建设“高等代数”精品课程的思路与实践_高等代数精品课程

　　摘要：本文从以学科思想理解课程的结构与教学内容，突出学科思想方法的教学活动，建设资源共享的课程网站，开展全省课程研讨活动等方面，介绍了厦门大学“高等代数”国家精品课程建设的思路与实践。
　　关键词：课程建设；学科思想；课程网站；课程研讨会
　　
　　“高等代数”是一门传统课程，是大学本科数学各个专业的主干基础课程。它是数学在其他学科应用的必需基础课程，又是数学修养的核心课程。厦门大学的“高等代数”课程，2003年被评为福建省精品课程，2007年被评为国家精品课程。我们主要的课程建设思路和做法如下。
　　
　　一、以代数学的思想，理解“高等代数”课程结构与教学内容
　　
　　大学本科数学以分析，代数，几何作为主干课程。代数学是研究一个代数对象的结构理论与表示理论的一门学科。群、环、域、模、格、线性空间、李代数、结合代数等，是不同的代数对象，它们都是在一个集合定义若干运算，且满足若干公理所构成的代数系统。线性空间则是本科生所接触，所学习的第一个代数结构。笔者认为，“高等代数”分为两个部分，一个是基本工具部分，不但是学习高等代数的基本工具，也是学习其他数学学科的工具，同时是用数学来研究其他相关学科的基本工具。它包括行列式、矩阵、线性方程组、二次型、特征值特征向量、正交向量等内容，这部分内容是理工科、经管类、医学、农学所学习的“线性代数”的基本内容。这部分的内容经常可以用解线性方程组为主线来组织教学内容，来叙述教学内容。另外一个部分则是研究线性空间，包括线性空间、线性映射(变换)、相似标准型等内容，这就是研究代数对象。在“高等代数”课程中是怎么研究线性空间的?笔者认为，有三个层次。第一个层次，研究向量之间的线性关系，即作为线性空间的元素之间的关系。内容包括线性表示、线性相关性、线性无关极大组、基与维数等，难点与重点是线性相关性。第二个层次，研究线性子空间，即从子集合的观点考虑线性空间。内容包括子空间与子空间的运算(交与和)、生成子空间、直和分解。直和分解是核心。这两个层次都是从线性空间内部来研究线性空间。第三个层次是从外部来研究，即从两个线性空间之间的线性映射来研究。线性映射的核与像是基本内容。数域的n阶全矩阵代数与n维线性空间v的所有线性变换构成的代数之间的同构，即是结构性质，又是表示性质。欧氏空间则是附加了度量的线性空间。所以，研究线性空间，是数学专业本科生学习代数结构的第一例。对于其他学科的“线性代数”而言，是否重视空间理论，是否以空间理论为课程构架基础，有各种观点。对于数学学科的“高等代数”课程，将研究线性空间放在重要位置，则是不应质疑的。
　　以这样的观点看待课程内容，应该以空间为纲领，突出线性空间，线性映射(变换)在课程内容的主导地位与分量，将主要内容放在线性空间的框架下展开，同时对必要的代数方法也作详尽的介绍。
　　以这样的观点看待课程内容，应该处理好线性空间理论与矩阵理论的关系。空间理论属于几何性质，是我们研究的对象。矩阵理论则属于代数方法，是我们要掌握的基础方法。其中，矩阵的初等变换是矩阵理论的灵魂。在取定n维线性空间的基的前提下，向量对应坐标，基变换对应过渡矩阵，线性映射(变换)对应矩阵。要把握空间与矩阵的关联前提与对应，要把握将问题互相转化，特别要把握用矩阵方法解决空间问题。
　　以这样的观点看待课程内容，应该重视Jordan标准型的内容与相应的空间分解。这部分的内容是高等代数课程中研究线性空间结构理论的最高境界与最优美的结论。证明它的结论应用了课程所学习的几乎所有工具方法。用λ－矩阵处理是代数的方法，同时又介绍利用根空间、循环子空间来叙述的空间分解定理。
　　
　　二、突出代数学的基本思想方法的教学活动
　　
