2016高考数学全国卷1理科_高考数学知识宝典(理科76条)

76条）

编辑教师 济南三中数学组 葛爱菊 夏璐宁

2011级的同学们，祝贺你们马上高中毕业了！离高考还有20多天时间，虽然我们的枪已“模”的够快，但还需要临阵“磨一磨”，老师要叮嘱你们的话很多，首先要稳住神，仔细审题，细心计算，分分必争，书写规范，集合、复数、框图、逻辑等基础题一定得分到手；高档题特殊值，特殊函数，把你能用的原来蒙的方法在考场上都发挥出来；填空题一定考虑全面，而且要最简结果。这几天要做的就是：回归自然，回归第一轮复习的资料，回归积累本！原来积累本写的好的同学可翻阅你自己的积累本，然后回归课本，确认一下自己复习的知识点，《高三理科数学知识点和易错点专题排查》的卷子一定找出来，也可以把原来做过的卷子，周末练习，手感练习翻出来看看，能找几套找几套。本宝典是老师们送给你们的毕业礼物，帮助你们回归课本.是根据济南三中2011级学生现有的知识水平和《2014年山东省高考考试说明》制作的，是最适合你们的、世界上独一无二的高中数学考试宝典！所以要用好，最好在校期间就看完，有问题及时请老师帮助解决，不要把问题带回家，OK？另外注意如无特殊原因，请勿外传！珍惜好老师送给你们的礼物，谢谢！下面我们就开始高中数学之旅吧.

1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。

如：集合A={x|y=lgx}，B={y|y=lgx}，C={(x,y)|y=lgx}，A、B、C

中元素各表示什么？

2

例：已知全集U=R，集合A=x|y=log2(-x+2x)，B=y|y=1+

{}

{

，那么

A

ðUB=（ ）A．{x|02} D．{x|1

（代表元素不同但都是数集，可以运算）

注重借助于数轴和文氏图解集合问题。空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 例如：已知集合E={x|-2≤x

2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集∅的特殊情况。

如：集合A=x|x2-2x-3=0，B={x|ax=1}若B⊂A，则实数a的值构成的集合为

1⎫⎧

（答：⎨-1，0，⎬）

3⎭⎩

{}

3. 注意下列性质：

（1）集合{a1，a2，„„，an}的所有子集的个数是2n；

（2）若A⊆B⇔A B=A，A B=B；

（3）德摩根定律：

CU(A B)=(CUA) (CUB)，CU(A B)=(CUA) (CUB)4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）

如：已知关于x的不等式

的取值范围。

ax-5

x2-a

（∵3∈M，∴

∵5∈M时，∴

a·5-5

25或a

a·3-55

9或a

⎡5⎫

∴a∈⎢1⎪ (9,25]）

⎣3⎭

5. 可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”(∨)，“且”(∧)和

∧ q 为真，当且仅当 p 、q 均为真，一假则假，全真才真 “非”(⌝).若p

若p ∨ q 为真，当且仅当 p 、q 至少有一个为真，一真则真，全假才假

6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？（互为逆否关系的命题是等价命题。） 原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。（区分开否命题和命题的否定（非）） 7.复数的题目一定要做对，细心地做，就是考察复数概念，复数相等的充要条件，复数的代数运算和几何意义，共轭复数，复数的模等等（这道题若是你没做对，拿块豆腐拍死自己算了） 例：若复数z满足 (1+i)⋅z=i，则z的虚部为（ ）（实部和虚部都是实数！） A． -

⌝ p 若 为真，当且仅当 p

为假p与⌝p真假一定相反

i1i1

B． - C． D． 2222

8.程序框图能百分百全对吗？拿分有把握？了解算法的含义和思想，看懂有三个结构的框

图：顺序、条件分支、循环.从特殊入手执行一下程序即可.

（多写一些，运行一下）例如：已知函数 f(x)=x2+x，执行右边的程序框图，若输出

31

，则判断框中的条件应是（ ） 32

A. n≤30 B． n≤31 C．n≤32 D． n≤33

的结果是

9. 对映射的概念了解吗？映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？（一对一，多对一，允许B中有元素无原象。） 10. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？（定义域、对应法则、值域） 11. 记住求函数的定义域规则，做任何函数题目都要注意定义域优先！ 12. 如何求复合函数的定义域？（让每一个函数符号都有意义）

如：函数f(x)的定义域是a，b，b>-a>0，则函数F(x)=f(x)+f(-x)的定

[]

义域是_____________。

（答：a，-a）

[]

13. 求一个函数的解析式时,注意换元法中字母的取值范围 如：f

(

2

x+1=ex+x，求f(x).令t=x+1，则t≥0

2

)

∴x=t-1∴f(t)=et

-1

+t-1∴f(x)=e

2

x2-1

+x2-1(x≥0)

14. 如何证明函数的单调性？

注意：单调区间都是定义域的子集，且单调区间不能有“并”；取值范围该有并必须有并. （1）定义法：取值、作差、判正负；函数的单调性的等价关系

(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0⇔

f(x1)-f(x2)

>0⇔f(x)在[a,b]上是增函数；

x1-x2

f(x1)-f(x2)

x1-x2

(2)如何判断复合函数的单调性？（同增异减）

（y=f(u)，u=ϕ(x)，则y=f[ϕ(x)]（外层）（内层）

当内、外层函数单调性相同时f[ϕ(x)]为增函数，否则f[ϕ(x)]为减函数。）

（3）如何利用导数判断函数的单调性？

在区间(a，b)内，若总有f (x)≥0，则f(x)为增函数。（在个别点上导数等于

零，不影响函数的单调性），反之也对，若f (x)≤0呢？

如：已知a>0，函数f(x)=x3-ax在[1，+∞)上是单调增函数，则a的最大

值是（ ） A. 0

2

B. 1 C. 2 D. 3（或选择题解法：单调函数“代头”）

（令f (x)=3x-a=3 x+

⎛

⎝aaa⎫⎛a⎫

⎪ x-⎪≥0 则x≤-或x≥ ⎪ ⎪3⎭⎝3⎭33

a

≤1，即a≤3∴a的最大值为3） 3

由已知f(x)在[1，+∞)上为增函数，则

15. 函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？（f(x)定义域关于原点对称） 若f(-x)=-f(x)总成立⇔f(x)为奇函数⇔函数图象关于原点对称若f(-x)=f(x)总成立⇔f(x)为偶函数⇔函数图象关于y轴对称

注意如下结论：（1）在公共定义域内：奇函数⨯奇函数=偶函数；偶函数⨯偶函数=偶函数；偶函数⨯奇函数=奇函数.（2）若f(x)是奇函数且定义域中有原点，则f(0)=0。

x

a·2+a-2 如：若f(x)= 为奇函数，则实数a=x

2+1

16. 你熟悉周期函数的定义吗？（若存在实数T（T≠0），在定义域内总有f(x+T)=f(x)，则f(x)为周期函

数，T是一个周期。）回忆一下我们曾学过的有关周期和对称的结论（有一堆呢！）

即f(a+x)=f(a-x)，f(b+x)=f(b-x)如：若f(x+a)=-f(x)，则

⎧log2(1-x),x≤0

例如：(2009山东卷理)定义在R上的函数f(x)满足f(x)=⎨，

f(x-1)-f(x-2),x>0⎩

又如：若f(x)图象有两条对称轴x=a，x=b(⇔)则f(x)是周期函数，2a-b为一个周期

则f（2009）的值为( )A.-1 B0 C.1 D. 2

大家谨记谨记！ 见到周期性的题目千万不要怕，尤其是见到f(2014)=？的题目，请你务必回想起我下面的一句话：既然求f(2014) 所以肯定是周期的！ 既然是求周期的，周期一般不会太大！ 所以，最稳的办法是从f(1)一直求下去，直到看出其周期！这

