[专题5.2.1:立体几何练习1:线面角]

2010年—立体几何—异面直线夹角、线面角

（2010全国卷1文数）(6)直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若∠BAC =90︒，AB =AC =AA 1，

则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于 (A)30° (B)45°(C)60° (D)90°

（2010全国卷1文数）（9）正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，

BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为

（A ）

2

（B ） （C ） （D ）

3333

（2010全国卷2文数）（8）已知三棱锥S -ABC 中，底面ABC 为边长等于2的等边三角形，SA 垂直于底面ABC ，SA =3

，那么直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值为

（A ）

解 答

（2010全国卷1文数）(6)直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若∠BAC =90︒，AB =AC =AA 1，

则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于 (A)30° (B)45° (C)60° (D)90°

6.C 【命题意图】本小题主要考查直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的性质、异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法.

【解析】延长CA 到D ，使得AD =AC ，则ADAC 11为平行四边形，∠DA 1B 就是异面直线

（2010全国卷1文数）（9）正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，

BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为 （A ）

3 (B)

(C) (D)

42 （B （C ） （D 33

9.D 【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出D 到平面AC D 1的距离是解决本题的关键所在, 这也是转化思想的具体体现.

A 1

A

C B

1

1

C 1

【解析1】因为BB 1//DD1, 所以B B 1与平面相等, 设

DO ⊥平面

AC D 1所成角和DD 1与平面AC D 1所成角

1

1

AC D 1，由等体积法得V D -ACD =V D -ACD , 即

11

S ∆ACD 1⋅DO =S ∆ACD ⋅DD 1. 设DD 1=a,

33

则S ∆ACD 1=

11112

CD =a 2. AC AD 1sin 60 =⨯) 2=a , S ∆ACD =AD 2222S ∆A C D D D 31

a , 记DD 1与平面AC D 1所成角为θ,

则所

以D O =S ∆A C 1D sin θ=

DO ,

所以cos θ=. =

DD 13

【解析2】设上下底面的中心分别为O 1, O ；O 1O 与平面AC D 1所成角就是B B 1与平面AC D

1所成角，cos ∠O 1OD 1=

O 1O OD 1

=1/

=3（2010全国卷2文数）（8）已知三棱锥S -ABC 中，底面ABC 为边长等于2的等边三角形，SA 垂直于底面ABC ，SA =3，那么直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值为

（A ）

3

(B) (C)

(D)

4【解析】D ：本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角。

过A 作AE 垂直于BC 交BC 于E ，连结SE ，过A 作AF 垂直于SE 交S SE 于F ，连BF ，∵正三角形ABC ，∴ E为BC 中点，∵ BC⊥AE ，SA ⊥BC ，∴ BC⊥面SAE ，∴ BC⊥AF ，AF ⊥SE ，∴ AF⊥面SBC ，∵∠

AE =ABF 为直线AB 与面SBC 所成角，由正三角形边长3，∴

B

33

sin ∠ABF =

4 AS=3，∴

SE=AF=2，∴

A