2代的四种表现型在理论上应有9∶3∶3∶1的比率。有一水稻遗传试验，以稃尖有色非糯品种与稃尖无色糯性品种杂交，其F2代得表7.5结果。试检查实际结果是否符合9∶3∶3∶1的理论比率。 表7.5 F2代表型的观察次数和根据9∶3∶3∶1算出的理论次数

首先，按9∶3∶3∶1的理论比率算得各种表现型的理论次数E ， 如稃尖有色非糯稻 E =743×(9/16)=417.94， 稃尖有色糯稻 E =743×(3/16)=139.31，…。

H 0：稃尖和糯性性状在F2的分离符合9∶3∶3∶1； H A ：不符合9∶3∶3∶1。 显著水平： =0.05。 然后计算 χ 2 值

73. 062(-63. 31) 2(-49. 31) 239. 5622

χ=+++=92. 696

417. 94139. 31139. 3146. 44

2

因本例共有k =4组，故 =k -1=3。查附表6， χ 0 . 05 ， 3 =7. 815 2

χ 02 . 05 , 现实得 χ = 92 . 696 > , 3, 所以否定H 0，接受HA ，即该水稻稃尖和糯性性状

在F2的实际结果不符合9∶3∶3∶1的理论比率。

这一情况表明，该两对等位基因并非独立遗传，而可能为连锁遗传。

某猪场用80头猪检验某种疫苗是否有预防效果。结果是注射疫苗的44头中有 12 头发病，32头未发病；未注射的36头中有22头发病，14头未发病，问该疫苗是否有预防效果？

解:先将资料整理成列联表 2×2列联表

2、 提出无效假设与备择假设

H 0：发病与否和注射疫苗无关，即二因子相互独立。 H A ：发病与否和注射疫苗有关，即二因子彼此相关。 3、 计算理论次数

根据二因子相互独立的假设，由样本数据计算出各个理论次数。二因子相互独立，就是说注射疫苗与否不影响发病率。也就是说注射组与未注射组的理论发病率应当相同，均应等于总发病率34/80=0.425=42.5%。依此计算出各个理论次数如下： 注射组的理论发病数： Ｅ11=44×34/80=18.7

注射组的理论未发病数： Ｅ12=44×46/80=25.3 未注射组的理论发病数： Ｅ21=36×34/80=15.3，

未注射组的理论未发病数：

Ｅ22=36×46/80=20.7 24、 计算 值

c

(|12-18. 7|-0. 5) 2(|32-25. 3|-0. 5) 22

χc =+

18. 725. 3 2

2(|14-20. 7|-0. 5) (|22-15. 3|-0. 5) +

+ 20. 715. 3

=7. 944

5、 由自由度df =1查临界χ2值，作出统计推断 2

2χ 因为 χ0.01（1） = 6 . 6 3 ， 而 c =7.944>χ20.01（1），P

表明发病率与是否注射疫苗极显著相关，这里表现为注射组发病率极显著低于未注射组，说明该疫苗是有预防效果的。

在进行2⨯2列联表独立性检验时，还可利用下述简化公式计算：χ c 2

(O 11O 22-O 12O 21-T ../2) 2T .. 2

χc =

R 1C 2 1R 2C 不需要先计算理论次数，直接利用实际观察次数Ｏij ，行、列总和Ｒi 、Ｃj 和总总和T .. 进行计算 ，且舍入误差小。 2

2

c

χ

80

(|12⨯14-32⨯22|-) ⨯80

χ==7. 944

34⨯46⨯36⨯44

【例】在四川白鹅的生产性能研究中，得到如下一组关于雏鹅重（g ）与70日龄重(g)的数据，试建立70日龄重(y ) 与雏鹅重(x ) 的直线回归方程, 并检验回归关系的显著性 。

表8-1 四川白鹅雏鹅重与70日龄重测定结果 （单位：g ）

1、作散点图 以雏鹅重（x ）为横坐标，70日龄重（y ）为纵坐标作散点图。 2、计算回归截距a ，回归系数b ，建立直线回归方程 首先根据实际观测值计算出下列数据： =x /n =1182/12=98. 5 =y /n =32650/12=2720. 8333 22

x 2-(∑x )/n =118112-(1182)/12=1685. 00 SS x =

(x )(y ) 1182⨯32650 SP =xy -=3252610-=36585. 00

xy n 12

22

SS y =y 2-(∑y )/n =89666700-(32650)/12=831491. 67

进而计算出b 、a ：

b =SP xy =36585=21. 7122 SS x 1685. 00 = - a b =2720. 8333-21. 7122⨯98. 5=582. 1816

∑∑∑

∑

∑

得到四川白鹅的70日龄重y 对雏鹅重x 的 直线回归方程为：

ˆ=582. 1816+21. 7122x y

r=SPxy/

= 0.977404

r> r10,0.05=0.576，所以回归关系显著

设某食品感官评定时，测得食品甜度与蔗糖浓度的关系如下表，试求y 对x 的直线回归方程。

解

所求直线回归方程为： r> r5,0.05=0.754，所以回归关系显著。

【例】 某水产研究所为了比较四种不同配合饲料对鱼的饲喂效果，选取了条件基本相同的鱼20尾，随机分成四组，投喂不同饲料，经一个月试验以后，各组鱼的增重结果列于下表。

表6-2 饲喂不同饲料的鱼的增重（单位：g ）

这是一个单因素试验，处理数k =4，重复数n =5。各项平方和及自由度计算如下： 矫正数 C =T 2/nk =550.82/(4⨯5) =15169.03 2 总平方和 SS T =∑∑y ij -C

=31.92+27.92+ +28.52-C

=15368. 7-15169. 03=199. 67

处理间平方和

1SS t =T i 2-C n 1 2222=(155.9+131.4+123.7+139. 8) -C 5 =15283. 3-15169. 03=114.27

处理内平方和

SS =SS T -SS t e

=199. 67-114. 27=85. 40

总自由度 df T = nk -1=5⨯4-1=19

处理间自由度 df t =k -1=4-1=3

处理内自由度 df e =df T -df t =19-3=16

用SS t 、SS e 分别除以df t 和df e 便得到处理间均方MS t 及处理内均方MS e 。

MS t =SS

t /df t =114. 27/3=38. 09

MS e =SS e /df e =85. 40/16=5. 34

因为

F =MS t /MSe =38.09/5.34=7.13**；

根据 df 1 = df t = 3 ， df 2 = df e = 16 查附表4，

得F 0.01(3，16) ；

因为 F ＞F 0.01(3，16) =5.29, P ＜0.01

表明四种不同饲料对鱼的增重效果差异极显著，用不

同的饲料饲喂，增重是不同的。

因为 S i . -j . ===1.462

查t 值表得：

t 0.05(dfe) =t 0.05(16) =2.120

t 0.01(dfe) =t 0.01(16) =2.921

所以，显著水平为0.05与0.01的最小显著差数为

LSD =t 0. 050. 05(df e ) S i . -j . =2. 120⨯1. 462=3. 099

LSD 0. 01=t 0. 01(df ) S -=2. 921⨯1. 462=4. 271e i . j . ∑

表6-4 四种饲料平均增重的多重比较表 (LSD 法)

以A 1饲料对鱼的增重效果最佳。