种方法一定能做出来！ 当然，如果有更好的办法，就用更好的（但是高考还是要求稳）

17.函数与方程：函数的零点，二分法还记得吗？零点就是函数值等于零时方程的根，判定方法：（1）解方程（2）零点存在定理：由f(a)f(b)

f(x)与f(-x)的图象关于y轴对称f(x)与-f(x)的图象关于x轴对称f(x)与-f(-x)的图象关于原点对称

f(x)与f(2a-x)的图象关于直线x=a对称f(x)与-f(2a-x)的图象关于点(a，0)对称

上移b(b>0)个单位y=f(x+a)+b左移a(a>0)个单位y=f(x+a)

将y=f(x)图象−−−−−−−−−→−−−−−−−−−→

y=f(x-a)右移a(a>0)个单位下移b(b>0)个单位y=f(x+a)-b

f(x)−−→f(x)

−→f(|x|) 注意 “翻折”变换：f(x)−

再如：已知定义在R上的函数 y=f(x)对任意的x满足 f(x+1)=-f(x)，当-l≤x

⎧logax,x>0,

⎪

数 g(x)=⎨1若函数h(x)=f(x)-g(x)在 [-6,+∞)上有6个零点，则实数a的取值范围是

⎪-,x

（ ） A． (0,)

1

7

⎡11⎫

(7,+∞) B. ⎢,⎪

⎣97⎭

(7,9] C. ⎡⎢

1⎫

,1,⎪⎣9⎭

(1,9] D． ⎛

11⎤

,⎥⎝97⎦

[7,9)

21. 你在基本运算上常出现错误吗？（如不熟悉请看必修一第三章，做做课后习题，一定要看！） （切记：1的对数为0，底的对数为1） 指数运算：a=1(a≠0)，a

-p

1

=p(a≠0)aa

mn

=a

m

(a≥0)，a

-

mn

=

1

对数运算：logaM·N=logaM+logaNM>0，N>0

()

a

m

(a>0)

loga

M

=logaM-logaN，logaN

logax

M=

1

logaMn

对数恒等式：a=x

对数换底公式：logab=

logcbn

⇒logambn=logablogcam

22.函数求导运算应该很熟练了吧？（1）导数的几何意义：f"(x0)=limf(x0+∆x)-f(x0)=k

∆x→0∆x

(2)回忆一下基本初等函数的导数公式,特别注意幂函数和指数函数导数的区分 若f(x)=a，则f"(x)=alna； 若f(x)=e，则f"(x)=e； 若f(x)=logax，则f"(x)=例如：()"=-

x

x

x

x

11

；若f(x)=lnx，则f"(x)=； xlnax

1

x1-xx

(xlnx)"=,;(e)"=(alna)"= 2

x

⎛u⎫u"v-uv"

(v≠0) ⎪=

v2⎝v⎭

"

(3) 导数的四则运算法则

(u±v)"=u"±v" (uv)"=u"v+uv" 特别的：[cf(x)]"=cf"(x)

"=f"g(x)⋅g"(x) （4）复合函数的导数：若y=f(g(x))，则y"=⎡fg(x)⎤()()⎣⎦

尤其是内函数是一次函数的f(ax+b)；例如：求y=ln(2x+3)；y=(2x2-5x+1)e-x的导数 23.导数在研究函数的单调性、极值、最值和应用题中的最优化问题立下了汗马功劳！

x2

例如：已知函数 f(x)=a+x-xlna(a>0且a≠1)．求函数f(x)的单调区间；

再如：如右图，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰

直角三角形，再沿虚线折起，得A、B、C、D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE=FB=xcm．若要使包装盒的侧面积最大，则x的值为______．若要使包装盒的容积最大，则x的值为______．

24. 定积分是理科不同于文科的又一知识要点： 面积表示成定积分 有时和几何概型一块出题考察，记住微积分基本定理，会准确求定积分 例如：在区间[-3，3]上任取两数x，y，使 x2-y-1

8714 B． C ． D． 2727627

25. 如何解抽象函数问题？（赋值法、结构变换法，特殊函数法常在客观题中出现） 几个常见的函数特例

(1)正比例函数f(x)=cx⇔f(x+y)=f(x)+f(y),f(1)=c. (2)指数函数f(x)=ax⇔f(x+y)=f(x)f(y),f(1)=a≠0.

(3)对数函数f(x)=logax⇔f(xy)=f(x)+f(y),f(a)=1(a>0,a≠1).

(4)幂函数f(x)=xα⇔f(xy)=f(x)f(y),f"(1)=α.

(5)余弦函数f(x)=cosx,正弦函数g(x)=sinx，f(x-y)=f(x)f(y)+g(x)g(y)， 例如：已知函数y=f(x)在定义域R上是增函数，值域为(0,+∞)，且满足f(-x)=设F(x)=

1

． f(x)

1-f(x)

．则函数y=F(x)的值域 和零点 ；函数y=F(x)奇偶性

1+f(x)

11

l·R=α·R2）22

26. 你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为α，半径为R的弧长公式和扇形面积公式吗？

（l=α·R，S扇=

27. 熟记三角函数的定义，单位圆中三角函数线的定义

α=MP，cosα=OM，tanα=AT sin

如：若-

π

T

B S

O M x

⎛π⎫

又如：求函数y=1-2cos -x⎪的定义域和值域。

⎝2⎭

⎛π⎫

（∵1-cos -x⎪）=1-2sinx≥0

⎝2⎭

2

，如图：2 5ππ

∴2kπ-≤x≤2kπ+(k∈Z)，0≤y≤1+44

28. 你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？并由图象写出单调区间、对称点、对称轴吗？

y y = tanx

π - O 2

∴sinx≤

ϕ + ϕ 29. 正弦型函数y = Asin ω 或 = A cos( y(ω x + )的图象和性质要熟记。 x )

（1）振幅|A|，周期T=

2π

|ω| 若f(x0)=±A，则x=x0为对称轴。若f(x0)=0，则(x0，0)为对称点，反之也对。

[]

π π 3

π π ，求出 x + ϕ 依次为 0 2 x （ 2 ）五点作图：令 ω ，， ，， 与y ，依点作图 2 2

（3）根据图象求解析式。（求A、ω、ϕ值） 尤其求初相时要注意相位一体

π|ω|

30. 在三角函数中求一个角时要注意两个方面——先求出某一个三角函数值，再判定角的范围。 ∆正切型函数y=Atan(ωx+ϕ)，T=

π⎫23π⎤⎛⎡

如：cos x+⎪=-，x∈⎢π，⎥，求x值。

⎝6⎭22⎦⎣

3π7ππ5ππ5π13

（∵π

26636412

31. 在解含有正、余弦函数的问题时，你注意（到）运用函数的有界性了吗？

如：函数y=sinx+sin|x|的值域是

（x≥0时，y=2sinx∈-2，2，x

32. 熟练掌握三角函数图象变换了吗？（平移变换、伸缩变换） 例如：右图是函数y=Asin(ωx+ϕ)(x∈R)在区间[-π,5π]

66

上的图象．为了得到这个函数的图象，只需将

[]

[]

y=sinx(x∈R)的图象上所有的点

1

A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变

23

π

B．向左平移

π

3

个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

C．向左平移

π

6

个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的

1

倍，纵坐标不变 2

D．向左平移

π

6

个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

33. 熟练掌握同角三角函数关系、诱导公式、两角和、差、倍、降幂公式及其逆向应用、化一公式，理解公式之间的联系：

令α=β

αcosβ±cosαsinβ−−−−→sin2α=2sinαcosα (α±β)=sin sin

令α=β2

co(sα±β)=cosαcoβs sinαsinβ−−−−→cos2α=co2sα-sinα tan(α±β)=

tanα±tanβ22

=2cosα-1=1-2sinα⇒

1 tanα·tanβ

1+cos2α

2

1-cos2α2

sinα=

2

co2sα=

tan2α=

2tanα

2

1-tanα

asinα+bcosα=a2+b2sin(α+ϕ)，tanϕ=

b

a

π⎫⎛π⎫⎛sinα+cosα=2sin α+⎪sinα+cosα=sin α+⎪⎝⎝3⎭ 4⎭

应用以上公式对三角函数式求值和化简。具体方法：(凑角：已知的角得要求的角，或换元法)

