奇数阶幻方的填法 [再谈奇数阶幻方的填法]
《小学教学参考》（数学版）2012年第1期第72～73页发表了张平奎老师的文章，拜读之后，深为张老师的钻研精神所感动。但我们认为张老师文中的部分观点有待商榷，同时，张老师在最后提出的疑问也是能够解决的。现借此机会抛砖引玉，引发大家对这类问题的更多探究。
一、幻方的古典定义和分类
一般来说，将a2个数填入一个 a行× a列（ a≥3）的方阵中，如果每行、每列、两条主对角线上的数相加和都等于一个常数,那么这个 a行× a列的方阵就称为 a阶幻方，这个常数称为幻和。（当然，有的幻方还要求每行、每列、主对角线、次对角线上的数相加和都相等，这类幻方称为全对称幻方；小学一般不研究全对称幻方，只研究普通的幻方）如果 a是奇数，这类幻方称为奇数阶幻方；如果 a是偶数，这个幻方称为偶数阶幻方。平时我们所说的九宫格就是一个3阶幻方，它属于一种最简单的奇数阶幻方。限于主题，我们只讨论研究奇数阶幻方。
二、奇数阶幻方的一般填法
奇数阶幻方的填法确实很多，但最简便且操作性强的就是“罗伯法”（罗伯是法国的一位数学研究人士）。我们以1到25填入一个5阶幻方为例来说明“罗伯法”。第一步，排列。可以从小到大或从大到小排成一列，即1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、17、18、19、20、21、22、23、24、25或25、24、23、22、21、20、19、18、17、16、15、14、13、12、11、10、9、8、7、6、5、4、3、2、1。第二步，分组。因为是5阶幻方，就以5个数为一组（a阶幻方就以a个数为一组），这样共分成5组（1，2，3，4，5；6，7，8，9，10；11，12，13，14，15；16，
17，18，19，20；21，22，23，24，25或25，24，23，22，21；20，19，
18，17，16；15，14，13，12，11；10，9，8，7，6；5，4，3，2，1）。第三步，填数。先把第一组的第一个数填入上面一行的正中间，然后依次向右上角填数，上面出格填同列的最下面格，右面出格填同行的最左边格，如图1。第1组填完后填第2组，每组的第1个数一定要填在前一组最后一个数的下面，另外规则同前面一样，如图2。最后把这5组数填完，如图3，这个5阶幻方的幻和是65。通过比较，我们发现张老师的方法就是“罗伯法”的第三步，而且，如果直接用“罗伯法”就省去了张老师原文中的例5这种情况。此时，我们发现用“罗伯法”步骤清楚，操作性强，一般学生都能学会，适合大面积推广。
这里我们强调，“罗伯法”只适用于奇数阶幻方，而且这些构成奇数阶幻方的数最好是连续的等差数列。如果不是连续的等差数列有些也能构成奇数阶幻方，但不用先排列（省去第一步），只要按一定的方法先分组，然后直接按第三步填即可，这种情况我们会在下面重点阐述。
三、怎样的数集才能构成奇数阶幻方
1.能构成一列完整等差数列（公差可以是任意数）的（2n-1）2个数一定能构成奇数阶幻方。这个观点和张老师的第一个观点类似，这里不做展开。
2.对张老师的第二个观点，即“如果不是全部连续排列的（2n-1）2个数，但是先有（2n-1）个数是连续排列，中间相距k（2n-1）个数［（k∈Z），也是（2n-1）个的k倍数这个条件，否则就不满足幻和全一样］，又有（2n-1）个数连续出现，这样重复相距和出现，直到有（2n-1）2个数为止，也可以按上面法则填写”。我们认为中括号里面的内容是不严谨的，中间不一定要相距k（2n-1）个数，可以是相距任意个数。张老师文中的例3列举的0～6、15～21、29～35、43～49、57～63、71～77、85～91这49个数中，第一组的6和第二组的15就相距了8个数，又没有相距7的倍数。我们举例说明“将1～3、9～11、17～19这9个数填成一个3阶幻方”，如图4，我们按照“罗伯法”的法则来填，幻和是30。这里3到9中间相隔5个数，5不是3的倍数，但幻方依旧成立。
3.张老师最后的疑问完全可以解决。如果（2n-1）2个数不是一个完整的等差数列，也没有出现上面的情况，甚至按从小到大或从大到小排列后还是得不到一定的规律，也就是张老师在最后提出的疑问，那该如何入手呢？我们可以尝试这样解决（以5阶幻方为例）：不妨把这25个数用a、b、c、d、e、f……y这25个字母来表示，把这25个字母先排成一个5行×5列的方阵，如图5。这个方阵必须每行的公差都相等（即a、b、c、d、e这行的公差是几，那么f、g、h、I、j这行的公差以及下面3行的公差也都要是几），每列的公差也相等（即a、f、k、p、u这列的公差是多少，那么b、g、l、q、v这列的公差以及右面3列的公差也都要是多少）。当然，每行的公差和每列的公差不必相等。如果这样我们就以第一行a、b、c、d、e作为第一组，第二行f、g、h、I、j作为第二组，第三行k、l、m、n、o作为第三组，第四行p、q、r、s、t作为第四组，第五行u、v、w、x、y为第五组，直接按照“罗伯法”的第三步来填，如图6。具体举例：有25个数（即1，2，3，4，4，5，5，6，7，7，8，8，9，10，10，11，11，
13，13，14，14，15，16，17），这25个数既没有构成等差数列，也没有出现“连续排列5个中间隔几个数又连续排列5个”这种情况。但如果我们把这25个数构成像图7这样的方阵，我们发现这个方阵每行的公差都是3，每列的公差都是1，符合刚才的情况。我们以第一行为第一组，第二行为第二组，以此类推用“罗伯法”的第三步来填，就构成了如图8的幻方，它的幻和是45。
按照这样的思路，我们只要先构建这种方阵，就能填出很多种奇数阶幻方。这样就不用再受到等差数列的条件限制了，而且能构成奇数阶幻方的数集范围也就大大拓展了。如我们先构建这样的方阵，如图9（横行公差都是2，竖列公差都是3），利用“罗伯法”就能填出这样一个3阶幻方，幻和是21，如图10。但如果把这9个数从小到大排列为2、4、5、6、7、8、9、10、12，发现不了什么规律，用张老师文中的方法也是无法解决的。
我们查阅了大量的文献资料，通过整理发现：只要能构成2n+1（n≥1）阶偏差分对称方阵的数集均能构成奇数阶幻方，而满足这一要求的数集范围十分广泛。上述“每行的公差都相等，每列的公差也都相等的方阵”只是构成偏差分对称方阵中的一种特殊情况，而等差数列又是上述“每行的公差都相等，每列的公差也都相等的方阵”中的特殊情况，因为等差数列构成方阵的话，每行和每列的公差就全部相等了。如用集合图表示它们关系的话，如图11。
由于2n+1（n≥1）阶偏差分对称方阵涉及高等数学的很多线性代数知识，这里也不做一一展开。当然，这也是我们的一些浅陋之见，敬请编辑部的专家和同行指正。
（责编 杜 华）