　　我们认为，“高等代数”课程中体现的代数研究基本思想方法主要有：(1)空间的直和分解方法；这是代数对象的基本结构，是基本的思想方法。(2)同构方法。特别线性变换构成的代数与矩阵代数的同构，重要的是正确理解和应用同构对应法则。(3)等价分类方法。等价关系和等价分类，代表元和标准型，这是非常典型的代数的思想方法，也是今后学习代数对象的商结构的基础。
　　用代数学的基本思想方法指导教学活动，我们注意做到：(1)把握重点。从不同的角度解读重点，以抑扬顿挫的语言来突出重点，用构造习题和考题巩固重点；(2)化解难点。用思想的高度理解难点，用详细的语言讲述难点，用分散的方法化解难点；(3)澄清疑点。用适当的例子理解疑点，通过内部联系澄清难点。
　　为了让学生掌握代数学的基本思想方法，安排了以下学习活动：(1)攻关性的难题求解。每次作业，布置一道体现思想方法的“挑战题”，供学生选做。(2)探索性的专题讨论。在矩阵的秩与相抵关系，n维线性空间与n维向量的同构，线性变换构成的代数与矩阵代数的同构对应等方面，进行专题讨论课，组织学生经过讨论，加深理解。(3)总结性的专题报告，在课程结束前，鼓励学生通过查资料，理解思想方法，归纳总结，撰写小论文。
　　为了突出思想方法，我们还在三年级短学期(6周)中安排“模论”课程，介绍主理想整环上有限生成模的分解定理，再次解读线性空间Jordan分解的优美奇妙之处。同时，鼓励新生学习应用数学软件解答代数问题，我们在大一下学期开设MATLAB选修课，增加学生的兴趣。
　　
　　三、精心建设课程网站，资源共享
　　
　　我们精心建设福建省精品课程“高等代数”网站，(IP地址：https://59.77.1.116：域名：省略)拓宽学生的学习空间，做到资源共享。课程网站内容丰富，从教学内容(教案、教学录像，课件)、课后练习(滞后作业解答、课程试题及讲评、基础练习训练)、拓展知识(参考书目、应用背景、教学论坛)、高代实验(MATLAB介绍，练习作业)、考研辅导(辅导书稿，全国1987―2007年高数ABCD线性代数部分分类公布，部分重点大学考研“高代”考题)、师生交流(BBS)等不同层面上为学生和访问网站的用户服务。既加深对高等代数课程的理解、消化，又提高学生的兴趣，并为兄弟院校的教学交流提供方便。我们将书稿《高等代数方法选讲》挂在网上，将代数基本思想方法的体会心得与学生，读者共享。从网站管理统计数据看，省内外学生上网点击率和下载率很高，真正做到资源共享。网站倡导以人为本的指导思想，整个网站完全开放，自由下载。以“高等代数，精品课程”为关键词在三大搜索引擎(google,yahoo，sina)进行搜索，我们的网站均居第一位。截至2007年8月15日网站被点击218050次，下载88 102次，观看教学录像10 331次。在评上国家精品课程后，网站的点击量大幅度上升。在2007年9月和10月连续两月月访问量突破2万基础上，11月月访问量突破3万人次，12月份截止15日已经超过2万人次。
　　
　　四、组织研讨，加深对学科基本思想方法的理解
　　
　　我们倡导和组织了福建省“高等代数”课程建设系列研讨会，起到了辐射作用、促进作用和示范作用。2003年开始，每学期一次，每次一天，集中研讨课程的一个章节，重点探讨该部分内容体现的数学思想方法以及在教学活动中的体现，已经完成了课程全部一轮的“集体备课”，共有福建省内23个高校近460人次参加会议，以老带新，深受欢迎。研讨会既为青年教师学习创造了良好机会，也为校际间学科教学交流建立了平台。会议务实、生动、活泼。会议的所有报告都做课件，挂在我们的课程网站上，可以自由下载。各高校反映，研讨会对加深对学科基本思想方法的理解，对于提高全省“高等代数”及其同类课程师资队伍的整体教学水平，是十分有益的。我们每次都在会上参加主题发言。另外，笔者还在省内外8个高校介绍课程建设经验体会，并应邀担任“西部高校教师培训班”(四川大学，2005年暑期)的主讲教师。
　　
　　[责任编辑：文和平]