α+β⎛β⎫⎛α⎫

= α-⎪- -β⎪„„⎝⎭22⎭⎝2

（2）名的变换：化弦或化切（3）次数的变换：升、降幂公式 （4）形的变换：统一函数形式，注意运用代数运算。

（1）角的变换：如β=(α+β)-α，

遇到求最小正周期、单调区间、对称轴和对称中心、最大最小值，值域等问题都需要化一以后处理，注意相位一体的思想和“由里往外算”的方法

如：已知

sinαcosα2

=1，tan(α-β)=-，求tan(β-2α)的值。

1-cos2α3

⎛π例：(2013·济南质检)函数f(x)＝sin x－cos x＋6的值域为

⎝⎭

( B )．

⎡33⎤

A．[－2,2] B．[－3，3] C．[－1,1] D.⎢－

2⎦⎣2

34. 正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？如何实现边、角转化，而解斜三角形？ 在△ABC中，sinA>sinB⇔A>B对吗?

35.特别警示：最容易出题的两个地方（一是降幂化一系列、一是解三角形系列）

三角函数与向量错误排行榜（你有过吗？一定预防，一定争取答题拿满分！）

ππ

（1）.化一时弄混，用和差正弦合cosx-sinx时容易出错；

36

（2）. 公式套错，sinxcosx=sin2x；⋅=3⇔cb=3；

（3）.求最值或值域时仅计算区间端点然后直接写答案；（忘记了“由里往外算”） （4）. 已知三角函数值求角时角少求一个（忘记了看象限）；

（5）.求解析式时带点时不分第一、第二；（6）.诱导公式符号搞错，该变名的不变名； （7）.划分函数单调区间时无视x前面的符号；（8）. cosθ=（9）. 单调区间忘记k∈Z，市一模教训惨痛啊！

（10）. 题目中已知条件中有的一定要写，例如已知条件中有三角形，要用0

1ππ

,θ=还是； 236

π

6

)+1(ω>0)的最小正周期是π．

(I)求f(x)的单调递增区间；(Ⅱ)求f(x)在[

π3π

，]上的最大值和最小值．

88

36. 你对向量的有关概念清楚吗？特别强调以下几点：

（1）共线向量（平行向量）——方向相同或相反的向量。 规定零向量与任意向量平行。 b∥a(

b≠0)

⇔存在唯一实数λ，使b=λa （2）向量的加、减法如图：（加法的平行四边形法则，

共起点；加法的多边形法则首尾相连；减法为末减初）

→

→

→

→

→

→

OA+OB=OC OA-OB=BA

（3）平面向量基本定理（向量的分解定理,基向量的概念） （4）向量的坐标表示若A(x1，y1)，B(x2，y2)

37. 平面向量的数量积

→→

则AB=(x2-x1，y2-y1) |AB|=

x2-x1)

2

+(y2-y1)，A、B两点间距离公式

2

济南5月份考题，对了吗？看：如图，在△ABC中，AB=1，AC=3，D是BC的中点，则 ∙=

A．3 B．4 C．5 D．不确定

（1）a·b=|a|·|b|cosθ叫做向量a与b的数量积（或内积）。 θ为向量a与b的夹角，θ∈[0，π]

→

→

→

→

→

→

→

→

数量积的几何意义：a·b等于|a|与b在a的方向上的射影|b|cosθ的乘积。

（2）数量积的运算法则

①a·b=b·a②(a+b)c=a·c+b·c③a·b=(x1，y1)·(x2，y2)=x1x2+y1y2 注意：数量积不满足结合律(a·b)·c≠a·(b·c)

（3）重要性质：设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)

→

→

→→→→→

→→→→→→→→→→→→→

→→→→→→

也不满足消去律

①a⊥b⇔a·b=0⇔x1·x2+y1·y2=0

②a∥b⇔a·b=|a|·|b|或a·b=-|a|·|b|⇔a=λb（b≠0，λ惟一确定） ⇔x1y2-x2y1=0

→

→→→→

→→→→→→→→→→→→→

22

③a=|a|2=x1+y1，|a·b|≤|a|·|b|

→2

→→→→→

④cosθ=

a·b

→→

|a|·|b|

→

=

x1x2+y1y2

222

x1+y1·x22+y2

例：已知向量AB与AC的夹角为120°,且AB=3,AC=2,若AP=λAB+AC,且AP⊥BC,

则实数λ的值为__________.

再例：下列结论正确的是（ ）

A.若向量a∥b，则存在唯一的实数 λ使 a=λb

B.已知向量a，b为非零向量，则“a，b的夹角为钝角”的充要条件是“a⋅b

π

3

，则 cosθ=

2

11π

”的否命题为“若 θ≠，则 cosθ≠” 223

2

D．若命题 p:∃x∈R,x-x+10 如:若Ai(i=1,2,3,⋅⋅⋅,n)是∆AOB所在的平面内的点，且OAi⋅OB=OA⋅OB.给出下列说法：①OA1=OA2=⋅⋅⋅=OAn=OA；②OA1的最小值一定是

OB；③点A、Ai在一条直线上；④向量OA及OAi在向量OB的方向上的投影必相等.

其中正确命题的序号是________

再如：已知 e1,e2是夹角为 60的两个单位向量，若向量 a=3e1+2e2，则 a=________

（“遇模则方”要看结果用不用再开方！另外：注意三点共线的结论的应用） 又例：在△ABC中，E为AC上一点，且AC=4AE，P为BE上一点，且满足AP=mAB+nAC(m>0,n>0)，则

11

+取最小值时，向量mn

=(m,n)的模为

※. 你能分清三角形的重心、垂心、外心、内心及其性质吗？空间向量与平面向量类比，只不过多了一个z轴，它最大的应用就是用于立体几何代数化，尤其是求空间角时，我们比较喜欢利用！要细心算对！ 例如：如图，四棱锥P—ABCD中，PD⊥底面ABCD，AB//DC，AD⊥DC，AB=AD=1，DC=2，

M为棱PB的中点．

(I)证明：DM⊥平面PBC；

(II)求二面角A—DM—C的余弦值．

38. 不等式的性质有哪些？（回忆一下基本性质，尤其乘除和乘方开方的要注意符号，还有我们常讲的绝对值不等式以及其几何意义）

1⎫⎧

（解集为x|x>例如：解不等式|x-3|-x+

⎩

2⎭

又如：设函数f(x)=x+3-x-a的图象关于点（1，0）中心对称，则a的值为_______(5或-3) 39. 利用均值不等式：

2

⎛a+b⎫

a+b≥2aba，b∈R；a+b≥2ab；ab≤ ⎪求最值时，你是否注

⎝2⎭

2

2

(

+

)

意到“a，b∈R+”且“等号成立”时的条件，积(ab)或和(a+b)其中之一为定值？（一正、二定、三相

a2+b2a+b2ab

≥≥≥a，b∈R+

当且仅当a=b时等号成立。 22a+b等） 注意如下结论：

()

