抛物线的一个有趣性质及应用_抛物线光学性质应用
湖北秭归二中443600 摘要：本文研究和探讨了抛物线的内接三角形的形状，并且得出一个判别三角形形状的简单方法，该方法告诉我们三角形的形状只由抛物线对称轴上一个点的位置确定．
关键词：抛物线；弦；内接三角形；对称轴
性质直线l交抛物线y2=2px（p＞0）异于顶点O的两点A，B.
（1）若直线l与x轴交点在原点与点（2p，0）之间，则抛物线内接三角形△AOB为钝角三角形；
（2）若直线l与x轴交点为（2p，0），则抛物线内接三角形△AOB为直角三角形；
（3）若直线l与x轴交点在点（2p，0）右侧，则抛物线内接三角形△AOB为锐角三角形．
证明（1）如图1，当直线l与x轴交点在原点与（2p，0）之间时，设直线l与x轴交点为C（m，0），且0＜m＜2p.
①当直线l斜率存在时（不为0），可设直线l为y=k（x-m），由
y=k（x－m），
y
2=2px 得
k2x2－（2k2m+2p）x+k2m2=0.
所以x1+x2=，x1x2=m2，
所以y1y2=k（x1－m）・k（x2－m）=k2x1x2－k2m（x1+x2）+k2m2=－2pm，
所以・=（x1，y1）・（x2，y2）=x1x2+y1y2=m2－2pm=m（m－2p）＜0.
②当直线l斜率不存在时，
x1=x2=m，y2=－y1，y=2pm，所以・=（x1，y1）・（x2，y2）=m2－y=m2－2pm=m（m－2p）＜0
综上①②，・＜0，∠AOB为钝角，△AOB为钝角三角形．
[y][O][x][A][B][C][2p]
图1
[y][O][x][A][B][2p]
图2
（2）如图2，设两交点A（x1，y1），B（x2，y2）则・=（x1，y1）・（x2，y2）=x1x2+y1y2.
由直线l与x轴交点为（2p，0）得
==，
所以=，x1x2=4p2.
把A（x1，y1)，B（x2，y2）代入y2=2px得
y=2px1，y=2px2，
所以（y1y2）2=4p2x1x2，y1y2=－2p，
所以・=x1x2+y1y2=4p2－2p=0，OA⊥OB，△AOB为直角三角形．
（3）当直线l与x轴交点在点（2p，0）右侧时，设直线l与x轴交点为D（n，0），n＞2p，n－2p＞0.
由（2）同理得・=n2－2pn=n（n－2p）＞0.
所以△AOB为锐角三角形．
所以原命题得证．
这个命题的逆命题同样成立，读者自己完成证明.
性质的应用
例1如图3，过抛物线y2=4x的顶点O作互相垂直的弦OA，OB，求抛物线顶点O在弦AB上的射影M的轨迹方程.
[x][y][B][O][M][A]
图3
解法1设A（x1，y1），B（x2，y2)，代入抛物线方程并作差得
k==（x1≠x2），
所以直线AB：y－y1=・（x－x1），
即y=，又y=4x1，
所以y=. 又由kOA・kOB=－1得
y1y2=－x1x2，且x1=，x2=，
所以y1y2=－，y1y2=－16.
所以y==－．
（上接第33页）
又OM⊥AB得直线OM：y=－x，
由y=－
x，
y=
－
，消去y1+y2得M的轨迹方程x2+y2－4x=0（x≠0）.
解法2由过抛物线顶点的内接三角形性质知直线AB恒过定点N（4，0），
所以点M的轨迹是以线段ON为直径的圆（端点O除外），且圆心为（2，0），半径为r=2.
所以点M的轨迹方程为（x－2）2+y2=4（x≠0）.
例2如图4，线段AB过x轴正半轴上一点M（m，0），线段端点A，B到x轴距离之积为2m，以x轴为对称轴，且过A，O，B三点作抛物线.
[x][y][A][O][B][m]
图4
（1）求抛物线方程；
（2）若tan∠AOB=－1，求m的取值范围.
解析（1）①当直线AB斜率存在时，
可设AB：y=k（x－m）.
由已知可设抛物线方程为
y2=2px （p＞0）.
由y=k（x-m），
y2=2px，消去x得
ky2－2py－2pkm=0.
所以y1y2=－2pm，又由已知得
y1y2=－2m，所以－2pm=－2m．
所以p=1，y2=2x.
②当直线AB的斜率不存在时x=m，
由x=m，
y2=2px，得
y2－2pm=0，y1y2=－2pm.
又y1y2=－2m，所以p=1，y2=2x.
综上①②，抛物线方程为y2=2x.
（2）设A
，y1，B
，y2，则
kOA==，kOB==，
所以tan∠AOB==－1，
所以・=－1，y1y2+4=2y1－2y2，
所以（y1y2+4）2－4［（y1+y2）2－4y1y2］=0，
（－2m+4）2－4
2-4（-2m）=0，
=m2－12m+4＞0，
所以m＞6+4或m＜6-4.①
当・=－1，
即=－1，=－1时，
－=－1，m=2=2p，
所以当m=2，即直线过点（2，0）时△AOB为Rt△，所以由性质知0＜m＜2.②
由①②知0＜m＜6－4.
又当m=6－4时，AB⊥x轴，此时，
y1=2（－1），y2=－2（），y1y2=－2m，满足题意．
综上，当tan∠AOB=－1时，m∈（0，6－4・］.
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