【浅谈初中数学常用经典解题方法】初中数学几何模型

　　摘 要 掌握数学常用经典解题方法能有效提高学生数学学习效率，进而提高学生的数学解题能力。《数学课程标准》中明确提出了教学中“注重数学知识之间的联系，提高解决问题的能力”。初中数学教师应增强数学解题方法的教学意识，在教学过程中渗透数学常用解题方法，以提高学生的数学解题能力。
　　关键词 初中数学；常用；经典；解题方法；提高效率
　　在初中数学的学习过程中，有些学生因不会学习或学习方法不当而成绩逐渐下降，久而久之失去学习信心和兴趣，开始陷入厌学的困境，这也往往是学生明显出现“两极分化”的原因。因此重视对学生数学学习方法的指导是非常必要的。在新课程背景下，如何让初中生感到数学好学，把学数学当成一种乐趣，真正做初中数学的主人。 首先同学们要学会学习，要围绕老师讲述展开联想，理清教材文字叙述思路，听出教师讲述的重点难点，跨越听课的学习障碍，不受干扰，在理解基础上做点笔记。要开动脑筋，积极思考，多方面增加感性知识，熟记一些必需知识，发挥听觉容量的最大潜力。本人想就以下几个方面对初中数学里常用的经典解题方法进行探讨。
　　一、配方法
　　所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。
　　例1. （2010年山东宁阳）某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不超过45%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数y=kx+b，且x=65 时，y=55；x=75时，y=45．
　　若该商场获利为w元，试写出利润w与销售单价x之间的关系式，售价定为多少元时，商场可以获利最大，最大利润为多少元？
　　解析：将x=65y=55 x=75y=45代入y=kx+b中
　　55=65k+b45=75k+b k=-1b=120 ∴y=-x+120
　　∴W =（-x+120）（x-60）
　　W =-x2+180x-7200
　　配方，得：W = -（x-90）2+900
　　又∵60≤x≤60×（1+45%）即60≤x≤87则x=87时获利最多
　　将x=87代入，得W=－（87-90）2+900=891元。
　　从以上例子中可以看出，换元的主体思想就是化繁为简，化高次为低次进行简化运算。
　　三、面积法
　　平面几何中讲的面积公式以及由面积公式推出的与面积计算有关的性质定理，不仅可用于计算面积，而且用它来证明平面几何题有时会收到事半功倍的效果。运用面积关系来证明或计算平面几何题的方法，称为面积方法，它是几何中的一种常用方法。
　　用归纳法或分析法证明平面几何题，其困难在添置辅助线。面积法的特点是把已知和未知各量用面积公式联系起来，通过运算达到求证的结果。所以用面积法来解几何题，几何元素之间关系变成数量之间的关系，只需要计算，有时可以不添置补助线，即使需要添置辅助线，也很容易考虑到。
　　例5．如图， ABCD的顶点B作高BE、BF，已知BF＝7，BE=4，BC＝14，则AB＝ 。
　　解：由BC=14,BE=4,得 ABCD的面积为56，再由BF=7，求出CD=8，所以AB=8
　　例6．已知直角三角形两直角边长分别为3、4，则斜边上的高为_________.
　　解，此题先由勾股定理求出斜边长为5，再应用三角形的面积是等量，可列式
　　3×4=5x,从而求出x=2.4。
　　以上两例若用常规方法利用相似来解过程非常复杂，利用面积是恒等量来解就比较简单。这种方法也可称为等积法。
　　四、待定系数法
　　在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。它是中学数学中常用的方法之一。
　　例7．(2010·聊城)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为x＝1，且抛物线经过A(－1,0)、C(0，－3)两点，
　　与x轴交于另一点B.
　　(1)求这条抛物线所对应的函数解析式；
　　此题中的问题（1）就是考查待定系数法，其解法如下：
　　根据题意，y＝ax2＋bx＋c的对称轴为x＝1，且过A(－1,0)，C(0，－3)，可得
　　∴抛物线所对应的函数解析式为y＝x2－2x－3.
　　例8．(2009中考变式题)弹簧的长度与所挂物体的质量的关系为一次函数，其图象如图所示，则不挂物体的弹簧长度是(　　)
　　A．10 cm　　　B．8 cm　　　C．7 cm　　　D．5 cm
　　解析：设一次函数的解析式为y＝kx＋b，将(5,12.5)和(10,20)代入得
　　5k+b=12.510k+b=20 解得k=1.5b=5
　　∴y＝1.5x＋5　当x＝0时，y＝5.
　　待定系数法是求函数解析式时常用的一种方法，它是用建模思想先建立模型，然后通过模型中的未知系数（待定系数）建立方程，从而求出系数。
　　五、因式分解法
　　因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。 利用因式分解常可使复杂问题简化。
　　分析：此题先分解因式后约分，则余下首尾两数。
　　因式分解是代数的重要内容，它是整式乘法的逆变形，在通分、约分、解方程以及三角函数式恒等变形中有直接应用。
　　纵观近年的中考题，侧重考核学生数学解题方法，尤其是压轴题，考查学生是否会运用数学思想方法分析问题和解决问题。所以，在数学教学中，切实把握好上述几个典型的数学解题方法，同时注重渗透的过程，依据课本内容和学生的认识水平，有计划有步骤地渗透，使其成为由知识转化为能力的纽带，成为提高学生的学习效率和数学能力的法宝。