4

xy的最大值为又如：x+2y=1，则2+4的最小值为x

40. 不等式证明的基本方法都掌握了吗？（比较法、分析法、综合法、数学归纳法等）并注意简单放缩法如：若x>0，2-3x-

的应用。

（1+

如：证明1+

111+2+„+2

111111

++„„+

1⨯22⨯32232n2n-1n

=1+1-=2-

11111

+-+„„+-223n-1n

又如：已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S7=49，a4和a8的等差中项为11. (I)求an及Sn； (II)证明：当n≥2时，有

1

1117

++...+

（移项通分，分子分母因式分解，x的系数变为1，穿轴法解得结果。） 用“穿轴法”解高次不等式——“奇穿，偶切”，从最大根的右上方开始

> a a ≠ 0 的一般步骤是什么？ 40 . 解分式不等式( ) g x ( )

如：(x+1)(x-1)(x-2)

23

解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论如：对数或指数的底分a>1或0f(x)恒成立⇔a>f(x)的最大值

a>f(x)能成立⇔a>f(x)的最小值

例如：对于一切实数x，若x-+x+2>a恒成立，则a的取值范围是

42. 对于二元一次不等式（组）无法解出其中字母的范围的，画图转化为线性规划问题：作出可行域，作出以目标函数为截距的直线，在可行域内平移直线，求出目标函数的最值。 注意目标函数的几何意义：截距，距离或距离的平方，斜率等.

x≥0⎧⎪y≥0例如：已知点M(x，y)是平面区域⎪内的动点，则(x+1)2+(y+1)2的最大值是 ⎨

⎪x-y+1≥0⎪⎩2x+y-4≤0 (A)10 (B)

49

(C) (D)13 5

43. 等差数列的定义与性质（证明一个数列等差或等比一定要用定义法，有时用中项）

定义：an+1-an=d(d为常数)，an=a1+(n-1)d 等差中项：x，A，y成等差数列⇔2A=x+y

前n项和Sn=

(a1+an)n=na

2

1

+

n(n-1)2

d

性质：{an}是等差数列

（1）若m+n=p+q，则am+an=ap+aq；

（2）数列{a2n-1}，{a2n}，{kan+b}仍为等差数列；Sn，S2n-Sn，S3n-S2n„„仍为等差数列； （3）若三个数成等差数列，可设为a-d，a，a+d；

aS

（4）若an，bn是等差数列Sn，Tn为前n项和，则m=2m-1；

bmT2m-1

2

0的二次函数） Sn的最值可求二次函数Sn=an+bn的最值；或者求出{an}中的正、负分界

（5）{an}为等差数列⇔Sn=an+bn（a，b为常数，是关于n的常数项为

2

项.

如：等差数列{an}，Sn=18，an+an-1+an-2=3，S3=1，则n=

又S3=

2

（由an+an-1+an-2=3⇒3an-1=3，∴an-1=1

(a1+a3)·3=3a

2

=1，∴a2=

13

⎛1⎫ +1⎪n

a1+an)n(a2+an-1)·n⎝3⎭(∴Sn====18222 ∴n=27）

44. 等比数列的定义与性质

定义：

an+1

=q（q为常数，q≠0），an=a1qn-1

2

an

等比中项：x、G、y成等比数列⇒G=xy，或G=±

⎧na1(q=1)⎪

前n项和：Sn=⎨a1(1-qn)（要注意!）

(q≠1)⎪

⎩1-q

性质：{an}是等比数列

（1）若m+n=p+q，则am·an=ap·aq（2）Sn，S2n-Sn，S3n-S2n„„仍为等比数列

45.由Sn求an时应注意什么？ （n=1时，a1=S1，n≥2时，an=Sn-Sn-1） 46. 你熟悉求数列通项公式的常用方法吗？（以下方法看懂就行，供参考） 例如：（1）求差（商）法

111

如：{an}满足a1+2a2+„„+nan=2n+5

222 1

n=1时，a1=2⨯1+5，∴a1=14

2 解：

111

n≥2时，a1+2a2+„„+n-1an-1=2n-1+5

222

⎧14(n=1)1∴a=⎨n+1n-得：nan=2n+1

(n≥2) ∴a=2⎩22n

例：

数列{an}满足Sn+Sn+1=

5

an+1，a1=4，求an3

（注意到an+1=Sn+1-Sn代入得：

Sn+1

=4Sn

又S1=4，∴{Sn}是等比数列，Sn=4n

n-1⎧

n≥2时，an=Sn-Sn-1=„„=3·4∴an=⎨

4n=1

n-1

⎩3⋅4

n≥2

（2）叠乘法

例如：数列{an}中，a1=3，

an+1n

=，求anann+1

a12n-113=·„„，∴n=又a1=3，∴an=

23na1n n

a2aa

·3„„n

an-1

解：a1a2

（3）等差型递推公式 由an-an-1=f(n)，a1=a0，求an，用迭加法

n≥2时，a2-a1=f(2)⎫

⎪

a3-a2=f(3)⎪

⎬两边相加，得：an-a1=f(2)+f(3)+„„+f(n)

„„„„⎪an-an-1=f(n)⎪⎭

∴an=a0+f(2)+f(3)+„„+f(n)

1n

3-1）2例： 数列{an}，a1=1，an=3+an-1(n≥2)，求an

（4）等比型递推公式(构造等比，济南2014年5月模拟19题)

n-1

（an=

()

an=can-1+dc、d为常数，c≠0，c≠1，d≠0可转化为等比数列，设an+x=c(an-1+x)

令(c-1)x=d，∴x=

d

c-1

()

⇒an=can-1+(c-1)x

d⎫d⎧

∴⎨an+，c为公比的等比数列⎬是首项为a1+

c-1⎭c-1⎩

dd⎫d⎫n-1d⎛⎛n-1

= a1+·c∴an= a1+⎪c-

⎝c-1⎝c-1⎭c-1⎭c-1

（5）倒数法

2an

例如：a1=1，an+1=，求an

a+2n a+2111111

由已知得：=n=+∴-=

an+12an2anan+1an2

∴an+

⎧1⎫11

∴⎨⎬为等差数列，=1，公差为∴1=1+(n-1)·1=1(n+1)∴an=2

a12an22n+1 ⎩an⎭

47.你熟悉求数列前n项和的常用方法吗？（要掌握！）

例如：（1）裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。

如：{an}是公差为d的等差数列，求∑

1

k=1akak+1

n

nn

111⎛11⎫11⎛11⎫由== -=∑ -⎪(d≠0)∴∑⎪

aa+ddaaaadaaa·a⎝⎭⎝k=1kk+1k=1kkkk+1kk+1⎭ kk+1 解：

==

⎛11⎡⎛11⎫⎛11⎫1⎫⎤

-+-+„„+- ⎪ ⎪ ⎪⎥⎢

d⎣⎝a1a2⎭⎝a2a3⎭⎝anan+1⎭⎦1⎛11⎫ -⎪d⎝a1an+1⎭

（2）错位相减法：若{an}为等差数列，{bn}为等比数列，求数列{anbn}（差比数列）前n项

和，可由Sn-qSn求Sn，其中q为{bn}的公比。

23n-1

如：Sn=1+2x+3x+4x+„„+nx

234n-1n

x·Sn=x+2x+3x+4x+„„+(n-1)x+nx

2n-1n

-：(1-x)Sn=1+x+x+„„+x-nx

1-xnnxn

n(n+1)x≠1时，Sn=-2x=1时，S=1+2+3+„„+n=n

(1-x)1-x2

（3）倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。

()

Sn=a1+a2+„„+an-1+an⎫⎪

⎬相加

S=a+a+„„+a+a2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+„„+(a1+an)„„ nn-121⎪⎭ n

例如：（模拟18第19题）已知等差数列 {an},a1+a3+a5=42,a4+a6+a8=69;等比数列 {bn},b1=2，

log2(bb12b3)=6．(I)求数列 {an}和数列 {bn}的通项公式；

(Ⅱ)设 cn=an-bn，求数列cn

{}的前n项和 Tn（分段写）

48. 你知道储蓄、贷款问题吗？（了解一下吧）

△零存整取储蓄（单利）本利和计算模型：若每期存入本金p元，每期利率为r，n期后，本利和为：

n(n+1)⎤⎡

Sn=p(1+r)+p(1+2r)+„„+p(1+nr)=p⎢n+r⎥„„等差问题

2⎣⎦

△若按复利，如贷款问题——按揭贷款的每期还款计算模型（按揭贷款——分期等额归还本息的借款种类）

若贷款（向银行借款）p元，采用分期等额还款方式，从借款日算起，一期（如一年）后为第一次还款日，如此下去，第n次还清。如果每期利率为r（按复利），那么每期应还x元，满足

n

p(1+r)=x(1+r)

n-1

+x(1+r)

n-2

+„„+x(1+r)+x

n

⎡1-(1+r)n⎤(1+r)n-1pr(1+r)=x⎢⎥=x∴x=1-1+rr⎢⎥(1+r)n-1 p——贷款数，r——利率，n——还款期数 ⎣⎦

49. 解排列、组合问的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合。

n!

