求值域的例题及解析 函数值域的几种求法

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科技教育

函数值域的几种求法

杨龙婷

（河南省平顶山市理工学校

郭顾昌

河南平顶山

４６７０９＇）

摘要：函数的值域是函数的三要素之一，在学习函羲中，求函蔹的值城是重点也是难点。禹考中也经常出现事值城同意。尤其是二次函

数的最值最为常晃。

值域关键词：函数

中图分类号：０１７４文献标识码：Ａ

文章编号：１６７２—３７９ｌ（２００８）０６（ｃ）一０１５０—ｏｌ

函数的值域是函数的三要素之一，在

个值。

学习函数中，求函数的值域是重点也是难当），≠ｌ时，’．‘Ｊ∈月．‘．△４（），＋ｌ妒一

点。高考中也经常出现求值域问题，尤其１２（），一１）２≥０。

是二次函数的最值最为常见。下面就求函数的值域归结几种常见方法。

解得２一√；ｓｙｓ蔓＋垢，），≠ｌ。

１单调性法：利用函数在定义域的单调性确综上可知，函数的值［２一√；，２＋打］。

定值域的方法

注意：①要检验二次项系数是否为零；⑦对自变量限制在某一范围内时，仅用判例ｌ：求函数‘厂Ｏ）＝√ｚ＋３一√ｌ—ｘ的

别式△≥Ｏ求值域不适合。值域。

解析：先证明函数的单调性，在求值４换元法

域。

通过变量代换达到化繁为简，化难为解：要使函数有意义，必须满足ｘ＋３》

易的目的，常用来解决含无理式的问题。Ｏ，ｌ—ｘ≥０

．’．一３≤ｘ≤ｌ。

要注意引入新元后，新的函数定义域随之

而是随ｘ的增大而减小的，故

又厢是随ｘ的增大而增大的，

求出。

‘例４：求函数＇，；ｘ＋√！蠢ｉ的值域。

／Ｏ）＝√ｘ＋３一√ｌ—ｘ在【一３，ｌ】上是增函

数。

ｊ解令，：压五，州≥”．ｙ∈Ｉ毒，佃）。而ｆ（一３）＝一２，ｆ（１）＝一２，

．’．一２＝ｆ（一３）≤“ｘ）≤“１）＝２。既函数的值域是【一２，２ｌ。

函数ｙ；吾，２・，＋三＝圭（，十，罗。

２配方法

・．幢ｏ，．。一陲蜘）。

就是一元二次函数化成含有自变量的例５：求函茹；３ｃｏ；‰一４ｃｎ瓤＋１）的值

平方式与常数的和，再根据自变量的取值域。

范围确定函数的值域的方法。

分析：若令ｃｏ缸＝ｆ则ｙ－３产一４ｆ＋１，这是一例２：已知函数ｙ＝工２—４ｘ＋３，求当ｘ∈

个关于ｆ的一元二次函数，从而可求值域。

Ｒ时的值域；（２）当ｘ∈【口，＋ｍ）时的值域。

解：令ｃｏｓｘ＝ｆ，日４—１≤ｆ≤ｌ，ｙ＝３ｆ２—４ｆ＋ｌ

解（１）’．’ｙ＝ｒ一４ｘ＋３＝（工一２）２一ｌ，工∈月，

这是一个关于ｆ的一元二次函数，从而可从

．’．函数的值域是【－ｌ，＋。）利用图象求值域。由右图可知。Ｊ＝～ｌ时。

（２）。．‘ｙ＝（工一２）２一１．Ｊ≥ａ，

．‘．当时４≥２，Ｊ；２函数有最小值一ｌ。

只。＝３×卜ｌｙ一４×（＿１）＋ｌ＝＆

当＞２时，工一２≥４—２＞Ｏ，．‘．（ｘ一２）２》

（口一２）２。

，＝争‰一；

故当口＞２时，善＝２时函数有最小值为

．‘．函数ｙ＝３ｃｏｓｈ一３ｃｏｓ工＋ｌ的值域为

妒一４口＋３。

注意：配方后，要根据自变量的取值范围，结合不等式的性质或二次函数的单调［喜８］。

性求值域。

－ｙ

３判别式法

对于一个函数，能够化为关于自变量的一元二次方程，可由自变量为实数，得一元二次方程有实数解，判别式，从而确定函＼

、

数的值域。

一１

蚤／一

Ｏ

＼／ｌ

ｊＩ

佣ｓ：求函数ｙ＝参｛宝碧的值域．

【解】函数可化为（），一１）≯＋２（ｙ＋ｌｋ＋３（ｙ—１）＝Ｏ，ｘ∈Ｒ。

仞６，求函数ｙ＝ｓｉ似ｃ∞＋ｓｉ毗栅甑的值

当时ｙ≠ｌ，乒０∈月故ｙ＝１是函数的一

域。

１

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解般胆蜘黜删觚觳≯是

ｙ。下＋脚

印ｙ＝号朋：＋册一÷，（一√ｉ≤搠≤√Ｆ）

由图可知。

辨：厨，‰：掣，

Ｊ孵＝一ｌ时，只出＝一１

．・嘲…计，掣］。

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ｌ

ｍ

ｊ

５逆求法

原函数解析式），＝氕ｘ）是用工表示ｙ，通过转化为用ｙ表示工，根据的范围来得到ｙ的范围。

例５：求函数ｙ２；矗的值域。

解岫ｙ＝斋耕７２专，

・．。猷，．．．２。ｏ．。・专地

解得Ｏ

ｃ

ｙ

ｔ

１．即函数的值域为（０，１）．

例６：求函数ｙ。ｉ而的值域・ｓｉｎｘ—ｌ

解：由ｙ２磊而得到蜘ｎＪ。了号。

ｓｉｎｚ一１

．

１＋２ｙ

因为Ｊ∈足，所以一ｌ《ｓｉｎＪ《ｌ，所以

趣警＜ｌ’，既等价于等ｓｌ且

警洲，解得一２≤ｙ《。。

。既函数的值域为卜２，０１．

参考文献

【ｌ】全日制普通高级中学教科书．高一数学．【２Ｊ学习指导与检测．【３１黄冈名师点拨．

函数值域的几种求法

作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：

杨龙婷， 郭顺昌

河南省平顶山市理工学校,河南平顶山,467091科技资讯

SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION2008，

参考文献(3条)

1.全日制普通高级中学教科书.高一数学2.学习指导与检测3.黄冈名师点拨

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