抽象函数的定义域 [抽象函数定义域的类型及求法]

抽象函数定义域的类型及求法

抽象函数是指没有明确给出具体解析式的函数，下面结合实例具体介绍一下抽象函数定义域问题的几种题型及求法．

有一类问题是这样的：

1） 已知函数f(x)的定义域是[0,4]，求函数f(2x+1)的定义域；

2） 已知函数f(2x+1)的定义域是[0,4]，求函数f(x)的定义域 。

我们可以把f( )看成工厂的生产加工，f 是加工工序，x 是原材料，原材料得满足一定的条件，就是定义域，（）内的是加工材料，（）是对加工材料的限制，能进入（）的，必须满足（）的条件。

在1）中f(x)的原材料就是加工材料，所以加工材料满足的条件就是[0,4]，在f(2x+1)中，加工材料是2x+1，它必须满足[0,4]；在2）中f(2x+1)的定义域是

[0,4]，即原材料x 满足[0,4]，变成加工材料2x+1,那么加工材料的限制条件就成了[1,9]， f(x)的原材料就是加工材料就是[1,9]。

一、已知f (x ) 的定义域，求f [g (x ) ]的定义域

其解法是：若f (x ) 的定义域为a ≤x ≤b ，则在f [g (x ) ]中，a ≤g (x ) ≤b ，从中解得x 的取值范围即为f [g (x ) ]的定义域．

例1 已知函数f (x ) 的定义域为[-15，]，求f (3x -5) 的定义域． 分析：该函数是由u =3x -5和f (u ) 构成的复合函数，其中x 是自变量，u 是中间变量，由于f (x ) 与f (u ) 是同一个函数，因此这里是已知-1≤u ≤5，即-1≤3x -5≤5，求x 的取值范围．

解：f (x ) 的定义域为[-15，]，∴-1≤3x -5≤5，∴≤x ≤

⎤故函数f (3x -5) 的定义域为⎡． ⎢⎥33⎣⎦4104310． 3

二、已知f [g (x ) ]的定义域，求f (x ) 的定义域

其解法是：若f [g (x ) ]的定义域为m ≤x ≤n ，则由m ≤x ≤n 确定的g (x ) 的范围即为f (x ) 的定义域．

例2 已知函数f (x 2-2x +2) 的定义域为[0，3]，求函数f (x ) 的定义域． 分析：令u =x 2-2x +2，则f (x 2-2x +2) =f (u ) ，

由于f (u ) 与f (x ) 是同一函数，因此u 的取值范围即为f (x ) 的定义

域．

解：由0≤x ≤3，得1≤x 2-2x +2≤5．

令u =x 2-2x +2，则f (x 2-2x +2) =f (u ) ，1≤u ≤5．

故f (x ) 的定义域为[15，]．

三、已知f [g (x ) ]的定义域，求f [h (x ) ]的定义域。 其解法是：可先由f [g (x ) ]定义域求得f (x ) 的定义域，再由f (x ) 的定义域求得f [h (x ) ]的定义域。

例3 函数y =f (x +1) 定义域是[-2,3]，则y =f (2x -1) 的定义域是（ ） ⎡5⎤A. ⎢0, ⎥ B. [-1,4] C. [-5,5] D. [-3,7] ⎣2⎦

解：先求f (x ) 的定义域，f (x +1) 的定义域是[-2,3]，即-2≤x ≤3， ∴-1≤x +1≤4 ，即f (x ) 的定义域是[-1,4]

再求f [h (x ) ]的定义域，∴-1≤2x -1≤4，∴0≤x ≤

⎡5⎤∴f (2x -1) 的定义域是⎢0, ⎥，故应选A ⎣2⎦5 2

四、运算型的抽象函数

求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，然后再求交集．

例4 若f (x ) 的定义域为[-3，5]，求ϕ(x ) =f (-x ) +f (2x +5) 的定义域．

⎧-3≤-x ≤5， 解：由f (x ) 的定义域为[-3，解得5]，则ϕ(x ) 必有⎨-3≤2x +5≤5，⎩

-4≤x ≤0．

所以函数ϕ(x ) 的定义域为[-4，0]．