Am(m≤n)n=n(n-1)(n-2)„„(n-m+1)=

n-m!规定：0!=1

m

n

n(n-1)„„(n-m+1)Amn!

C=n==

m!m!n-m!规定：C0Ammn=1

mn-mmm-1m01nn

Cn=Cn，Cn+Cn=Cn+1，Cn+Cn+„„+Cn=2 50. 解排列与组合问题的规律是：（会列式，会计算）

相邻问题捆绑法；相间隔问题插空法；定位问题优先法；多元问题分类法；至多至少问题间接法；相同元素分组可采用隔板法；数量不大时列举法；平均分配消序法（平均分成n组，除以n!） 如：学号为1，2，3，4的四名学生的考试成绩

xi∈89，90，91，92，93，(i=1，2，3，4)且满足x1

{}

则这四位同学考试成绩的所有可能情况是（ ）A. 24 解析：可分成两类：（1）中间两个分数不相等，

4

有C5=5（种）

B. 15

C. 12 D. 10

（2）中间两个分数相等x1

每村至少1名，最多2名，则不同的分配方案有 种． 51. 二项式定理（区分二项式系数和系数，学会赋值法）

n1n-1n-22n-rrn

二项展开式的通项公式：Tr+1=Cna(a+b)n=C0b+C2b+„+Crb+„+Cnna+Cnanananb

rn-r

p(r=0，1„„n)

r

Cn为二项式系数（区别于该项的系数）

rn-r

性质： （1）对称性：Cn=Cn(r=0，1，2，„„，n)

135024n-11nn

（2）系数和：C0n+Cn+„+Cn=2 Cn+Cn+Cn+„=Cn+Cn+Cn+„=2 （3）最值：n为偶数时，n＋1为奇数，中间一项的二项式系数最大且为第

⎛n⎫2

；n为奇数时，(n+1)为偶数，中间两项的二项式 +1⎪项，二项式系数为Cn

⎝2⎭

n+1n+1

系数最大即第项及第+1项，其二项式系数为Cn2=Cn2

22

n-1

n+1

n

- 1) 的展开式中，系数最小 的项系数为 11如：在二项式 (x

（∵n＝11

作答）

∴共有12项，中间两项系数的绝对值最大，且为第

12

=6 或第7项2

r11-rr65

由C11x(-1)，∴取r=5即第6项系数为负值为最小： -C11=-C11=-426

200422004

又如：(1-2x)=a0+a1x+a2x+„„+a2004x(x∈R)，则

(a0+a1)+(a0+a2)+(a0+a3)+„„+(a0+a2004)=

52. 你对随机事件之间的关系熟悉吗？（注意以下三个事件关系）

（用数字作答）

（1）互斥事件（互不相容事件）：“A与B不能同时发生”叫做A、B互斥。A·B=φ （2）对立事件（互逆事件）：“A不发生”叫做A发生的对立（逆）事件，

A =Ω，A =φ

（3）独立事件：A发生与否对B发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。A与B独立，A与B也相互独立。 53. 对某一事件概率的求法：（互斥相加，独立相乘，取元素时注意是否有放回，是否重复） 分清所求的是：（1）等可能事件的概率即为古典概型和几何概型（常采用解决方法，即P A ( ) ==

一次试验的等可能结果的总数 n

（2）若A、B互斥，则P(A+B)=P(A)+P(B) （3）若A、B相互独立，则P(A·B)=P(A)·P(B)

（4）P()=1-P(A)（5）如果在一次试验中A发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中A恰好发生

如：设10件产品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率.（1）从中任取2件都是次品；

⎛C2（2）从中任取5件恰有2件次品； 2⎫3

⎛C210⎫ P1=24=⎪4C6P== ⎪（3）从中有放回地任取3件至少有2件次品； 2C1015⎭5⎝21⎭C10⎝

解：有放回地抽取3次（每次抽1件），

3

∴n＝10而至少有2件次品为“恰有2次品”和“三件都是次品” （有放回：可看做独立重复试验）

221

∴m=C3·46

（4）从中依次取5件恰有2件次品。

23

C2443·4·6+43∴P==33+4 125 10

k

k次的概率：Pn(k)=Cknp(1-p)

n-k

解：∵一件一件抽取（有顺序）∴n=A10，m=C4A5A6分清（1）、（2）是组合问题，（3）是可重复排列问题，（4）是无重复排列问题。

5223

∴P4=

23

C2104A5A6

=21 A10

例如：有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本，若将其随机地并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书却不相邻的概率是

1234

A.5 B.5 C.5 D.5 （B）

54.掌握离散型随机变量及其分布列、数学期望和方差

（1）（一般分布列，不管是哪项分布，审题好了直接列，最后核对概率和是否为1，情况多时用1-P）

称为离散型随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列.

（2） 离散型随机变量的分布列的性质： P,2,3,i≥0,i=1,n;P1+P2++Pn=1.

mn-m

CMCN-M

（3）P(X=m)=（0≤m≤l,l为n和M中较小的一个）.我们称离散型随机变量X的这种形n

CN

式的概率分布为超几何分布，也称X服从参数为N,M.n的超几何分布. 其中EX=

nM

N

kkn-k

(4)若随机变量X的分布列为P(X=k)=Cnpq,其中0

为n,p的二项分布，记作X~B(n,p).若X～B(n，p)，则 EX=np,DX=np(1-p). (6)数学期望: 一般地，若离散型随机变量X的概率分布为

则称 E(X)=x1p1+x2p2+„+xnpn+„ 为X的数学期望，简称期望．

(7)方差: Dξ＝(x1-Eξ)⋅p1＋(x2-Eξ)⋅p2＋„＋(xn-Eξ)2⋅pn＋„称为随机变量ξ的方差，式中的Eξ是随机变量ξ的期望．Dξ的算术平方根Dξ叫做随机变量ξ的标准差，记作σξ． （8） 正态分布N(μ,σ2)是由均值μ和标准差σ唯一决定的分布; Ex=μ, DX=σ2

正态曲线关于直线x=μ对称;曲线的形状由σ确定:σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小．曲线越“瘦高”．总体分布越集中.标准正态分布N（0，1），Ex=0, DX=1,3σ规则和正态曲线的形状如下：

22

2

例如：（安徽卷10）．设两个正态分布N(μ1，σ1)(σ1>0)和N(μ2，σ2)(σ2>0)的密度函数图像如图所

2

示。则有（ ）

A．μ1

B．μ1σ2

C．μ1>μ2,σ1σ2

ˆ的公式不要求记忆,只需会利用回归直线方程求相应变量的值，而且知道ˆ=axˆ+b55.计算回归直线方程y

方程一定恒过一定点（x,y).（平均值点）

再举一个概率分布的经典考题：一个袋中装有形状大小完全相同的球9个，其中红球3个，白球6个，每

次随机取1个，直到取出次红球即停止． ．．．．3．．．．．．．． (I)从袋中不放回地取球，求恰好取4次停止的概率P1； (II)从袋中有放回地取球．

①求恰好取5次停止的概率P2；

②记5次之内(含5次)取到红球的个数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望． 这是济南市2014年3月份模拟题，再看看解答，体会一下吧.

