放飞思维:放飞思维的意思

　　在中国，小学生只要学了分数，分数的性质就能脱口而出，这无疑是令人欣慰的，至少说明学生的基础知识扎实。但如果问学生怎样去运用分数的基本性质、它有哪些典型的应用等等，能说出个子丑寅卯来的就寥若晨星了。毫无疑问，这是中国数学教学追求“多而全”决定的。西方教学着眼于“少而精”，学生的思维水平和创造能力都远远高于同龄的中国学生。因此，一线教师在教学中按各个专题对学有余力的学生进行提高是大有必要的，既有利于兴趣的提高，又有利于创造力的培养。下面，笔者结合分数基本性质的运用谈学生的思维发展。
　　一、分数的分子或分母变化时，把握住“必需成倍地变”，分数的值就不变
　　形如“的分子增加4，分母增加___，分数的大小不变”的习题，无论是平时的练习，还是各类考试中都多次出现。其本质就是一种干扰思维性的习题，一旦把握住“分子分母成倍变，分数值不变”，解决就易如反掌。
　　例 ①一个最简分数，分子、分母的和是50，如果把这个分数的分子和分母都减去5，所得分数的值为，那么原来的分数是（ ）。
　　A.　　B.　　C.　　D.
　　②一个分数如果加上一个分数单位，那么和是1；如果减去一个分数单位，那么差是，这个分数原来是多少？
　　思路简析：①作为选择题，无论从思维角度分析，还是从解题速度来看，都应该大力提倡。答案中的C、D不是最简分数，直接去掉，A中分子、分母的和是15，也舍去，因而选B。“如果不是选择题呢？”（许多教师对学生这种“打破砂锅缝（问）到底”的“死脑筋”打心眼里不喜欢，却不知科学家高比例地来自这个群体）用=或者(2y+5)+(3y+5)=50都能迎刃而解。
　　②加上一个分数单位是1，说明原分数的分子、分母相差1，因此再减去一个分数单位，分子、分母相差2，于是只能是分数用2约分后的数，所以原分数是。
　　另解：由题意可知，1和之间的差（即）是两个分数单位，于是一个分数单位就是，进而得出原分数是。
　　二、分数的拆分及其应用
　　分数的拆分有两种常见形式，一种是拆成两个埃及分数的和（分子为1的分数常称为埃及分数）。形如“=+”的习题，总是分成是否相等来分析：相等时，明显是；不等时，===+。因而，把拆成互不相等的三个埃及分数的和就轻而易举了，即=+=+=++。
　　另一种拆分是拆成两个埃及分数的差。如==＝-；==×=-。相比之下，这种拆分更有用途。
　　思路简析：①先折成两个埃及分数的差，再求和就可逐项相消，答案为1-=；②利用=×（-），原式=×（-）+×（-）+…+×（-）=×（-）=；③反复拆分后，原式=（1+）-（+）+（+）-（+）+（+）-（+）=1-=。需要说明的是，本题除了拆分法外，还可以利用归纳法求解，即先算几项，找出规律，再作猜测、归纳。
　　借助分数的基本性质，能巧妙地解决实际问题。“阿凡提巧分驴”的故事在各类少儿智力读物中屡见不鲜：“阿凡提的一个老邻居临终前留下遗嘱：‘三个儿子合分家中的17头驴，老三得，老二得，老大得。不许杀驴，否则全部送人。老邻居去世之后，兄弟三个犯难了：一方面，17不能被2、3和9整除；另一方面，++≠1。”阿凡提是怎么帮三人解了燃眉之急的呢？原来，阿凡提采用的是“借一还一”法。阿凡提先把自己心爱的小毛驴跟邻居家的17头驴放到一起，凑成18头，再让兄弟三个依次牵走9头、6头和2头，恰好只剩下阿凡提的那头小毛驴，最后把自己的小毛驴牵走，难题就迎刃而解了。我们再用分数的基本性质来看此题：显然，兄弟三个应分得驴的头数的比为︰︰，同乘以分母的最小公倍数18，头数的比变为9︰6︰2，三人所得的驴子头数不正是阿凡提提供的分配方案吗？
　　“还有其他方法吗？”教师拥有这种理念，课就会越上越活；学生坚持这种观念，数学会越学越觉得有趣。
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