浅谈动点的轨迹_初中数学动点轨迹问题

　　关于点的轨迹求解问题，虽然在高中数学中教学的内容不多，但却非常重要，是高考命题的热点。同时这类问题也是高中数学中的重点和难点，求解起来难度较大，涉及到的知识点也比较多。它的重要性主要表现在：一方面它的综合性较强，要求的知识点较多。只有在掌握了几何问题的基础上，才能正确进行证明。另一方面轨迹的运用较广，有作图中常用的交轨法，解析几何中的曲线与方程等，都必须以平面几何的知识为基础。学生对轨迹这部分内容掌握得好坏，直接关系到后续有关内容的学习，是非常重要的。
　　一、轨迹命题一般包含指定条件、轨迹形状、轨迹位置或大小三个重要部分
　　通常有三类命题形式：第一类，告诉轨迹的形状、大小、位置。例如，一动点距一定线段的两端等远，它的轨迹是一直线，这直线是定线段的垂直平分线。第二类，指定条件，告诉形状（大小、位置怎样，隐藏在题目里）。例如，一动点距一定线段两端等远，它的轨迹是一条直线。第三类，指定条件，其余隐藏。例如，求一动点距一线段的两端等远的轨迹。
　　二、探究轨迹问题的常用方法
　　（1）定形：掌握所求基本图形的特征。如动点能否无穷远，有无端点，确定轨迹是否是直线、射线、圆、线段、孤立点等。
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　　（2）定位：①单一轨迹，如直线、线段、射线、圆等；②合成轨迹，由两个或两个以上的单一轨迹合成的轨迹。
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　　（3）描迹法：按题目指定条件，作出相当数量的轨迹点，然后就其布列形势，用一条光滑的曲线连接而成。用此方法可以引导我们的思路，指出解决问题的途径。
　　例1：与一个角两边相切的圆，其圆心的轨迹是这个角的平分线。
　　作图：（1-1），由此可知动点的轨迹是这个角的平分线（证明略）。
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　　例2：已知圆上的两切线交成定角，则交点的轨迹是这已知圆的一个同心圆。
　　作图1-2，由此可知动点的轨迹是已知圆的一个同心圆(证明略)。
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　　（4）代入法：在研究轨迹中，除了描迹法，比较常用的解析几何的方法就是通过建立直角坐标系求轨迹方程。
　　例3：已知△ABC，OA=a（定值），AP上的中线OB为定长b，求P点的轨迹。
　　解：建立直角坐标系（如图1-3）。
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　　设A(a，0)，P(x，y），AP的中点为B，则OB=b,OA=a,延长OB到C，使OB=BC,连结PC、AC，则OACP为平行四边形。由平行四边形对角线与四边之间的关系得OC■+AP■=2OA■+2OP■，即(2b)■+(x-a)■+y■=(2a)■+2(x■+y■)，化简得(x-a)■+y■=4b■，所以P点的轨迹是以(a，0)为圆心，2b为半径的圆。
　　（5）几何变换法：在轨迹探求过程中，根据题目的已知条件，如存在平行线、等边三角形、线段的中垂线、线段中点等几何条件时，有时使用变换法求轨迹，更易求解。
　　例4：过圆周上一定点，作动弦，求其中点的轨迹。
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　　分析：作图1-4，在⊙O上，A为定点，∵⊙O为轴对称图形，其中AN为对称轴之一，则各个弦中点P的轨迹是以AN为对称轴的图形，而A、O为轨迹上的点，A、O以外的轨迹上的中点，有∠APO=∠ABN=90°，又A、P、O不共线，故轨迹为以AO为直径的圆（证明略）。
　　因此，一个动点可以看成另一动点，在某种变换下可以对应，且另一个点的轨迹已知时，均可考虑变换法。
　　由于轨迹的抽象性、命题结构的复杂性、证明过程的严谨性、求解的灵活性等特点，在解题或授课过程中，我们需全面考虑、全面计划、分散难点、各个击破，注意具体到抽象的思维，以实例说明抽象概念，使学生在理解的基础上进行记忆。
　　（责编 张晶晶）
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