56. 回忆一下抽样方法，抽样方法主要有：简单随机抽样（抽签法、随机数表法）常常用于总体个数较少时，它的特征是从总体中逐个抽取；系统抽样，常用于总体个数较多时，它的主要特征是均衡成若干部分，每部分只取一个；分层抽样，主要特征是分层按比例抽样，主要用于总体中有明显差异；系统抽样为等距抽样.它们的共同特征是每个个体被抽到的概率相等，体现了抽样的客观性和平等性。

n(ad－bc)2

对于“卡方”的问题知道就行：利用随机变量K＝来判断“两个分类变量有关系”的

(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)

2

方法称为独立性检验．如果K2的观测值k越大，说明“两个分类变量有关系”的可能性越大．参考两个临界值3.841和6.635：χ>6.635时，有99%的把握有关；χ>3.841时，有95%的把握有关；χ

2

2

2

≤3.841时无关.

例：给定下列四个命题： ①“x=

”是“sinx=”的充分不必要条件； ②若“p∨q”为真，则“p∧q”为真；

2

2

③命题“∀x∈R，x≥0”的否定是“∃x∈R，x≤0”；④线性相关系数r的绝对值越接近于1，表明两个随机变量线

期望和方差。要熟悉样本频率直方图的作法并会读图：

（1）算数据极差(xmax-xmin)； （2）决定组距和组数；（3）决定分点；（4）列频率分布表；

（5）画频率直方图。

样本平均值：=

其中，频率=小长方形的面积=组距×

频率

组距

1

121

x1+x2+„„+xn样本方差：S=

nn

()

[(x

-)+(x2-)+„„+(xn-)

2

2

2

]

例：某地区对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控，从中抽取50辆汽

车进行测速分析，得到如图所示的时速的频率分布直方图，根据该图，时速在70 km/h以下的汽车有 辆．

如：从10名女生与5名男生中选6名学生参加比赛，如果按性别分层随

42C10C5

（6）

机抽样，则组成此参赛队的概率为____________。C15

58. P a 线面平行的判定：（线线平行常借助于中位线或平行四边形）

a∥b，b⊂面α，a⊄α⇒a∥面α b

线面平行的性质：（线面平行到线线平行，必须交线！） α∥面α，α⊂面β，α β=b⇒a∥b 三垂线定理（及逆定理）：（就是线线垂直转化为线面）

a

PA⊥面α，AO为PO在α内射影，a⊂面α，则 a⊥OA⇒a⊥PO；a⊥PO⇒a⊥AO 线面垂直： 面面垂直：

a⊥b，a⊥c，b，c⊂α，b c=O⇒a⊥α

a b 面α⊥面β，α β=l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β

a⊥面α，b⊥面α⇒a∥b 面α⊥a，面β⊥a⇒α∥β 记住:遇条件“线面平行”，必须“过直线，做平面，找交线”；

a⊥面α，a⊂面β⇒β⊥α

遇条件“面面垂直”，必须“在一个平面内找交线的垂线，没有时就做交线的垂线.” （判断命题真假的题目，用定理知识，再加上你手中的工具，笔作为“直线”，纸当做“平面”，想你熟悉的平面，比如教室里的地面和墙面。） 例：已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β.直线l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α,l⊄β,则

A．α//β,且l//α

C．α与β相交,且交线垂直于l

B．α⊥β,且l⊥β

D．α与β相交,且交线平行于l

（ ）

59. 你是否准确理解正棱柱、正棱锥的定义并掌握它们的性质？正棱柱——底面为正多边形的直棱柱（正直不分家）；正棱锥——底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的中心。

记住柱、锥、台、球的体积和表面积的计算方法.（有些组合体可以以长方体作为模型）

结论：球内接长方体的对角线是球的直径。正四面体的外接球半径R与内切球半径r之比为R：r＝3：1。 如：一正四面体的棱长 均为2 ，四个顶点都在同一球 面上，则此球的表面积为

A.3πB.4πC.3π

D.6π 答案：A

对于有关球的组合体要用好“金三角”，平面圆内“垂径定理”的推广，你懂得！

例：如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为

A．

500π866π1372π2048π

cm3 B．cm3 C．cm3 D．cm3【答案】A 3333

60.三视图和斜二测画法突出你的空间想象能力，

如： 某几何体的三视图如图所

示，则该几何体的表面积为（ ）

A．

B.

C.

结合三视图的题目，没难度，不管计算面积还是体积，一定作对！正

四面体、 正N棱锥或分割体等等的概念及其图形，必须必须做到画图很熟练，而且一定要快！要像！ 61. 三类角的定义及求法（传统几何的做法，了解一下） （1）异面直线所成的角θ，0°＜θ≤90°

（2）直线与平面所成的角θ，0°≤θ≤90°θ＝0时，b∥α或

b⊂α

o

（3）二面角：二面角α-l-β的平面角θ，0o

（三垂线定理法：A∈α作或证AB⊥β于B，作BO⊥棱于O，连AO， 则AO⊥棱l，∴∠AOB为所求。） 三类角的求法：

①找出或作出有关的角。②证明其符合定义，并指出所求作的角。 A ③计算大小（解直角三角形，或用余弦定理）。 例：（1）（三余公式证明，了解一下）如图，OA为α的斜线，OB为其在α内射影， OC为α内过O点任一直线。

（2）（测测自己的准度！）如图，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中对角线BD1＝8，

BD1与侧面B1BCC1所成的为30°。 D ①求BD1和底面ABCD所成的角； A ②求异面直线BD1和AD所成的角；

③求二面角C1—BD1—B1的大小。

α证明：cosγ=cosθ·cosβ（θ为线面成角，∠AOC=γ，∠BOC=β）

B

62.你喜欢用空间向量来解决立体几何问题吗？（一定要掌握，这是我们的主要工具！） 首先确定建立空间直角坐标系，是有三条两两垂直的直线组成；然后计算点和向量的坐标要准确，要细心。（1）异面直线所成的角θ，cosθ=|cos|

（2）直线与平面α所成的角θ，平面α的法向量为n ，sinα=|cos| （3）二面角θ，cosθ=cos，其中n1，n2是夹这个角的两个面的法向量，下结论时一定看钝角还是锐角，看清人家要的是角还是某一三角函数值. 例如：如图,AB是圆的直径,PA垂直圆所在的平面,C是圆上的点. 6

（

(I)求证:平面PAC⊥平面PBC；

4

）

(II)若AB=2，AC=1，PA=1，求证：二面角C-PB-A的余弦值.

（求角时用arccos ）

63. 熟记下列公式了吗？（必须的！）

（1）l直线的倾斜角α∈[0，π)，k=tanα=

y2-y1⎛π⎫

α≠，x1≠x2⎪

⎭ x2-x1⎝2

→

（2）直线方程：点斜式：y-y0=k(x-x0)（k存在）

x

y

P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是l上两点，直线l的方向向量a=(1，k)

斜截式：y=kx+b 截距式：a+b=1一般式：Ax+By+C=0（A、B不同时为零）

Ax0+By0+C

（3）点P(x0，y0)到直线l：Ax+By+C=0的距离d=

22A+B

64. 如何判断两直线平行、垂直？(记住：哪是充要条件、哪是充分条件、哪是必要条件)

A1B2=A2B1⎫

⎬⇔l1∥l2

AC≠ACk=k2⇒l1∥l2（反之不一定成立） 21⎭ 12 1

A1A2+B1B2=0⇔l1⊥l2 k1·k2=-1⇒l1⊥l2

65. 怎样判断直线l与圆C的位置关系？

圆心到直线的距离与圆的半径比较。直线与圆相交时，注意利用圆的“垂径定理（金三角）”。

2

例：已知抛物线 C:y=2px(p>0)上一点 P(2,m)(m>0)，若P到焦点F的距离为4，则以P为圆心

且与抛物线C的准线相切的圆的标准方程为_________．

66. 怎样判断直线与圆锥曲线的位置？圆与圆的位置关系？两圆的公切线和两圆公共弦问题？

联立方程组⇒关于x（或y）的一元二次方程⇒“∆” ∆>0⇔相交；∆=0⇔相切；∆

67. 分清圆锥曲线的定义（尤其是选择题和填空题一定记住定义的作用，我们只学习了一个定义）

⎧ + PF2 = 2 a a > 2 c = F F 椭圆 ⇔ PF1， 2 1 2⎪ ⎪

- PF2 = 2 a a

01⇔双曲线；e=1⇔抛物线

x2y2

222+2=1(a>b>0)a=b+c2()方程要先标成标准形式，再求对应的长轴、短轴、焦距 b a x2y2

-2=1(a>0，b>0)(c2=a2+b2)2

b a

69. 在圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程，要注意其二次项系数是否为零？△≥0的限制。 （求交点，弦长，中点，斜率，对称存在性问题都在△≥0下进行。）

y2=2px(p>0)通径是抛物线的所有焦点弦中最短者；以焦点弦为直径的圆与准线相切；还可以查找抛物线焦点弦的其他性质和用定义做题的题目。 切记：直线与圆锥曲线最多有两个交点；过一点与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线有一个交点（相交，不是相切！不存在∆）；过一点与抛物线的轴平行的直线与抛物线只有一个交点也是相交（不存在∆）.

弦长公式P1P2=

2 2 2 2

-= ≠ 0 68 . 与双曲线1 有相同焦点的双曲线系 为2 -2 = λ (λ）λ=0时为双曲线 2 2 a b a b

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2=

1⎫2 1+2⎪(y1+y2)-4y1y2⎝k⎭

[]

x2y2

例：已知双曲线 C:2-2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1、F2，过F2垂直x轴的直线与双曲

ab

线C的两渐近线的交点分别是M、N，若∆F1MN为正三角形，则该双曲线的离心率为（ ）

A．

B． 3

C．

D． 2+ （A）

F1的直线 如：在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F

1,F2在xx2y2

+=1

交于A,B两点，且ABF2的周长为16，那么C的方程为168

x2y2

例：已知椭圆E:2+2=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆于A,B两点.若AB的

ab

中点坐标为(1,-1),则E的方程为

（ ）

x2y2

+=1 A．

4536x2y2

+=1 B．

3627x2y2

+=1 C．

2718x2y2

+=1【答案】D D．

189

71. 有关中点弦问题可考虑用“点差法”

72. 如何求解“对称”问题？（知道就行）

（1）证明曲线C：F（x，y）＝0关于点M（a，b）成中心对称，设A（x，y）为曲线C上任意一点，设A"（x"，y"）为A关于点M的对称点。

x+x"y+y"

（由a=，b=⇒x"=2a-x，y"=2b-y）

只要证明A"(2a-x，2b-y)也在曲线C上，即f(x")=y"22

⎧AA"⊥l⎧kAA"·kl=-1

（2）点A、A"关于直线l对称⇔⎨⇔⎨

⎩AA"中点在l上⎩AA"中点坐标满足l方程θ x = r cos ⎧ 2 = r 2 73. 圆x 2 + y 的参数方程为 （θ 为参数） ⎨ = θ y r sin ⎧x=acosθ⎩ x2y2

椭圆2+2=1的参数方程为⎨（θ为参数）

y=bsinθab⎩ 可以用于求值域时三角代换，尤其是单位圆.

例如此题的代数方法：若a，b，c均为单位向量，且a·b=0，则|a+b－c|的最小值为（ ）

A1 B．1 C+1 D （此题几何法简单）【答案】A

2m如：椭圆mx2+ny2=1与直线y=1-x交于M、N两点，原点与MN中点连线的斜率为的值为

，则

2n

74. 求轨迹方程的常用方法有哪些？注意讨论范围。（直接法、定义法、转移法、参数法）

x2y2

+2=1，抛物线方程为看这个例子：设b>0，椭圆方程为22bb

2

x=8(y-b)．如图4所示，过点F(0，b+2)作x轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G，已知抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点F（1）1．求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；（2）设A，B分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P，使得△ABP为直角三角形？若存在，

请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）． 解：（1）由x=8(y-b)得y=

2

图4

121

x+b，当y=b+2得x=±4，∴G点的坐标为(4,b+2)，y"=x，84

y"|x=4=1，过点G的切线方程为y-(b+2)=x-4即y=x+b-2，令y=0得x=2-b，∴F1点的坐

∴2-b=b即b=1，即椭圆和抛物线的方程分别为标为(2-b,0)，由椭圆方程得F1点的坐标为(b,0)，

x2

+y2=1和x2=8(y-1)； 2

（2）过A作x轴的垂线与抛物线只有一个交点P,∴以∠PAB为直角的Rt∆ABP只有一个，

同理∴ 以∠PBA为直角的Rt∆ABP只有一个。

若以∠APB为直角，设P点坐标为(x,12x+1)，A、B

两点的坐标分别为(

和， 8

11452PAPB=x2-2+(x2+1)2=x+x-1=0.关于x2的二次方程有一大于零的解，∴x有两解， 8644

即以∠APB为直角的Rt∆ABP有两个，因此抛物线上存在四个点使得∆ABP为直角三角形。

75.应用题并不可怕，主要考察你的阅读理解能力，象英语和语文的阅读题一样，数学只是列方程、不等式等式子解决问题，多读题，提炼出数量关系，转化为数学中你学习过的问题解决即可，一般有设、列、解、答四个步骤，有时还要结合实际进行检验。仔细读题，理解就没问题。学会仔细读题，你就会解应用题！排列、组合和概率以及分布列的题目大部分都是实际应用题，下面举几个例子

例（1）飞机俯冲时，每支步枪射击飞机的命中率为P=0.004.

求：（1）250支步枪同时独立地进行一次射击，飞机被击中的概率；

（2）要求步枪击中飞机的概率达到99%，需要多少支步枪同时射击？

(lg996≈2.9983)此题运算较复杂，会列式子即可.

答案：飞机被击中至少有一支击中即可，考虑对立事件（1）o.6329 (2)n≥1176.5 故n=1177

例（2）某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A,B 及CD的中点P 处，已知AB=20km,CB =10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且A,B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO,BO,OP ，设排污管道

D

的总长为ykm．

（Ⅰ）按下列要求写出函数关系式：

①设∠BAO=θ(rad)，将y表示成θ的函数关系式；

②设OP=x(km) ，将y表示成x的函数关系式． POCAB （Ⅱ）请你选用（Ⅰ）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短．

【解析】本小题主要考查函数最值的应用．

（Ⅰ）①由条件知PQ 垂直平分AB，若∠BAO=θ(rad) ，则OA=AQ10=, 故 cosθcosθ

10，又OP＝10-10tanθ10－10taθ， cosθ

1010++10-10tanθ， 所以y=OA+OB+OP=cosθcosθOB=

所求函数关系式为y=20-10sinθπ⎫⎛+10 0

②若OP=x(km) ，则OQ＝10－x，所以

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所求函数关系式为y=x+0

⎛ππ⎫,⎪时，y">0 ，y是θ的增函数，所以当θ=6⎝64⎭

km处。 3⎛⎝π⎫6⎭"⎪时，y

边

说明：函数的应用也包括三角函数的应用，难度不大，考察三角函数也是一个不错的选择，

例：如图所示，ABCD是一块边长为7米的正方形铁皮，其中ATN是一半径为6米的扇形，已经被腐蚀不能使用，其余部分完好可利用．工人师傅想在未被腐蚀部分截下一个有边落在BC与CD上的长方形铁皮PQCR，其中P是弧NT上一点．设∠TAP=θ，长方形PQCR的面积为S平方米．

DRC

（1）求S关于θ的函数解析式；

（2）设sinθ+cosθ=t，求S关于t的表达式以及S的最大值．

NPQATB

又例：（基础好点的同学看看吧）某建筑公司要在一块宽大的矩形地面(如图所示)上进

行开发建设,阴影部分为一公共设施建设不能开发,且要求用栏栅隔开(栏栅要求在一直

线上),公共设施边界为曲线f(x)=1-ax(a>0)的一部分,栏栅与矩形区域的边界交

于点M、N，交曲线于点P，设P(t,f(t))

（1）将∆OMN（O为坐标原点）的面积S表示成t的函数S(t)；

（2）若在t=2x 1处，S(t)取得最小值，求此时a的值及S(t)的最小值. 2

2解：（1）y"=-2ax，切线的斜率为-2at，∴切线l的方程为y-(1-at)=-2at(x-t)

1-at21-at2+2at21+at21+at2

+t==∴M(,0), 令y=0,得x=2at2at2at2at

2222令t=0,得y=1-at+2at=1+at,∴N(0,1+at)

11+at2(1+at2)2

2∴∆MON的面积S(t)=⋅(1+at)= 22at4at

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3a2t4+2at2-1(at2+1)(3at2-1)=(2) S"(t)= 224at4at

a>0,t>0,由S"(t)=0,

得3at2-1=0,得

t=23at-1>0,即t>时, S"(t)>0

当3at-1

(t)

=,∴a= 232

故当a=41,t=时,S(t)min3241(1+⋅)21=2 =S()=41234⋅⋅32

76. 对于新定义的创新问题，就是考察你的学习能力，“现场表演”的现学现会的能力，还是要反复读题！ 例：设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A1A3=λA1A2 (λ∈R)，

且A1A4=μA1A2(μ∈R)，1

λ+1

μ=2,则称A3，A4调和分割A1，A2 ,已知点C(c，o),D(d，O) (c，d∈R)

调和分割点A(0，0)，B(1，0)，则下面说法正确的是

（A）C可能是线段AB的中点 （B）D可能是线段AB的中点

（C）C，D可能同时在线段AB上 （D）C，D不可能同时在线段AB的延长线上【答案】D

如：若对函数y=f（x）定义域内的每一个值x1，都存在唯一的值x2，使得f（x1）f（x2）=1成立，则称

﹣2x此函数为“K函数”，给出下列三个命题：①y=x是“K函数”；②y=2是“K函数”；③y=lnx是“K函数”，

2≥f（x），则称f（x）为M上的l的高调函数，如果定义域是[﹣1，+∞）的函数f（x）=x为[﹣1，+∞）上

的m高调函数，那么实数m的取值范围是 ，如果定义域为R的函数f（x）是奇函数，当x≥0时，f

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高考前数学老师的叮咛

一、考前安心复习，从今天起回归第一轮，回味你的积累本，争取把问题都解决，一定不要带着问题回家，

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一定要静下心来看数学宝典，把你不熟悉的内容、公式画下来重点记忆.

二、回家三天除继续回忆和回味外，还要找出一天下午的三点到五点让自己练练笔，做一套我们发的一套

带答案的卷子，限时做完再对答案.

三、 考试当天，上午考完语文11:30，不用管那些为你们服务的人们，你一定要立刻消失在人群中，

别对答案，回家吃饭，饭后拿出宝典看看；躺下睡一觉，大概半个小时到一个小时，睡不着就

想你数学老师在讲课！

三、满怀信心上考场，使自己处于最佳自信状态，不要看别人，只要自己仔细答题不想作弊，监考老师就

是为你服务的！考的都是你学过的，不会的大家都不会！保持良好的心态，是正常发挥、高考取胜的关键！

四、由于高考采取电脑阅卷，所以一定要努力使字迹工整，卷面整洁，一定记住在规定区域答题。

五、试卷发下来后，首先要按规定填好考试科目与准考证编号等栏目；不要急于答卷。在正式答题以前，

首先对试卷进行通览。对整个试卷的题目容量、难度有一个初步了解，以便做出全局安排。

六、 注意答题技巧(1）重视审题。答题的心理活动过程一般是分为四个步骤：审题、理解题目的条件

与要求；通过回忆复活有关知识；在知识和题目的的问题空间建立知识结构；表达解题过程，呈现题目答案。 一旦决定解题方案，要迅速、准确、格式鲜明的把她呈现在阅卷老师的面前.

审题是解答问题的第一步，也是关键的一步。俗话说“审题透，解题溜”。正确的审题是成功的一半，而错误的审题则意味着全军覆没。因此，要高度重视审题工作。具体讲要做到“四要”：要慢、要细、要准、要全。透彻理解题意，掌握题目的条件，明确题目的要求，挖掘隐含条件，尤其对于眼熟的题，要严格区分细微差别，不要忽略一个字或一个符号，谨防“经验主义”。

确定题目类型是审题工作的第一步，在动手解答每一题目时，首先是逐字逐句地读一遍题，弄清楚是什么题型，不同的题型，考察的能力不同，解题的策略不同，评分方式也不同。

（2）根据题型，选择答题技巧;大题的书写一定要整洁，一定在规定区域答题！

在选择题审题时，必须抓住题中的关键词，注意挖掘隐含条件，排除干扰因素，一边读题一边“翻译”，作图直接在试卷上即可。做选择题的方法，一般有下面几种：

第一，回忆法。有的选择题比较简单，涉及的材料比较熟悉，选择部分就如同填空。这种题一般不需要经过复杂的计算、推导和综合，可以直接从记忆库中提取有关知识，直接运用有关基本概念和基础知识作出判断。

第二，直接解答法。在理科的试题中，有些选择题需要根据已知条件，通过计算、作图或代入选择项进行验证等途径，得出正确答案。这是解答选择题最为普遍的方法，它需要我们掌握丰富的知识和熟练的技巧。

第三，淘汰错误法，即把选择题中各选项中错误的答案排除，剩下的就是正确的答案。这种方法一般是在不能直接选出正确答案时，逐个分析备选答案，找出答案有无错误和不符题意的地方，最终筛选出正确的答案。

第四，猜测法。这是在碰到一些拿不准或者是超出能力范围的题目时 采用的一种策略。如果这些题目没有注明选错倒扣分的话，猜测可以为我们创造更多得分机会。当然，这种猜测也不是乱猜瞎蒙，而是要充分利用题目中所给的信息来合理推测。具体说来就是：首先是根据题目要求和学科知识尽量排除错误可能性较大的选项；如果可以代回题中验证的话则更好。当面对一道让你毫无头绪的题目时，可以先空在那里，在考试即将结束时如果还没有回忆起有关线索，可填上你的第一感觉选中的代码。如果你观察到选择题，某一代码选择率很低，你在猜测时便应该选择该代码：如果是第二、三选项不能确定，一般选择后一个更好。记住，只要没有倒扣分的规定，最好别在任何一道题上留下空白。不必为自己的猜测觉得羞愧，直觉、猜测和模糊情景下的决策能力对于一个人事业的成功也是很重要的。

请尊重个人版权，谢谢！

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